下载文档原格式
小波变换及其在信号处理中的应用小波变换（Wavelet Transformation），是用来处理时-频局部分析的一种具有多分辨率的信号分析工具。
小波变换涉及到基函数与尺度函数的选择和求解，能够将时间域和频率域相结合，从而得到更加清晰、准确的分析结果。
因此，在信号处理中应用极为广泛。
一、小波变换的原理及基本概念小波变换其实就是把一个时域信号进行分解或重构，在分解中进行多分辨率分析，在重构中实现还原。
在进行小波变换处理时，我们需要先选定一组小波基函数，对原始信号进行一定的变换，从而实现信号的时间-频率分析。
小波基函数被分为一个系列，常见的有Daubechies小波、Haar小波、Coiflets小波、Symlets小波等。
这些小波函数不仅具有平滑性和对称性，而且能够在不同尺度上实现信号的精确分析，可以更加准确的描述信号的局部性质。
二、小波变换在信号处理中的应用小波变换具有很强的局部分析能力，不仅仅可以把时域和频率域联系在一起，还可以对复杂的信号进行分解和重构，从而得出更加准确的分析结果。
因此，在信号处理中，小波变换有着非常广泛的应用，如：1、地震探测地震信号是一个典型的非平稳信号，使用小波变换可以对地震信号进行多分辨率分析和孔径分辨率优化，从而提高地震探测的准确性。
2、医学图像处理在医学图像处理中，小波变换能够使用不同的小波函数对图像进行分解和重构，从而实现图像的去噪、增强、分割等处理，提高图像处理的效果和准确性。
3、音频处理小波变换可以将音频信号进行分解和重构，从而对音频进行时-频局部分析和处理，可用于音频去噪、降噪、分割、信号提取等，提高音频处理的效果和准确性。
4、金融分析小波变换可对金融数据进行分解，实现不同尺度、不同频率、不同时间的分析，提供金融数据的多维度分析，有利于对股市趋势进行判断和预测。
5、图像压缩小波变换能够将图像进行分解，通过去掉一些高频细节信息，实现图像压缩，从而实现图像的存储与传输，提高图像传输的速度和效率。
小波变换在数据处理中的应用及优势随着信息技术的发展，我们面临着越来越多的数据。
数据的处理已经成为人们日常生活和工作中一个重要的环节。
大数据时代对数据处理的效率和准确性提出了更高的要求。
小波变换有着在信号处理、图像处理等领域广泛应用的优势，也逐渐成为大数据处理的重要工具。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种正交变换，类似于傅里叶变换，可以将信号分解成不同频率的小波组合。
小波变换具有多分辨率的特点，可以根据需要对信号的不同频率范围进行分解。
小波变换的基本原理是将信号经过一系列滤波器和下采样操作，实现信号的分解和重构。
小波变换分为离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）两种。
离散小波变换是将信号在时间和频率上离散化后进行小波变换，是一种离散时间、离散频率的信号分析方法。
连续小波变换则是在时间上进行连续变换，得到一组连续的小波系数。
二、小波变换在数据处理中的应用小波变换在数据处理中有着广泛的应用。
它可以对信号进行分解和重构，提取信号中的信息。
以下是小波变换在数据处理中的应用。
1.信号处理小波变换可以对信号进行分解和重构，提取信号中的特征。
在音频、视频信号处理中，小波分解可以用于降噪、压缩、信号恢复等方面。
例如，在视频信号处理中，可以通过小波变换提取图像的边缘特征，对图像进行边缘增强和轮廓提取。
2.图像处理小波变换可以将图像分解成不同尺度、方向的小波系数，提取出图像中的信息。
在图像处理中可以采用小波变换实现图像分割、边缘检测、噪声去除等处理。
小波变换还可以用于图像压缩，提高图像传输的效率。
3.机器学习小波变换可以用于数据降维和特征提取，有助于机器学习的算法实现。
在数据挖掘、分类、聚类等领域，小波变换可以将高维数据转换成低维数据，减少数据量，提高分类的准确性和鲁棒性。
三、小波变换的优势小波变换在数据处理中有着许多优势，如下所示。
1.多分辨率分析小波变换可以根据需要对信号进行不同频率分解，有助于对信号进行局部分析。
小波变换及其应用小波变换是一种数学工具，可以将时间或空间上的信号分解成不同频率的成分。
它广泛应用于信号处理、图像压缩、模式识别、金融分析等领域。
本文将介绍小波变换的基本原理、算法和应用。
