小波分析及应用

小波分析及其在通信中的应用

专业： 电子信息工程

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河南城建学院

2011年05月29日

2 小波分析及其在通信中的应用

摘 要：小波分析是傅里叶分析的重大突破，是当今许多领域研究的热点。 从小波分析的发展历程出发，介绍了小波在现代通信中的一些应用，并指出了未来的一些研究方向。

关键词： 小波变换； 傅里叶变换； 小波应用； 通信

小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。小波分波是自1986年以来由于Meyer、Mallat和 Daubechies等的奠基工作而迅速发展起来的一门新兴学科，它是傅立叶分析划时代的发展结果。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，

小波分析的目的是“既要看到森林(信号的概貌) ，又要看到树木(信号的细节)

|”。因此，它被誉为“学显微镜”。

小波分析已经在图像处理、语音识别，声学，信号处理，神经生理学，磁性谐振成像，地震测量，机械故障诊断，生物医学，医疗卫生，以及一些纯数学应用如解决一些微分方程式等领域取得一系列重要应用。小波变换理论在通信中的应用研究在国际上日益受到重视。小波函数提供的一系列正交基非常适合通信系统中的信号波形设计，扩频特征波形设计，多载波传输系统的正交子信道划分等。

小波变换技术在通信系统中的信源编码、信道编码、调制、均衡、干扰抑制和多址等方面具有广阔的应用前景。

一 、小波分析在通信系统中的研究动态

文章介绍了小波、小波连续变换、　：：进离散小波变换及其快速算法等基本内容。此外，提出了二　进小波除噪、　信号识别和小波分析的频谱细化等应用及其相应算法，进而得出小波分析在信号处理中应用的理论优势，并　展望了小波分析的进…・步应用。　

小波分析在信号处理中的应用　

文Ｉ王得利　

小波分析（Ｗａｖｅｌｅｔ　Ａｎａｌｙｓｉｓ）是上世纪末数学研　

究的重要成果之一，其在时域和频域同时具有良好的局　部化性质，可以聚焦到对象的任意细节。小波分析是一种　

时域一频域分析，它可以根据信号不同的频率成分，在时　域和空间域自动调节取样的疏密：高频率时则密，低频率　

时则疏。从信号分析的角度讲，小波分析相当于用一族带　通滤波器对信号进行滤波，这族滤波器的特点在于其Ｑ值　

（中心频率／带宽）基本相同即随着小波变换的尺度减小，　滤波器的中心频率向高频移动的同时，其通带宽度也随之　增加。　

一、小波分析　

（一）小波及连续小波变换　第一，定义小波及连续小波变换（ＣＷＴ）。　

定义ｌ：对于能量有限空间ｒ（Ｒ）中的函数　Ｏ），若满足　允许性条件：ｃ＝ｆ　ｄｃｏ＜ｏ０，则称　（ｆ）为一个基本小波　

或小波母函数。令：　—　）　击　（ｒ二　）Ｉ口，ｂｅＲ，ｎ≠ｏ，称为由母　函数　ｆ）生成的依赖参数ａ，ｂ连续小波。　

设，（ｆ）ｅ　（　，定义其连续小波变换为：　，—■　（　６）＝（，，　）＝÷　，Ｏ）　——　渺　（】）　ｎ为频率缩放参数，ｂ为时间平移参数。尺度的缩放　可以反映信号在不同频带上的表现，而平移量的改变则反　

映信号在一定频带上随时间的演变。　

第二，窗口函数与小波的局部性。若小波函数　（，），　

具有有限的时频窗口，则称　（ｆ）为窗口小波函数。由（１）　式，如果固定频率缩放参数ａ而令时间平移参数ｂ变化，　则对该式进行傅立叶变换，根据傅立叶变换性质可得：　

（ａ，ｃｏ）＝　（　（　据小波变换的定义，从时域来看，　（ａ，６）　

８０　ｏ中闯高新拭爿　ｂ　２０１１　０３　是，（ｒ）在连续小波　）时窗内的积分值，反映的是，（，）在　相应时窗内的信息。从频域来看，　（　）是信号　）在　（ｆ）　的频窗内的带通滤波。ａ增大，频窗变窄，频窗中心变小，　

