高数下册知识点

高等数学（下）知识点 第 1 页 共 16 页 高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 向量及其线性运算 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 线性运算：加减法、数乘； 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

利用坐标做向量的运算：设),,(zyxaaaa，),,(zyxbbbb， 则 ),,(zzyyxxbabababa, ),,(zyxaaaa； 向量的模、方向角、投影：

向量的模：222zyxr； 两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,

方向余弦：rzryrxcos ,cos ,cos 1coscoscos222 投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。 数量积，向量积 数量积：cosbaba

1）2aaa 2）ba0ba zzyyxxbabababa

向量积：bac 大小：sinba，方向：cba,,符合右手规则 1）0aa 高等数学（下）知识点 第 2 页 共 16 页 2）ba//0ba

zyxzyxbbb

aaakjiba

运算律：反交换律 baab 曲面及其方程 曲面方程的概念：0),,(:zyxfS 旋转曲面： yoz面上曲线0),(:zyfC，

绕y轴旋转一周：0),(22zxyf 绕z轴旋转一周：0),(22zyxf 柱面：

0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面

二次曲面

椭圆锥面：22222zbyax

椭球面：1222222czbyax 旋转椭球面：1222222czayax 单叶双曲面：1222222czbyax 高等数学（下）知识点 第 3 页 共 16 页 双叶双曲面：1222222czbyax

椭圆抛物面：zbyax2222 双曲抛物面（马鞍面）：zbyax2222 椭圆柱面：12222byax 双曲柱面：12222byax 抛物柱面：ayx2 空间曲线及其方程

一般方程：0),,(0),,(zyxGzyxF

参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btztaytaxsincos 空间曲线在坐标面上的投影 





0),,(0),,(zyxGzyxF

，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH

平面及其方程 点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA 法向量：),,(CBAn，过点),,(000zyx 高等数学（下）知识点 第 4 页 共 16 页 一般式方程：0DCzByAx

截距式方程：1czbyax 两平面的夹角：),,(1111CBAn，),,(2222CBAn，

222222212121

212121cosCBACBACCBBAA

21 0212121CCBBAA

21// 212121

CCBBA

A

点),,(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离： 222000CBADCzByAxd





空间直线及其方程 一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA

对称式（点向式）方程：pzznyymxx000 方向向量：),,(pnms，过点),,(000zyx

参数式方程：ptzzntyymtxx000 两直线的夹角：),,(1111pnms，),,(2222pnms， 222222212121

212121cospnmpnmppnnmm 高等数学（下）知识点 第 5 页 共 16 页 21LL 0212121ppnnmm

21//LL 212121ppnnmm

直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

222222sinpnmCBACpBnAm

//L 0CpBnAm

L pCnBmA

第九章 多元函数微分法及其应用 基本概念

极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(00

连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 偏导数：

xyxfyxxfyxfxx), (), (lim),(0000

000

yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000

000

方向导数： coscosyfxflf





其中,为l的方向角。

梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。 全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy 性质 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系： 高等数学（下）知识点 第 6 页 共 16 页 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 微分法

定义： u x 复合函数求导：链式法则 z 若(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy，则 v y zzuzvxuxvx

，zzuzvyuyvy

隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组） 应用 极值

无条件极值：求函数),(yxfz的极值

解方程组 00yxff 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令 ),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，

若02BAC，0A，函数有极小值， 若02BAC，0A，函数有极大值； 若02BAC，函数没有极值； 若02BAC，不定。 条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值

偏导数存在 函数可微 函数连续 偏导数连续

充分条件 必要条件

定义

1 2

2 3

4 高等数学（下）知识点

第 7 页 共 16 页 令：),(),(),(yxyxfyxL ——— Lagrange函数

解方程组 0),(00yxLLyx 几何应用 曲线的切线与法平面

曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),,(000zyxM（对应参数为0t）处的

切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx 法平面方程为：0))(())(())((000000zztzyytyxxtx 曲面的切平面与法线

曲面0),,(:zyxF，则上一点),,(000zyxM处的切平面方程为： 0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx

法线方程为：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 第十章 重积分 二重积分 几何意义：曲顶柱体的体积。 计算： 直角坐标

bxaxyxyxD)()(

),(21

，

21

()()(,)ddd(,)dbx

axD

fxyxyxfxyy 高等数学（下）知识点 第 8 页 共 16 页 dycyxyyxD)()(

),(21

，

21

()()(,)ddd(,)ddy

cyD

fxyxyyfxyx

极坐标 )()(

),(21D

21

()

()(,)dd(cos,sin)dDfxyxydf

三重积分 定义： nkkkkkvfvzyxf10),,(limd),,( 性质： 计算： 直角坐标

Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),,(ddd),,(

-------------“先一后二”

ZDbayxzyxfzvzyxfdd),,(dd),,(

-------------“先二后一”

柱面坐标







zzyxsincos

，(,,)d(cos,sin,)dddfxyzvfzz 球面坐标







cossinsincossinrzryrx

2(,,)d(sincos,sinsin,cos)sindddfxyzvfrrrrr