一、基本原理小波变换采用一组基函数，称为小波基。
小波基是一组具有局部化和可逆性质的基函数。
它们具有一个中心频率和一定的时间或空间长度，可以表示不同频率范围内的信号。
小波基函数可以表示为：y(t) = A * ψ(t - τ)/s其中，y(t)是信号的值，A是尺度系数，ψ是小波基函数，τ是位移参数，s是伸缩系数。
通过改变A、τ、s的值，可以得到不同频率、不同尺度的小波基。
小波变换的基本思想是将信号分解成不同频率的小波基函数，在不同尺度上进行分解，得到信号的多尺度表示。
具体来说，小波变换包括两个步骤：分解和重构。
分解：将信号按照不同频率和尺度进行分解，得到信号的局部频谱信息。
分解通常采用多层小波分解，每一层分解都包括高频和低频分量的计算。
重构：将小波分解得到的频域信息反变换回时域信号，得到信号的多尺度表示。
重构也采用多层逆小波变换，从小尺度到大尺度逐层反变换。
二、算法小波变换的算法有多种，包括离散小波变换（DWT）、连续小波变换（CWT）和快速小波变换（FWT）等。
其中离散小波变换最常用，具有计算速度快、计算量小、精度高等优点。
下面简要介绍DWT算法。
离散小波变换是通过滤镜组将信号进行分解和重构的过程。
分解使用高通和低通滤波器，分别提取信号的高频和低频成分。
重构使用逆滤波器，恢复信号的多尺度表示。
DWT的算法流程如下：1. 对信号进行滤波和下采样，得到低频和高频分量；2. 将低频分量进一步分解，得到更低频和高频分量；3. 重复步骤1和2，直到达到最大分解层数；4. 逆小波变换，将多尺度分解得到的信号重构回原始信号。
三、应用小波变换在信号和图像处理中有广泛应用。
其中最常见的应用是压缩算法，如JPEG2000和MPEG-4等。
小波变换及其在信号处理中的应用在现代信号处理领域，小波变换是一种广泛应用的数学工具。
小波变换是一种时频分析方法，可以在时域和频域之间进行转换，并在分析许多信号处理问题方面显示出显着优越性。
本文将介绍小波变换的原理以及其在信号处理中的应用。
一、小波变换的原理小波变换由一系列的计算组成，通过在时间和频率上缩放(op)和平移(shifting)一个小波函数，来表示一个信号。
小波函数可以描述各种复杂信号，包括单调、渐变、突变等等。
这些小波函数是母小波，其次级小波位于不同的时间和频率处。
当一个信号通过小波变换时，小波函数与信号进行卷积，从而产生一组小波系数。
这些小波系数可以表示信号在不同时间和频率上的变化。
二、小波变换的应用小波变换的广泛应用是因为其能解决许多问题。
以下是小波变换的几个应用。
1. 图像压缩。
小波变换通常用于图像压缩，因为小波系数对图像中的高频噪声进行了优化，并消除了冗余数据。
这种方式的图像压缩使得信息能够被更好地存储和传输。
2. 声音处理。
小波变换对于消除音频信号中的杂波和干扰非常有效。
通过小波分析，可以感知音频信号的本质，使得信号更清晰，更易被识别和理解。
3. 生物医学工程。
小波变换可以辅助医学工程师分析大量数据以确保更佳的医学模型。
例如，心电图通常用于监测心率，并且小波变换可以用于去除来自主动肌肉或其他噪音源的信号噪声。
4. 金融分析。
小波分析也在金融分析中广为应用，经常用于首次预测未来的信号行为及其趋势。
小波变换不仅在以上几个领域中应用广泛，而且在各种信号处理领域中都可以被广泛应用，是一个非常有用的工具。
三、总结小波变换是一种强大的数学工具，它可以在信号处理和其他领域中提供有价值的信息来源。
小波变换的优越性表现在将复杂信号分解成多个不同的频率成分上。
通过小波分析，可以在不同时间和频率上分析信号，从而更加深入地理解和处理。
小波变换在图像压缩、声音处理、生物医学工程和金融分析等领域都有广泛的应用，显然，这一工具未来将更加广泛应用。
小波变换处理afc轨道客流数据小波变换在信号处理领域中是一种重要的分析工具，可以用于处理各种类型的信号数据。
本文将以小波变换处理AFC轨道客流数据为主题，详细介绍小波变换的原理、应用以及在AFC轨道客流数据处理中的具体步骤和效果。
一、小波变换原理及应用小波变换是一种时频分析方法，其基本思想是将信号分解成不同频率的成分，同时保留信号的时域和频域信息。
小波变换具有局部性和多尺度分析的特点，能够较好地处理非平稳信号。
小波变换在信号处理中有广泛的应用，如图像处理、语音压缩、模式识别等领域。
在时间序列数据分析中，小波变换可以用于信号去噪、特征提取、异常检测等任务。
