2020高中数学第三章指数函数和对数函数3.5对数与对数函数课时作业11

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第5讲 对数与对数函数
一、选择题
1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；
当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.
答案 A
2.(2017·上饶模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＝bc C.ab>c

解析 因为a＝log23＋log23＝log233＝32log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝log32答案 B
3.若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )

解析 由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝13x，显然图像错
误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D
中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称，显然不符.故选B.
答案 B

4.已知函数f(x)＝log2x，x>0，3－x＋1，x≤0，则f(f(1))＋flog312的值是( )
A.5 B.3 C.－1 D.72
解析 由题意可知f(1)＝log21＝0，
f(f(1))＝f
(0)＝30＋1＝2，
2

f




log
3

1

2
＝3－log312＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，

所以f(f(1))＋flog312＝5.
答案 A
5.(2016·浙江卷)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则( )
A.(a－1)(b－1)<0 B.(a－1)(a－b)>0
C.(b－1)(b－a)<0 D.(b－1)(b－a)>0
解析 ∵a>0，b>0且a≠1，b≠1.

由logab>1得logaba>0.

∴a>1，且ba>1或0则b>a>1或00.
答案 D
二、填空题

6.设f(x)＝log21－x＋a是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg1＋x1－x，定义域为(－1，1).

由f(x)<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1答案 (－1，0)
7.设函数f(x)满足f(x)＝1＋f12log2x，则f(2)＝________.

解析 由已知得f12＝1－f12·log22，则f12＝12，则f(x)＝1＋12·log2x，故f(2)＝1＋12·log22＝32.
答案 32
8.(2015·福建卷)若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x>2(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是
________.
解析 当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以a＞13＋loga2≥4，解1＜a≤2，所以实数a的
取值范围为(1，2].
答案 (1，2]
三、解答题
9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
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(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间0，32上的最大值.
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，
∴a＝2.

由1＋x>0，3－x>0，得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在0，32上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10.(2016·榆林月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log12x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.

解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log12(－x).

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log12(－x)，
所以函数f(x)的解析式为

f(x
)＝log12x，x>0，0，x＝0，log12（－x），x<0.

(2)因为f(4)＝log124＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－5即不等式的解集为(－5，5).
11.(2017·青岛质检)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝

f(20.3)，b＝f(log124)，c＝f(log25)，则a，b，c
的大小关系是( )

A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
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解析 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，
∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，

∵b＝f(log124)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2∴c>b>a.
答案 B

12.已知函数f(x)＝lnx1－x，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________.

解析 由题意可知lna1－a＋lnb1－b＝0，
即lna1－a×b1－b＝0，从而a1－a×b1－b＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－a－122＋14，
又0＜a＜b＜1，
∴0＜a＜12，故0＜－a－122＋14＜14.
答案 0，14
13.(2016·浙江卷)已知a>b>1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析 ∵logab＋logba＝logab＋1logab＝52，
∴logab＝2或12.∵a>b>1，∴logab∴logab＝12，∴a＝b2.∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2，
∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.
答案 4 2

14.设x∈[2，8]时，函数f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a的值.

解 由题意知f(x)＝12(logax＋1)(logax＋2)
＝12(log2ax＋3logax＋2)
＝12logax＋322－18.
当f(x)取最小值－18时，logax＝－32.
又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1).
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得.
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若12loga2＋322－18＝1，则a＝2－13，
此时f(x)取得最小值时，x＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去.
若12loga8＋322－18＝1，则a＝12，
此时f(x)取得最小值时，x＝12－32＝22∈[2，8]，
符合题意，∴a＝12.