科技前沿馨纂彝馨餐一金解放1常军然21.江西理工大学建筑与测绘工程学院江西赣州3410002.江西理工大学应用科学学院江西赣州341000戮羹戮要」在论述小波和1、波包原理的基础上，对信号消噪分别从小波和卜波包两个方面进行方法步骤最后对一工程实例的信号进行了处理〔目前信号测试已经在许多工程领域得到应用，例如金属腐蚀信号、金属切削信号、探地雷达信号、岩石声发射信号、陀螺信号、爆破测振等。由于测试系统和测试技术水平的限制，测试得到的信号数据里面往往包含一些“噪声”干扰以及得到的信号会发生畸形变化或者有用的信号不明显，为得到准确的测试结果，要对测试信号进行处理和分析。信号处理，就是以数值计算的方法对信号进行采集、变换、综合、估计与识别等加工处理，借以达到提取信号，便于应用的目的。随着计算机和信息科学的飞速发展，信号处理已经逐渐发展成为一门独立的学科，是信息科学的重要组成部分，在语音处理、图象处理、雷达、航空航天、地质勘探、通信、生物医学工程等众多领域得到了广泛的应用。[1]信号分析技术主要有参数分析、波形分析技术、经典谱和现代谱分析、小波分析、神经网络、相关分析、数据融合、小波时频能量分析及分形技术。傅立叶变换一直是信号处理领域中最广泛的一种分析手段。它架起了时间域和频率域之间的桥梁。但是，傅立叶变换存在严重的缺点:变换之后使信号失去了时间信息，即不能告诉人们在某段时间发生了什么变化。为克服傅立叶变换的缺点，D.Gabor提出了短时傅立叶变换，又称加窗口傅立叶变换。它能提供信号在某个时间段和某个频率范围的一定信息。STFT缺点是对所有的频率成分，所取的时间窗大小都相同。然而，对很多信号为了获得更精确时间或频率信息，需可变的时间窗。为克服上面两种傅立叶变换的缺点，出现了小波变换，它不但继承和发展STFT局部化思想，而且克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交的缺点。小波变换是一个时间和频率的局部变换，能有效地从信号中提取信息，并通过伸缩和平移等运算功能对函数和信号进行多尺度细化分析于，从而解决了傅里叶变换不能解决的许多问题，是调和分析发展史上的里程碑，是一种比较理想的信号处理方法。2小波变换的基本理论小波变换的定义是把某一被称为基本小波的函数V(r)做位移t后，再在不同尺度a下与待分析的信号x(t)做内积:Wf.(a,r)_去rx()w'(}p,)rlt,a’。等效的频域表示是:行量化，及选取阑值，将小波变换后的细节部分dj,k与阑值进行比较，小于闭值的细节部分被置为零;然后再将阂值化后的小波系数进行重建，得到去除噪声的信号。阂值的选择有4种规则:①使用Stein的无偏似然估计理论进行自适应阂值选取算法。②采用固定的]A值形式，A值为sgrt(2*log(length(x))),③启发式m值选择，是前两种A值的综合，所选择的是最优预测变量阂值。④采用极大极小准则选择IA值，也是一种固定的阂值选择形式，它所产生的是一个最小均方差的极值，而不是无误差。到目前为止，小波去噪的方法大概可以分为三类，不同的方法适宜不同的信号形式。[2]3.2基于小波包的信噪分离应用小波包分析对信号进行处理，是小波分析的推广，它提供了更为丰富的信号分析方法，它不但对信号的低频进行，还对高频部分做细致的分析，对信号的分析能力更强。另外在小波包分析中，最优基的选取是利用嫡原则的标准进行的。