在AFC轨道客流数据处理中，小波变换可以用于对轨道客流数据进行分析和预测，从而为轨道交通运营提供决策支持。
二、小波变换在AFC轨道客流数据处理中的具体步骤和效果1. 数据预处理对AFC轨道客流数据进行预处理，包括数据清洗、去除异常值等操作。
这样可以保证数据的准确性和可靠性，为后续的分析和处理提供可靠的数据基础。
2. 小波分解将预处理后的AFC轨道客流数据进行小波分解，将其分解成不同频率的成分。
小波分解可以获得信号的时频信息，帮助我们更好地理解和分析客流数据。
3. 特征提取在小波分解的基础上，可以提取各个频率成分的特征。
这些特征可以用来描述客流数据的时空特性，如客流的波动情况、高峰时段的分布等。
通过对这些特征进行分析，可以更好地了解轨道客流的规律和趋势。
4. 数据重构根据提取的特征，可以对小波分解后的数据进行重构。
重构后的数据可以更好地反映客流数据的整体情况，为后续的分析和预测提供更准确的数据基础。
5. 数据分析和预测在数据重构的基础上，可以对AFC轨道客流数据进行分析和预测。
通过对客流数据的分析，可以了解客流的变化趋势、高峰时段的分布等信息，并提供相应的决策支持。
同时，可以利用小波变换的结果，对未来的客流进行预测，为轨道交通运营提供参考。
小波变换在AFC轨道客流数据处理中的应用效果显著。
小波变换基本原理及应用
小波变换是一种数学工具，它可以将一个时域信号转换为频域信号。
它的基本原理是通过将信号与一组特定的小波函数进行卷积运算，从而得到信号的频域表示。
小波变换具有多尺度分析的特点，可以从不同的时间和频率尺度上分析信号的特征。
小波变换的应用非常广泛。
在信号处理领域，小波变换被广泛应用于信号压缩、滤波、去噪和特征提取等方面。
由于小波变换能够提供更准确的时频分析结果，相比于传统的傅里叶变换具有更好的局部性和时频局部化特性，因此在时频分析领域也得到了广泛的应用。
在图像处理中，小波变换可以用于图像的压缩和去噪。
小波变换可以将图像分解为不同尺度和方向的小波系数，通过丢弃一部分系数可以实现图像的压缩。
同时，小波变换还可以通过去除高频小波系数来实现图像的去噪，从而提高图像的质量。
小波变换还可以应用于金融分析领域。
在金融时间序列分析中，小波变换可以用于提取金融数据中的周期性和趋势性信息。
通过对金融数据进行小波变换，可以将数据分解为不同尺度的波动成分，从而更好地分析和预测金融市场的走势。
小波变换还在语音和图像识别、地震信号处理、生物医学信号处理等领域得到了广泛的应用。
小波变换的多尺度分析特性使其能够更好地适应不同信号的特点，从而提供更准确和有效的分析结果。
小波变换是一种强大的数学工具，具有广泛的应用前景。
它可以在时域和频域上对信号进行分析，从而提取信号的特征和信息。
通过合理地选择小波函数和尺度，可以实现对不同信号的定性和定量分析。
小波变换的应用领域包括信号处理、图像处理、金融分析等，为这些领域提供了一种有效的工具和方法。
小波变换及其应用
小波变换是一种多尺度分析的信号处理技术，可以将信号分解为不同
频率和时间尺度的小波分量，从而提供了更全面的信息，具有很广泛的应用。
以下为小波变换的主要应用：
1.信号压缩：小波变换具有如同离散余弦变换（DCT）、小波重构等
变换可压缩性，可以通过选取一定的小波基，剔除高频噪声等方法将信号
压缩到较小的尺寸。
2.信号去噪：小波变换能够将信号分解为多个尺度和频段的小波系数，因而，小波变换可以应用于信号去噪。
在小波域中对噪声尺度和频段进行
分析和滤波，可有效地去除噪声，使信号更加真实。
3.图像处理：小波变换可以将图像分为低频和高频两个部分，分别表
示图像中大面积变化和微小变化的部分。
图像压缩往往采用这种特性进行
处理。
4.音频处理：小波变换也是音频处理领域中广泛应用的技术。
对语音
信号进行小波分析，可以提取其频率、语气、声调信息等，为音频处理提
供更多信息。
5.金融数据分析：小波变换也被广泛应用于金融领域中，用于对金融
数据进行分析和预测。
通过小波分解，可以提取出不同的时间尺度和频率
对应的信息，进一步了解金融市场的趋势和波动情况。
总之，小波变换在信号处理、图像处理、音频处理、金融领域等方面
都具有广泛的应用。
小波变换在图像处理中的应用及其实例引言：随着数字图像处理技术的不断发展，小波变换作为一种重要的数学工具，被广泛应用于图像处理领域。
