人教中考数学 平行四边形 培优练习(含答案)及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．

（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．

（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．

【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．

【解析】

分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；

②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；

（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；

（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．

详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；

②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，

∴∠BCG=∠DCE， ∴△BCG≌△DCE，

∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，

又∵∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHG=90°，

∴BG⊥DE．

（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，

∴BCCGbDCCEa，

又∵∠BCG=∠DCE，

∴△BCG∽△DCE，

∴∠CBG=∠CDE，

又∵∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHG=90°，

∴BG⊥DE．

（3）连接BE、DG．

根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，

∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°

∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．

点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．

2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．

（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62或233.

【解析】

【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；

（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.

【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，

∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，

∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，

∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，

∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，

∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，

∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；

（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，

∵|CF﹣AE|=2，EF=23，AE=CK，∴FK=2，

在Rt△EFK中，tan∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，

∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，

∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，

在Rt△PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3，

∴OP=2212362.

如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，

∴∠BOP=90°，

∴OP=33OE=233，

综上所述：OP的长为62或233.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

3．已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF．

求证：四边形AECF是菱形．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得AF＝CF，由△ABE≌△CDF，可得AE＝CF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形．

【详解】

证明：∵四边形ABCD是菱形

∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，

∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF

∴△ADF≌△CDF（SAS）

∴AF＝CF，

∵AB∥CD，AE∥CF

∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE

∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD

∴△ABE≌△CDF（AAS）

∴AE＝CF，且AE∥CF

∴四边形AECF是平行四边形

又∵AF＝CF，

∴四边形AECF是菱形

【点睛】

本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.

4．（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C处，若42ADB∠，则DBE的度数为______.

（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，4AB，9AD.

（画一画）如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

（算一算）如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点,AB分别落在点A，B处，若73AG，求BD的长.

【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：3BD

【解析】

【分析】

（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；

（2）【画一画】，如图2中，延长BA交CE的延长线由G，作∠BGC的角平分线交AD于M，交BC于N，直线MN即为所求；

【算一算】首先求出GD=9-72033，由矩形的性质得出AD∥BC，BC=AD=9，由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，证出∠DFG=∠DGF，由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=203，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不变性，可知FB′=FB，由此即可解决问题．

【详解】

（1）如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=42°，

由翻折的性质可知，∠DBE=∠EBC=12∠DBC=21°，

故答案为21．

（2）【画一画】如图所示：

【算一算】

如3所示：

∵AG=73，AD=9，

∴GD=9-72033，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，BC=AD=9，

∴∠DGF=∠BFG，

由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，

∴∠DFG=∠DGF，

∴DF=DG=203，

∵CD=AB=4，∠C=90°，

∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=22222016433DFCD，

∴BF=BC-CF=9161133， 由翻折不变性可知，FB=FB′=113，

∴B′D=DF-FB′=2011333.

【点睛】

四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．

5．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣6，0）、点C（0，6），若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：

（1）如图①，当α＝45°时，求BC与A′B′的交点D的坐标；

（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；

（3）若P为线段BC′的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）．

【答案】（1）(662,6)；（2）(333,333)；（3）323323AP.

【解析】

【分析】

（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B，在Rt△BA′D中，∠OBC＝45°，A′B＝626，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；

（2）过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，即可得出点B′的坐标；

（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK＝12OC′＝3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围．

【详解】

解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），

∴四边形OABC是边长为6的正方形，

当α＝45°时，

如图①，延长OA′经过点B，

∵OB＝62，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45°，