4.1 圆的方程
教学目标:
①知识目标:掌握圆的标准方程、一般方程和参数方程,会根据条件并结合圆的性质熟练地求出圆的方程;
②能力目标:能根据题意,灵活选用圆的方程,解决和圆有关的问题;
③情感目标:感受圆的方程的各种形式,体会解题的乐趣。
教学重点、难点及其突破:根据已知条件求圆的方程为本节重点,涉及的题目多数为中等难度选择题和填空题,也有难度较大的综合题。求圆的方程通常用待定系数法,若已知条件和圆心、半径有关,可先用已知条件求出圆心、半径,用圆的标准方程求解;若已知条件涉及圆过几点,往往用圆的一般方程。
教学方法:讲练结合法。
高考要求及学法指导:圆的内容高考每年都有考查,在本节主要考查:在高考的考查中,常表现在以下三个方面:(1)由已知条件求圆的方程,体现了待定系数法;(2)由圆的方程研究圆心、半径等相关元素的特点;(3)与圆有关的最值问题。对以上问题的处理要注意运用平面几何中圆的性质,来简化解题过程.
教学过程:
一、知识点讲解:
1、确定一个圆需三个独立条件:
由于确定一个圆就是确定它的位置和大小,即确定圆心和半径,
所以,在确定一个圆时,就是求圆心坐标(a ,b)和半径r ,即去确定a 、b 、r 三个参数,所以,必须有三个条件才能求得a 、b 、r ,从而确定一个圆;
2、圆的方程
(1)圆的标准方程:()()22
2x a y b r -+-=(0r >),其中圆心为(a ,b),半径为r .
(2)圆的一般方程:220x y Dx Ey F ++++=(2240D E F +->),其中圆心为)2,2(E D --,半径F E D r 42122-+= 二、例题分析:
(一)基础知识扫描
1、22420x y x y +-+=的圆心和半径分别为( )
A .(2,-1)
.(2,-1),5
C .(-2,- 1),5
D .(-2,-1)
2、已知A(-4,-5),B(6,-1),则以AB 为直径的圆的方程是( )
A.()()2213x y -++=()()22
1329x y ++-=
C. ()()221329x y -++=
D. ()()2213x y ++-=(二)典型题型分析:
题型1:求圆的方程
一般用待定系数法求圆的方程,根据题设条件,合理选择标准方程、一般方程和参数方程,然后寻找三个独立条件列出三个等式便可求得.在求方程时,应尽量利用圆的几何性质.
例1 求圆心在直线4y x =-上,并且与直线l :10x y +-=相切于点P(3,2)的圆的方程.
分析 求圆的方程存在两种思路,一是运用方程观点解决,使用待定系数法;另外也可充分揭示几何性质,运用分析的方法解决.
解法1 设所求圆方程为 ()()22
2x a y b r -+-=,则依题意有 ???????==--+--=-+r r b a a b b a 21222)2()3(4,解方程组得
a=1,b=-4,r =
所求圆的方程为 ()()22
148x y -++=
解法 2 由于圆心在直线 4y x =-上,又在过切点(3,-2)与切线x+y-1=0垂直的直线y+2=(x -3),即x-y-5=0上,解方程组???-==--x y y x 405 可得圆心(1,-4),于是
r ==为()()22148x y -++=
例 2 已知方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆.
(1)求实数m 的取值范围;
(2)求该圆半径r 的取值范围;
(3)求圆心的轨迹方程.
解 (1)方程表示圆的充要条件是2240D E F +->,即
22229(3)4(14)4(169)0m m m ++--+>,∴17
1<<-m (2)716)73
(72+--=m r ≤774,∴0<r ≤7
74 (3)设圆心坐标为(x ,y),则???-=+=1
432m y m x ,消去m ,得24(3)1y x =-- ∴171<<-m ,∴
47
20< 1、圆的方程常见三种: (1)标准方程:()()222x a y b r -+-= (2)一般方程:220x y Dx Ey F ++++= (其中2240D E F +->) 2、求圆的方程,主要用待定系数法,有三种求法,一是利用圆的标准方程,求出a 、b 、r ,二是利用圆的一般方程,求出系数D 、E 、F 的值. 3、有关圆的问题,注意圆心、半径及平面几何知识的应用. 四、作业:课时规范训练8、9、10、11 五、课后反思: