2012年浙江省宁波市镇海中学高一实验班选拔考试数学卷
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2012年浙江省宁波市镇海中学高一实验班选拔考试数学卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.
1．（5分）（2001•东城区）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ）
A． 直线y=﹣x上 B． 抛物线y=x2上 C． 直线y=x上 D． 双曲线xy=1上
考点： 二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 根据相反数的概念及各函数图象上点的坐标特点解答即可．
解答： 解：A、y=﹣x即表示x与y互为相反数，故本选项正确；
B、例如（﹣1，1），就符合抛物线的解析式y=x2，故本选项正确；
C、当该点坐标为（0，0）时，该点就在直线y=x上，故本选项正确；
D、因为xy=1，所以x和y同号，该点不在双曲线xy=1上，故本选项错误．
故选D．
点评： 本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．根据函数不同特点，都对符号作出判断即可．
2．（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（ ）
A． 35 B． 30 C． 25
D． 20
考点： 分式方程的应用．
分析： 设距离为S，原来速度为v．分别表示现在速度、时间、原来的时间，根据“时间可节省k%”列方程求解．
解答： 解：设距离为S，原来速度为v．则原来行车时间为；现在速度为（1+25%）v，时间为．
根据题意得=k%．
解得 k=20．
故选D．
点评： 此题考查列分式方程解应用题，难度在设参数，解字母系数的方程．
3．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（ ）
A． 最小，a3最大 B． 最小，a最大 C． 最小，a最大 D． 最小，最大
考点： 实数大小比较．
分析： 在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．
2 解答： 解：∵若﹣1＜a＜0，
∴a可取﹣0.001，
那么a3=﹣0.000 000 0001，
=﹣0.1，
=﹣1000，
∴最小，a3最大，
故选A．
点评： 考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化比较的步骤．
4．（5分）（2001•黑龙江）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥AF B． EF：AF=：1 C． AF2=FH•FE D． FB：FC=HB：EC
考点： 旋转的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： 由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．
解答： 解：由题意知，△AFB≌△AED
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．
∴AE⊥AF，所以A正确；
∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF=：1，所以B正确；
∵HB∥EC，
∴△FBH∽△FCE，
∴FB：FC=HB：EC，所以D正确．
∵△AEF与△AHF不相似，
∴AF2=FH•FE不正确．
故选C．
点评： 本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．
5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（ ）
A． 22 B． 24 C． 36 D． 44
考点： 三角形的面积．
分析： 可设S△ADF=m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m表示出△AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积．
解答： 解：如图，连AF，设S△ADF=m，
∵S△BDF：S△BCF=10：20=1：2=DF：CF，
则有2m=S△AEF+S△EFC，
S△AEF=2m﹣16，
3 而S△BFC：S△EFC=20：16=5：4=BF：EF，
又∵S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4，
而S△ABF=m+S△BDF=m+10，
∴S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4=（m+10）：（2m﹣16），
解得m=20．
S△AEF=2×20﹣16=24，
SADEF=S△AEF+S△ADF=24+20=44．
故选D．
点评： 本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．
6．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ）
A． 30 B． 35 C． 56 D． 448
考点： 整数问题的综合运用．
专题： 数字问题．
分析： 此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有C152=105种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3=每天3个班 再用105除以3=35天．
解答： 解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，
得：有C152=105种组合，
又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，
所以最长需要的天数是105÷（24÷8）=35（天）．
故选：B．
点评： 此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．
二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）
7．（5分）已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA= 0.5
．
考点： 锐角三角函数的定义；解一元二次方程-配方法．
专题： 计算题．
分析： 先根据解一元二次方程的配方法，得出2sinA﹣cosA=0，再根据tanA的定义即可求出其值．
解答： 解：由题意得：（2sinA﹣cosA）2=0，
解得：2sinA﹣cosA=0，2sinA=cosA，
∴tanA===0.5．
故答案为：0.5．
点评： 本题考查了锐角三角函数的定义及利用配方法解一元二次方程的知识，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握．
8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过 2 小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．
4
考点： 勾股定理的应用．
专题： 计算题．
分析： 根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．
解答： 解：如下图所示，
设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，
则BC=3x，AC=12x，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2=OB2；
在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2=AO2；
在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2=AB2=（15x）2；
∴122+（3x）2+122+（12x）2=（15x）2，
解得：x=2或﹣2（舍去）．
即经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．
故答案为：2．
点评： 本题考查勾股定理的实际应用，难度适中，先根据题意画出图形是解题关键．
9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是 y=﹣x2﹣x+ ．
考点： 二次函数综合题．
分析： 根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
解答： 解：∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，
∴A点的坐标为：（﹣4，2），B点的坐标为：（﹣2，6），C点的坐标为：（2，4），
将A，B，C代入y=ax2+bx+c，
，
5 解得：，
∴二次函数解析式为：y=﹣x2﹣x+．
故答案为：y=﹣x2﹣x+．
点评： 此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键．
10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 20 cm．
考点： 相切两圆的性质．
分析： 首先根据题意作图，可得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，然后过点B作BE⊥AC，又由切线的性质，即可得四边形ECDB是矩形，则在Rt△AEB中，即可求得BE的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长．
解答： 解：如图，根据题意得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，
∴AB=25cm，AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACD=∠BDC=90°，
过点B作BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴四边形ECDB是矩形，
∴BE=CD，EC=BD=5cm，
∴AE=AC﹣EC=15cm，
在Rt△AEB中，BE===20（cm），
∴CD=20cm．
故答案为：20．
点评： 此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 （﹣，﹣2） ．
