高三一轮复习精题组同角三角函数基本关系及诱导公式(有详细答案)

§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式

1． 同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.

2． 下列各角的终边与角α的终边的关系

角 2kπ＋α

(k∈Z) π＋α －α

图示

与角α

终边的

关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称

角 π－α π2－α π2＋α

图示

与角α

终边的

关系 关于y轴

对称 关于直线y＝x

对称

3. 六组诱导公式

组数 一 二 三 四 五 六

角 2kπ＋α

(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α

正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α

余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α

正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α

口诀 函数名不变

符号看象限 函数名改变

符号看象限

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．

( × )

(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．

( × )

(3)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cos θ＝13.

( × )

(4)已知sin θ＝m－3m＋5，cos θ＝4－2mm＋5，其中θ∈[π2，π]，则m<－5或m≥3. ( × )

(5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos

θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－33.

( × )

(6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin2α－cos2α的值是－13.

( √ )

2． 已知sin(π－α)＝log814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为

( )

A．－255 B.255 C．±255

D.52

答案 B

解析 sin(π－α)＝sin α＝log814＝－23，

又α∈(－π2，0)，

得cos α＝1－sin2α＝53，

tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.

3． 若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．

答案 34

解析 原式＝2tan

α－1tan

α＋2＝34.

4． 已知cosπ6－α＝23，则sinα－2π3＝________.

答案 －23

解析 sinα－2π3＝sin－π2－π6－α

＝－sinπ2＋π6－α＝－cosπ6－α＝－23.

5． 已知函数f(x)＝ 2cos π3x，x≤2 000，x－15，x>2 000，则f[f(2 015)]＝________.

答案 －1

解析 ∵f[f(2 015)]＝f(2 015－15)＝f(2 000)，

∴f(2 000)＝2cos2 000π3＝2cos

23π＝－1.

题型一 同角三角函数关系式的应用

例1 (1)已知cos(π＋x)＝35，x∈(π，2π)，则tan x＝________.

(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于

( )

A．－43 B.54 C．－34 D.45

思维启迪 (1)应用平方关系求出sin x，可得tan x；

(2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求．

答案 (1)43 (2)D

解析 (1)∵cos(π＋x)＝－cos x＝35，∴cos x＝－35.

又x∈(π，2π)，

∴sin x＝－1－cos2x＝－1－－352＝－45，

∴tan x＝sin

xcos

x＝43. (2)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θsin2θ＋cos2θ

＝sin2θcos2θ＋sin θcos

θcos2θ－2sin2θcos2θ＋1＝tan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.

思维升华 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin

α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos

α，可以知一求二．

(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

(1)已知1＋sin xcos x＝－12，那么cos xsin x－1的值是 ( )

A.12 B．－12

C．2

D．－2

(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________.

答案 (1)A (2)25

解析 (1)由于1＋sin xcos x·sin x－1cos x＝sin2x－1cos2x＝－1，

故cos xsin x－1＝12.

(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θsin2θ＋cos2θ

＝tan θtan2θ＋1＝222＋1＝25.

题型二 诱导公式的应用

例2 (1)已知cosπ6＋α＝33，求cos5π6－α的值；

(2)已知π

思维启迪 (1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．

(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值．

解 (1)∵π6＋α＋5π6－α＝π，

∴5π6－α＝π－π6＋α.

∴cos5π6－α＝cosπ－π6＋α

＝－cosπ6＋α＝－33，

即cos5π6－α＝－33.

(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)

＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，

∴cos α＝35.

∴sin(3π＋α)·tanα－72π

＝sin(π＋α)·－tan72π－α

＝sin α·tanπ2－α

＝sin α·sinπ2－αcosπ2－α

＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.

思维升华 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．

(1)已知sinα＋π12＝13，则cosα＋7π12的值为________．

(2)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则sin－α－32πcos32π－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)＝________.

答案 (1)－13 (2)－916

解析 (1)cosα＋7π12＝cosα＋π12＋π2

＝－sinα＋π12＝－13.

(2)∵方程5x2－7x－6＝0的根为－35或2，

又α是第三象限角，∴sin α＝－35，

∴cos α＝－1－sin2α＝－45，

∴tan α＝sin αcos α＝－35－45＝34，

∴原式＝cos α－sin αsin α·cos α·tan2α＝－tan2α＝－916.

题型三 三角函数式的求值与化简

例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos2α的值；

(2)化简：tanπ－αcos2π－αsin－α＋3π2cos－α－πsin－π－α.

思维启迪 三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式．

解 (1)因为tan α＝13，

所以12sin αcos α＋cos2α＝sin2α＋cos2α2sin αcos α＋cos2α

＝tan2α＋12tan α＋1＝23.

(2)原式＝－tan α·cosα·－cos αcosπ＋α·－sinπ＋α

＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.

思维升华 在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简． (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是 ( )

A．正三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．钝角三角形

(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0，

则sin2π－α·sinπ＋α·cosπ＋αsin3π－α·cosπ－α＝________.

答案 (1)D (2)－255

解析 (1)∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49，

∴sin αcos α＝－518<0，∴α为钝角．故选D.

(2)原式＝－sin α·－sin α·－cos αsin α·－cos α＝sin α，

∵tan α＝2>0，∴α为第一象限角或第三象限角．

又sin α＋cos α<0，∴α为第三象限角，

由tan α＝sin αcos α＝2，

得sin α＝2cos α代入sin2α＋cos2α＝1，

解得sin α＝－255.

方程思想在三角函数求值中的应用

典例：(5分)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.

思维启迪 利用同角三角函数基本关系，寻求sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ和sin θcos θ的关系．

规范解答

解析 方法一 因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，

所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，

所以sin θcos θ＝－60169.