高中数学必修一必修二的知识总结

必 修 一

第一章 集合与函数的概念

一、集合：

1．集合的定义与表示

（1）集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合

（2）集合的表示：常用大写拉丁字母,,,CBA表示，集合中的元素一般用小写拉丁字母,,,cba表示

（3）集合的性质：确定性、互异性、无序性（集合中元素的性质）

（4）元素与集合的关系：属于(Aa) , 不属于(Aa)

（5）常用数集：RQZNN,,,,*

（6）集合的表示：列举法，描述法

2．集合间的基本关系（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解）

（1）子集：

一般地，对于两个集合,AB，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A是集合B 的子集，记作BA（读作A含于B）或AB（读作B包含A）。韦恩表示图略

（2）集合相等：

如果集合A是集合B的子集（BA），且集合B是集合A的子集（BA），称集合A 与集合B相等。记作AB。韦恩表示图略

（3）真子集：

如果集合BA，但存在元素,xB且,xA称集合A是集合B 的真子集，记作BA（读作A真含于B）或AB（读作B真包含A）。韦恩表示图略

（4）空集：

不含任何元素的集合叫做空集。

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集

（5）集合的子集个数：

含有n个元素的集合的子集个数为n2，真子集个数为12n，非空真子集个数为22n

3．集合的基本运算从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解）

（1）并集：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作AB（读作：“A并B”），即,ABxxAxB或，韦恩表示图略

（2）交集：

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作AB（读作：“A交B”），即,ABxxAxB且，韦恩表示图略，数轴表示略

（3）补集：

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UAð，即=,UAxxUxA且ð，韦恩表示图略，数轴表示略

说明：求并集、交集与补集时可借用数轴处理

4．集合的主要性质和运算律

集合的主要性质和运算律

包含关系：

).(),(;)(,)(;,,,BABBAABBAABACACBBAUACUAAAAU则若

集合的运算律：

交换律：.;ABBAABBA

结合律：).()();()(CBACBACBACBA

分配律：).()()();()()(CABACBACABACBA

0—1律：.,,,UAUAAUAAA

等幂律：.;,BBAABABAAAAAAA

求补律：.)(,,,,AACCUCUCUACAACAUUUUUU

反演律：).()()();()()(BACBCACBACBCACUUUUUU

二、函数及其表示

1．函数的定义：（集合对应定义法）

设AB、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数，记作(),yfxxA， 其中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合()fxxA叫做函数的值域，值域是集合B的子集.

函数三要素：定义域（集合），值域（集合），解析式（表达式）

区间（集合的另一种表示方式）：开区间、闭区间、半开半闭区间（左开右闭、左闭右开）

(,);,;,,,;,,,;,,,,,ababababaabb

无穷大的引入：,,

2．函数的表示：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系

图像法：用图表表示两个变量之间的对应关系

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系

分段函数：

映射：设AB、是非的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:fAB为从集合A到集合B的一个映射。

会区分函数与映射的关系

3．函数的性质：（主要从文字叙述，数学符号，图象特征方面理解）

（1） 单调性

① 增函数，增区间，递增性

一般地，设函数()fx的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是增函数；区间D叫做函数()fx的一个增区间；这种性质叫做函数的递增性。

② 减函数，减区间，递减性

一般地，设函数()fx的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是减函数；区间D叫做函数()fx的一个减区间；这种性质叫做函数的递减性。

注：会从文字叙述，数学符号，图象特征等方面理解函数单调性

会用定义判断并证明函数单调性

（2）函数的最大值与最小值：

① 函数的最大值：

一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足:（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM。那么，我们称M是函数()yfx的最大值。

② 函数的最小值：

一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足:（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM。那么，我们称M是函数()yfx的最小值。

注：函数最小值的求法：基本函数法，图像法，单调性法等

（3）函数的奇偶性：

① 偶函数：

一般地，如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，那么函数叫做偶函数。偶函数图象关于y轴对称。

② 奇函数：

一般地，如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，那么函数叫做奇函数。奇函数图象关于原点对称。

第二章 基本初等函数

一、指数与指数函数

1．指数与指数幂的运算

（1）根式：

一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根；

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们是一对互为相反数，记作(0)naa。

负数没有偶次方根。

式子na叫做根式，n是根指数，a叫做被开方数；由n次方根的意义得：()nnaa

（2）分数指数幂：

mnmnaa；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

（3）指数幂的运算性质：

,(),(),0,0,rsrsrsrsrrraaaaaabababrsQ其中；

2．指数函数及其性质：

（1）指数函数：

一般地，形如(0,1)xyaaa的函数，叫做指数函数；其中x是自变量，函数的定义域为R。

（2）指数函数的图像与性质：

指数函数)1,0(aaayx的图象与性质

10a 1a

图

象

定义域 R

值域 (0,)

性

质 （1）过定点

（0，1），即0x时1y

（2）单调性 在R上是减函数 在R上是增函数

（3）范围 0x时1y；

0x时10y； 0x时10y；

0x时1y；

3．对数与对数的运算：

（1）对数：（定义、记法、读法，各部分符号及名称）

一般地，如果(0,1)xaNaa，那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaxN

注：理解对数定义的本质；熟记对数符号各部分名称，明确各部分的范围

常用对数：10lglogNN 自然对数：lnelogNN

（2）对数与指数的互化：log,(0,1)xaaNxNaa

（3）对数的性质： 1log,01logaaa

（4）对数的运算性质：)0,0,1,0(logloglogloglogloglog)(logNMaaMnMNMNMNMNManaaaaaaa

（5）对数恒等式：)0,1,0(logbaababa

（6）对数换底公式：)0,1,0;1,0(logloglogbccaaabbcca ddcbabacbabaloglogloglog,log1log

4．对数函数及其性质：

（1）对数函数：

一般地，形如log(0,1)ayxaa的函数，叫做对数函数；其中x是自变量，函数的定义域为0,。（2）对数函数的图象与性质：

指数函数)1,0(logaaxya的图象与性质

10a 1a

图

象

定义域 0,

值域 R

性

质 （1）过定点 （1，0），即1x时0y

（2）单调性 在0,上是减函数 在(0,)上是增函数

（3）范围 10x时0y；

1x时0y； 10x时0y；

1x时0y；

5．幂函数：

（1）幂函数定义：

一般地，形如ayx的函数，叫做幂函数；其中x是自变量，a是常数。

（2）幂函数的图象与性质：

xy 2xy 3xy 21xy 1xy

图象

定义域 R R R 0, 0xx

值域 R 0, R 0, 0yy

奇偶性

对称性 奇函数

原点对称 偶函数

y轴对称 奇函数

原点对称 无 奇函数

原点对称