信号的小波包降噪步骤如下:[3j(1)信号的小波包分解，选择一个小波并确定所需分解的层次，然后对信号进行小波包分解。(2)确定最优小波包基，对于一个给定的嫡标准，计算最优树。(3)小波包分解系数的阑值量化，对于每一个小波包分解系数，选择一个恰当的阑值并对系数进行阑值量化。(4)信号的小波包重构，根据最底层的小波包分解系数和经过量化处理系数，进行小波包重构。小波包分析的信噪分离方法，经常用到的Matlab函数有:(1)产生消噪默认IA值的ddencmp[rHASORHEEEPAPP,CRPY]=dds-"d.,;wp,X)den表示消噪，WP表示小波包，X代表信号;THR是返回阑值，SORH选择软阑值或硬阂值沐EEPAPP让你保存低频号，CRIT指嫡标准的选择。(2)小波包消噪函数wpdencmp卜XD,TREED,DATAD,PERFO,PERL2]一.pd-.Ax,SORH从wna.GC尺厅.只ARKEEPAP子)二(R.。一'la-2;fX(w)T%aru)一、󰀀式中X((J)和`Y(w)分别是x(t)和O(t)的傅立叶变换󰀀小波包分析是从小波分析中延伸出来的一种对信号进行更加细致的分析和重构方法。如果记:AW=0(t)，A(t)=v(?)’古圈刨瞥A,(t)=万叉h}(n)A(2t-n)A.W=涯又ho(n)A(2t-n)0,1,AX是输人信号，消噪后返回XD,wname指小波包函数，SORH选择软阂值或硬阑值，N指分解层数。用嫡标准实现最佳分解时，嫡标准由CRIT,PAR定义，阑值参数也是PAR,KEEPAPP=1时低频系数不用阑值量化，反之低频系数也要阑值量化。输出TREED,DATAD是小波包最佳分解结构PERFO及PERF2是恢复和压缩L2范数百分比。4工程实例上述的是小波理论对信号消噪的应用研究。图1为一工程实例图利用上述研究结果并结合MATLAB工具中的小波工具箱和小波包工具箱进行消噪的处理结果图，对比原始信号、小波包降噪信号、小波降噪信号，可以发现小波和小波包都能对原始信号进行降噪处理，但以小波包的效果为最好。，.，、.,.之变包，沈哄翻」合神号称俩(r))为关于正交尺度函数Nn(}=0(f)的小波包。显然{Aof当k=oVk一1时分别是尺度0(r〕和正交小波函数w(t)1从而,uk(t)是正交小波w(t)的推几3信号的信噪分离3.1基于小波分析的信噪分离一个含噪声的信号模型可表示成s(i)=f(i)+a*e(i),i=O,l,k,n-lo其中f(i)为真实信号，e(i)为噪声，S(1)为含噪声的原始信号。小波变换是线性变换，在实验中观测到的值由信号和噪声线性组合而成;观测值的小波变换也是由信号的小波变换cj,k和噪声的小波变换dj,k相加组成。只要找出属于噪声的小波变换值dj,k，将噪声的小波变换值置为零，再对信号进行重建，就可以恢复到去除噪声的信号。信号去噪过程大致可以描述为:首先将原始信号进行小波分解，然后再对小波系进卜一份一恻一下一瞥〔立灭〕1(j二.二，艺〔〔石叹〕J二.,.映定p单5甲」合任乡加~翻~叻一一~一一一一一一时间!ms"图1利用小波用〕小波包进行处理合勺实例图夸5结束语随着科技的发展，信号消噪将会在更多的领域中应用，本文只是利用小波理论对信号消噪进行了一般性的研究，对具体的信号要结合信号的特点选择具体的法，例如小波基的选择、A值的选择、小波分解层次的选择等等拍