小波变换具有多尺度分析的特点，能够提取图像的局部特征，对图像进行有效的压缩和去噪处理。
本文将探讨小波变换在图像处理中的应用，并通过实例加以说明。
一、小波变换的基本原理小波变换是将信号或图像分解成一组基函数，这些基函数是由母小波函数进行平移和伸缩得到的。
小波变换的基本原理是将信号或图像在不同尺度上进行分解，得到不同频率的小波系数，从而实现信号或图像的分析和处理。
二、小波变换在图像压缩中的应用图像压缩是图像处理中的重要应用之一。
小波变换通过分解图像，将图像的高频和低频信息分离出来，从而实现图像的有损或无损压缩。
小波变换在图像压缩中的应用主要有以下两个方面：1. 小波变换在JPEG2000中的应用JPEG2000是一种新一代的图像压缩标准，它采用小波变换作为核心算法。
JPEG2000通过小波变换将图像分解成多个子带，然后对每个子带进行独立的压缩，从而实现对图像的高效压缩。
相比于传统的JPEG压缩算法，JPEG2000在保持图像质量的同时，能够更好地处理图像的细节和边缘信息。
2. 小波变换在图像去噪中的应用图像去噪是图像处理中的常见问题，而小波变换能够有效地去除图像中的噪声。
小波变换通过将图像分解成多个尺度的小波系数，对每个尺度的小波系数进行阈值处理，将较小的小波系数置零，从而抑制图像中的噪声。
经过小波变换去噪后的图像能够更清晰地显示图像的细节和边缘。
三、小波变换在图像增强中的应用图像增强是改善图像质量的一种方法，而小波变换能够提取图像的局部特征，从而实现图像的增强。
小波变换在图像增强中的应用主要有以下两个方面：1. 小波变换在图像锐化中的应用图像锐化是增强图像边缘和细节的一种方法，而小波变换能够提取图像的边缘信息。
通过对图像进行小波变换，可以得到图像的高频小波系数，然后对高频小波系数进行增强处理，从而增强图像的边缘和细节。
小波变换及其应用随着现代科技的发展，数据的处理越来越成为一种重要的技术。
在数据的分析和处理过程中，小波变换作为一种有利的处理工具，正在越来越被广泛应用。
本文将从小波变换的基础知识、小波变换应用的实际例子、小波变换的未来发展三个方面来探讨小波变换的相关知识。
小波变换的基础知识小波变换的概念最早由英国数学家Alfred Haar引入，可以将其视为一种信号分解和分析的方法，通常可以将一种复杂的信号分解为许多相互独立的低频和高频分量，以达到更好的数据处理效果。
一般来说，小波变换可以通过对输入信号做高通和低通滤波器，然后进行下采样得到。
在高通滤波后，可以提取出信号中高频分量，并在低通滤波后提取出信号中的低频分量。
小波变换常用于图像处理和信号处理，其最大的优势在于其网格互补性，即，在一定程度上不失去信号的原始数据，依旧可以对其信号性质进行深入的分析。
小波变换应用的实际例子小波变换的应用非常广泛，下面举几个实际的例子。
1.图像压缩：图像在数字化过程中，会产生大量的数据。
通过小波变换将图像分解成不同频率的小波，可以进一步将其压缩，达到更好的数据处理和储存效果。
2.音频处理：通过小波变换可以将音频信号分解成波形的高频和低频分量，提供更好的音频信号处理效果。
3.金融分析：小波变换在金融分析中也有广泛的应用，通过对股票价格波动的分析，可以预测未来的股票价格波动趋势。
小波变换的未来发展小波变换技术在未来的发展中，有可能更加深入的将其应用到现实生活的各个方面。
目前，小波变换被广泛应用于数据的压缩、处理和分离。
但是，在未来，小波变换有可能会将更进一步，应用到物联网、机器学习、人工智能等领域上，成为重要的基础技术之一。
总之，小波变换这项技术可以分析和处理不同性质的信号，充分利用信号中的频率信息，达到更加高效和准确的数据处理和信号分离效果。
虽然小波变换在某些情况下有些限制，但其在实际应用中的效果已经足够显著，未来它的应用范围将更加广泛，至于小波变换的发展是什么样的，需要我们拭目以待。
小波变换简介及其应用领域引言：小波变换（Wavelet Transform）是一种用于信号分析和处理的数学工具，它在各个领域都有着广泛的应用。
本文将简要介绍小波变换的原理和基本概念，并探讨其在图像处理、音频处理和压缩等领域的应用。
一、小波变换的原理和基本概念小波变换是一种时频分析方法，它通过将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数来描述信号的特征。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时域和频域局部性，能够更好地捕捉信号的瞬态特征。
小波变换的基本概念包括尺度和平移，其中尺度表示小波基函数的频率特性，平移表示小波基函数在时间轴上的位置。
通过不同尺度和平移的组合，可以得到一系列小波基函数，它们可以用来分析和表示信号的不同频率成分。
二、小波变换在图像处理中的应用小波变换在图像处理领域有着广泛的应用。
通过对图像进行小波变换，可以将图像分解成不同频率的子带图像，从而实现图像的多尺度分析。
这种分解可以用于图像去噪、边缘检测、纹理分析等任务。
另外，小波变换还可以用于图像压缩。
传统的JPEG压缩算法使用离散余弦变换（DCT）来对图像进行频域压缩，但是在压缩比较高的情况下，会出现压缩失真。
而小波变换可以提供更好的时频局部性，能够更好地保留图像的细节信息，从而实现更高质量的图像压缩。
三、小波变换在音频处理中的应用小波变换在音频处理中也有着重要的应用。
通过对音频信号进行小波变换，可以实现音频的时频分析和特征提取。
这对于音频信号的识别、分类和音频效果处理等任务非常有用。
此外，小波变换还可以用于音频的压缩编码。
与图像压缩类似，小波变换可以提供更好的时频局部性，能够更好地保留音频的细节信息，从而实现更高质量的音频压缩。
四、小波变换在其他领域的应用除了图像处理和音频处理，小波变换还在许多其他领域有着广泛的应用。
例如，在生物医学领域，小波变换可以用于心电图信号的分析和诊断；在金融领域，小波变换可以用于股票价格的预测和分析；在通信领域，小波变换可以用于信号的调制和解调等。
小波变换及应用一． 为什么研究小波变换傅立叶变换（Fourier Transform ，缩写为FT ）由下列公式定义： 正变换公式ˆ()()i t f f t e dt ωω∞--∞=⋅⎰ （1）逆变换公式⎰∞∞-⋅=dt e ft f t i ωωπ)(ˆ21)( （2） 分析：1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。
2．变换积分核t i e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1=±t i e ω，因此，频谱)(ˆωf的任一频率点值是由时间过程)(t f 在整个时间域),(∞-∞上的贡献决定的；反之，过程)(t f 在某一时刻的状态也是由)(ˆωf在整个频率域),(∞-∞上的贡献决定的。
)(t f 与)(ˆωf彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。
特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。
要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。
3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。
4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数)(τ-t g ，使其对信号)(t f 进行乘积运算以实现在τ附近的开窗，再对加窗的信号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT ），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform ）。
STFT 定义如下：(,)()()i t f S f t g t e dt ωωττ∞--∞=-⎰（3）其中，窗口函数()g t 一般取为光滑的低通函数，保证)(τ-t g 只在τ的附近有值，在其余处迅速衰减掉。
这样，短时傅立叶变换就在τ点附近局部地测量了频率分量ω的幅度值，得到信号在τ=t 时刻附近的频率信息。
D ．Gabor 采用Gauss 函数作为窗口函数，其相应的傅立叶变换仍旧是Gauss 函数，从而保证短时傅立叶变换在时域与频域内均有局域化功能。
短时傅立叶变换存在固有的局限：即其时间——频率窗口是固定不变的，一旦窗函数()g t 选定，其时频分辨率也就确定了。
也就是说，它对所有的频率都使用同样的窗口。
我们若想提高时间分辨率，就要把窗口缩得很窄，但这样势必会降低频率分辨率。
Heisenberg 测不准原理告诉我们，不可能在时间和频率上均有任意高的分辨率，因为时间和频率的最高分辨率受下式的制约：14t ωπ∆⋅∆≥（4） 上式中t ∆和ω∆分别表示时间域和频率域的窗口宽度。
这表明，任一方分辨率的提高都意味着另一方分辨率的降低。
上述的分析表明，由于使用了固定的窗口，而实际时变信号的分析需要时频窗口具有自适应性，对于高频谱的信息，时间间隔要相对地小以给出较高的精度；对于低频谱的信息，时间间隔要相对地宽以给出完全的信息。
换句话说，重要的是要有一个灵活可变的时间——频率窗，能够在高“中心频率”时自动变窄，而在低中心频率时自动变宽。
而小波便是为此而设计的。
小波变换定义为*,(,)()()a b Wf a b f t t dt ψ=⎰ （5）变换的核函数为,()()a b t bt a ψ-=,0a >b R ∈； （6）其中，ψ()t 被称为一个基本小波或母小波，它一般是时域上以0＝t 为中心的带通函数，在时域和频域都必须是局部化（紧支撑）的，且其平均值为零，即()0t dt ψ=⎰ （7）二.如何进行小波变换例如：[x0,x1,x2,x3]=[90,70,100,70] 取 (x0+x1)/2,(x0-x1)/2 来代表 x0,x1 这样 [90,70] --〉 [80,10] ， 同理，[100,70] --〉 [85,15]。
其中80 和85 是局部的平均值，反映变化相对缓慢的值， 即低频部分的值 而10、15是小范围波动的值， 局部变换较快，即高频部分的值。
小波变换描述为：第一次变换：[90,70,100,70] --> [80,85,10,15] 即低频部分[80,85] (记为V 1）， 高频部分[10,15]（记为W 1)第二次变换：同理而[80,85] --> [82.5, -2.5]， 82.5为低频部分(记为V 2) ，-2.5为高频部分（记为W 2）。
则[90,70,100,70] --〉[82.5, -2.5, 10, 15]这是二代小波（harr 小波）的二级变换，如果维数高，同样可以进行更高级的变换。
图1二带小波与4带小波的空间分解写成矩阵表达形式： [90,70]---> [80,10] 写成V 4 W 4W 3W 2 W 1V 2 W 21 W 22 W 23W 11W 12W 13二带小波 4带小波[]112211229070⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ [90,70,100,70] --> [80,85,10,15]写成[][]11002211002280851015907010070110022110022⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦[80,85,10,15] --〉[82.5, -2.5, 10, 15] 写成[][]110022110082.5 2.51015808510152200100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对二维图像操作结果分析小波变换的精髓就是：对于变化平缓的信息（对应低频信息），在大范围（尺度）上观察，对于变化很快的信息（对应高频信息），在小范围（尺度）上观察。
称为多尺度或多分辨率思想。
若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机镜头由远及近地观察目标。
在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概貌；在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，可观察到目标的细节部分。
这种由粗及精对事物的分析就称为多分辨率分析。
介绍多分辨率分析及尺度空间和小波空间的概念。
任何一个事物S都对应着多个描述空间，每个描述空间都由自身的特征描述基构成，若这些特征基可以描述出S中不同事物，则称特征基在S中是完备的。
若这些特征基两两之间不相关，则称其为正交。
当然完备并不要求正交，正交的好处在于每个特征基上描述的信息和其他特征基不相关。
从而消除了信息的冗余（部分重复）表示。
描述空间也称描述域。
不同特征基有不同描述和运算规则。
将事物在A描述空间上的特征转为在B空间（也称变换域）的特征，可更符合于我们的观察或认知。
例如：传统的傅里叶变换即是引入无穷余玄基和正玄基来无穷逼近L 2空间中（平方可积空间）的函数。
因余玄基和正玄基的许多优秀性质而被广泛应用。
例如：在图像压缩中，我们就是利用了图像数据的特性，将其转化为符合其特性描述的空间上，从而更好的描述了图像而达到压缩的目的。
因此解决不同问题可选择不同的变换方式。
自然图像的数据特性就是其中相邻的象素点的颜色（或象素值）在一个大的概率上相关，否则我们将要看到一片颜色（或灰度）乱变的点。
图像频域的描述空间概念：对于大范围内平缓变化的信息，我们称其为低频信息，对于小范围内变化很快的信息，我们称其为高频信息，并将这些信息对应频域上的数值。
低频和高频信息可任意设置。
离散傅里叶变换以变化平缓的波来描述低频信息，以变化快速的波来描述高频信息。
因自然图像相关性，故低频信息描述了整体的信息，而高频信息描述了局部细节。
傅里叶变换存在一些不足。
例如，要想取得较好的低频信息，我们需要相对较长的变换窗口，而要想取得较好的高频信息，我们又需要较短的窗口, 这样就引起一对矛盾。
为了解决傅里叶变换的不足，就需要用长窗口来提取低频信息，用短窗口来提取高频信息。
小波变换应运而生。
以图像来说明建立空间特征基和小波变换的关系 设有一幅图像由64个点组成，从不同分辨率考察。
最近时， 把1个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V0 走远一些，把4个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V1 再走远一些，把16个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V2 再走进一些，把64个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V3 可知凡是在V j 空间内可以描述的图像，1-j V 空间内皆可描述,并且描述的更细致，故V j 包含于1-j V 空间 。
记j j j W V V ⊕=-1,即V j 和W j 构成1-j V 空间。
（若j j W V ⊥ ，则W j 为V j 的正交补空间，实际应用中不要求一定正交）记j P 为图像在V j 空间的描述则11j j j D P P ++=- 就表示了图像在这两个描述空间的细节差异，因为11j j j V V W ++=⊕，故1j D +为图像在1j W +空间上的描述。
即1j W +空间表述了细节差异。
如果1+⊥j j W W ,即为不同分辨率下的细节差异不相关，从而消除冗余。
在j W 空间中能找到一组正交标准基，其基本函数必是高（带）通的，就称其为小波函数。
继续分解3321j j j j j V V W W W ++++=⊕⊕⊕即最清晰分辨率下的图像可以由不同分辨率下的细节差异和最高尺度（最低分辨率）下的图像合成而得。
如何构造Wi ？11j j j V V W ++=⊕中 V j 就是尺度空间，即我们观察事物所采用的尺度，也就是分辨率。
尺度越大，分辨率越小，尺度越小，分辨率越大。
j W 就是细节空间，即不同尺度空间观察事物的差异。
一幅图像=最低分辨率下图像+不同细节空间的细节信息。
即： 一幅图像=系数 * 尺度空间基 + 系数 * 细节空间基正如富里叶变换是将一个函数用无穷项正玄或余玄基逼近，小波变换是将一个函数以小波基来逐级逼近。
富里叶变换是以 j t e ω为核进行积分，小波变换以小波基为核进行积分.函数()ψt 为母小波，那么通过尺度变换和平移变换，可得到离散二带小波变换的基函数22,()2()2ψψ--=jj j n t nt 由多分辨率分析概念，设()t φ,)(t ψ分别为尺度空间0V 和小波空间0W 的标准正交基。
由于10-⊂V V ,10-⊂V W ，所以()t φ,)(t ψ也必然属于，也就是说()t φ,)(t ψ可用1-V 空间的正交基)(,1t n -φ线性展开：∑∑-==-nnn n t n h t n h t )2()(2)()()(0,10φφφ （8）∑∑-==-nnn n t n h t n h t )2()(2)()()(1,11φφψ （9）式（8），（9）描述的是相邻二尺度空间基函数之间的关系，称此二式为二尺度方程。