经济研究　小波分析及其在股市中的应用　杨洁　西南财经大学经济数学学院四川成都６ｌ　ｌ　１３０　【摘要】小波分析由于具有良好的时空频率变换特性，适合于对非平稳数据的分析，因此被广泛应用于股票市场。本文旨在分别阐述小波分析在股指教据分析和股市　趋势性分析两个方面的应用＇从而提高对股市的预测和分析能力，并为投资者决策提供科学的依据。　【关键词】小波分析奇异性股市趋势　１、引言　自９０年代．我国股票市场成立以来．短短数年问得到了快速的发　展。股票交易作为现代生活中常见的风险投资活动。其收益和风险是　相伴而生的。即高收益，高风险Ｉ１氐收益，低风险。因此现代许多学者对我　国股市信号进行研究．力图从中发现规律．从而在一定程度上规避风　险。小波分析作为一门新兴的数学理论与方法。具有良好的“自适应　性”和“变焦性”．被科学界誉为“数学显微镜”，其良好的时空频率　变换特性在信号处理方面展现出显著的优越性。本文旨在对小波分析　在我国股市的应用进行具体介绍，并对其进一步发展方向进行展望。　’２、小波分析基础概述　小波分析是基于泛函分￣ｆＴＳｎＦｏｕｒｉｅｒ分析基础上发展而来的－－Ｃ］　综合性技术。自今为止它已在众多学科领域得到成功应用，并表现出　显著的优越性。　２．１小波函数　设ｇ／（ｔ）∈　（尺）　（　ｊ表示平方可积的实数空间）其傅里叶变换为　１　，　（ｗ）。当　（ｗ）满足允许条件：　＝　＜ｏ０日寸，我们将　（ｆ）　称为一个母小波。　（ｆ）经过伸缩和平移卮得到　＝２　ｇ／（２　ｆ—ｋ），ｊ，　ｋ分别为伸缩因子和平移因子。　２．２连续小波变换　设　ｅ　（　ｎ／２（Ｒ）。且　（。）：。　肢　（ｘ）＝ｉ　Ｌ　（　生成的函数族（　．　）。叫做连续小波。　（ｗ）表示　（　）的Ｆ０ｕｒ１ｅｒ变　换。则对－厂∈Ｅ（Ｒ）定义的信号厂的连续小波变换是　（。，６）＝　厂＇　ｒ）＞＝Ｉ　ｍ　∽　（　２．３多分辨分析　空间￡２（尺）中的闭子空间序列｛　）　满足以下性质时，则称之为　ＬＺ（Ｒ）空间的一个多分辨分析。　２．３．１一致单调性：…　ｌ　ｃＶｏ　ｃ　ｃ…　２．３．２渐进完全性：Ｑ　（Ｏ）：　彤　２．３．３伸缩规则性：，（　∈　§ｆ（２ｘ）∈　２．３．４　Ｒｉ仑ｓｚ基存在性：存在　∈　，使得｛　—　）｝　是　的一组　Ｒｉｅｓｚ基。　３、小波分析在股市的应用　股指虽然是一组混沌的数据，但在其涨跌率变化等方面都有较强的　规律ｌ嘶口拟随　１１生因此对股市进行研究挖掘其潜在规饿对股市进行预　测。有助于提高投资者决策的科学性。过去对股市的研究大多基于统计　与Ｆｏｕｒｉｅ盼析的基础Ｌ但Ｆｏｕｒｉｅ　不具备空间局部性在对像股指这　样的非平稳数据的处理Ｅ。缺乏时域和频域的双重考虑。小波分析具有　良好的时空频率变化特陆完善了对突发信号的处理功能等，近门年被广　泛应用于对股市信号的研究包括股指数据分析、股市趋势Ｉ生分析等。　３．１在股市数据分析方面的应用——奇异性　无限次可导的函数是光滑的或没有奇异ｌ生而某点间断或某阶导　数不连续则称该点为奇异点。信号中的奇异性及不规则的突变部分往　往携带者重要的信息。因此对奇异点的位置及突变程度进行分析．具有　非常重要的意义。数学中。函数的局部奇异性常用Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ｝￣数来表　示，即Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ￣数越大。奇异性越小。该点的光滑度越大，反之亦然。　［定理１］设厂（　）∈　（尺），［ａ，ｂ］为Ｒ上的闭区间，　：　，对任意大于　０的Ｗ，厂（ｆ）是在区间（ａ＋　６一ｗ）上均匀Ｌｉｐｓｃｈｉｚ（ａ）的函数．当且仅　当存在一个常数Ａ　和ｔ∈（ｎ＋ｗ，ｂ—ｗ１，对任意的ｓ＞０有：　ｆ　／（ｆ）Ｉ　Ａ（２　）　或ｌｏｇ』　／（ｆ）』≤ｌｏｇ：ｋ＋　定理ｌ给出了小波变换值的变化规律与Ｌｉｐｓｃｈｉｚ指数奇异性之间　的关系。综上，通过小波变换值的变化，可检验信号的局部奇异｝生。　奇异性分析在我国股市的具体应用步骤是：因为我国股市数据的　时间序列不长，且噪音较大，因此先对其采用收益率、增长率和自然对　数等方法进行预处理。达到降低噪音水平的作用。其次。选取合适的小　波函数，对信息数据进行小波处理。再次。对小波频谱图进行分析，找出　它的局部极值点。由以上理论得，这些极值点即为股市数据的奇异点。　最后，对各个奇异点进行深入分栀可得出哪些因素对股市有重大影响．　为股市决策给出科学的建议。　３．２股市趋势性分析　股市趋势性分析分为基础分析和技术分析两种．基础分析侧重于　国家甚至世界政治、经济宏观上对股市的影响：技术分析侧重于股市　价格内在的运作规律。在实际中，基础分析和技术分析应相辅相成，相　互补充。　３．２．１基础性分析——周期性　股市是由长期升势和长期跌势更替出现、不断循环形成的周期　性市场。从宏观角度讲。股票市场作为国民经济的“晴雨表”。它的周　期领先于经济周期．通过对股市周期性的分析。可预测国民经济的走势：　从微观角度讲如果能掌握股市的周期１生就可以对股市进行预测。从而　指导投资者规避风险和谋取更高的收益。　利用小波分析将股市信号分解到不同的尺度上，即将信号投影到　不同的频段。小尺度下较好的保存了信号的高频部分。体现了信号较　小的周期：大尺度较好的保存了信号的低频部分，体现了信号较大的周　期。由此为基础，我们可以分析出股市的周期性。　３．２．２技术性分析　常用的股市分析方法为移动平均法　口选取一条短期的移动平均　线和一条长期的移动平均线．当短期移动平均线上穿过长期的时，它们　的交点为黄金交叉点（买入时刻）：当短期移动平均线下穿过长期时。　交点为死亡交叉点（卖出时刻）。因为移动平均法存在着滞后性．所　以很难得到最优解。经过小波分解后的低频部分也能反映股票的变　化趋势．且不具有滞后『生。所以将小波低频替代掉移动平均，效果会更　好。许多学者经过实证研究发现，小波生成线不适合做长期趋势线。因　此只用小波替换掉短期平均线的效果最佳。　４、总结与展望　小波分析理论起源于８０年代，虽出现的时间较短．但已被广泛应用　于信号处理、分形识别等各个领垅尤其是在经济方面的应用前景。得　到了国内外学者的广泛认可。本文基于这一背景。主要介绍７，ｂ波分　析的理论知识及其在股市各个方面的应用。通过对过去成果的总结．　笔者掌握了小波分析在股市的两个应用方向。下—步将收集股市最新　数据对以上应用进行实证研究，并结合神经网络等知识对小波分析理　论进行完善，从而更全面得对股市进行分析和预测。　参考文献　…王哲，王春峰等．小波分析在股市数据分析中的应用．系统工程学　报，１９９９。１４（３）：２８６－２８９．　［２１周明磊．非参数估计与小波分析在股市趋势线中的应用．数理统　计与管理．２００５，２５（４）：７０－７５．　【３】侯木舟，袁修贵．基于ＭＡＴＬＡＢ的小波分析在股市技术分析中的　应用．２００１。１９（５）：８６－９１，　【４１侯守国，张世英．基于小波分析的股市高频互相关研究．中国管理　科学．２００６，１４（３）：Ｉ－６．　２０１　１．１２