高二数学圆锥曲线基础练习题(一)

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高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题

（含答案解析）

1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线

：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ

，PF

为直径

作圆和圆，且圆和圆交于P

，R

两点，且.

(1)求动点的轨迹E

的方程；

(2)若直线：交轨迹E

于A

，B

两点，直线：与轨迹E

交于M

，D

两点，其

中点M

在第一象限，点A

，B

在直线两侧，直线与交于点且，求

面积的最大值.

【解析】（1）设点,因为,

由正弦定理知,

所以,解得,

所以曲线的方程为.

（2）直线与曲线在第一象限交于点,

因为,所以,

由正弦定理得:, xOy()

1,0F

l=1x−

PPlQ

1C

2C

1C

2CPQRPFR=

P

1lxmya=+

2l

1x=2l

1l

2l

NMABNANMB=

MAB△

(,)PxyPQRPFR=

||||PQPF=

22

(1)|1|xyx−+=+2

4yx=

E2

4yx=

1x=

E(1,2)M

||||||||MABNANMB=||||

||||MAMB

ANBN=

sinsin

sinsinANMBNM

AMNBMN

=

2

所以.

设，

所以,

得,所以，

所以直线方程为:,联立，

得

由韦达定理得,

又因为点在直线的上方,所以,所以,

所以,

又因为点到直线的距离为,

所以

方法一：令,则,

所以当时,单调递增,

当时,单调递减,所以，

所以当时,面积最大,此时最大值为.

方法二：最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:

，

当且仅当,即时,等号成立. AMNBMN=()()

1122,,,AxyBxy

1212

22

121212222244

0

1122

11

44AMBMyyyy

kk

yyxxyy−−−−

+=+=+=+=

−−++

−−

124yy+=−2121

22

2121124

1

44AByyyy

k

yyxxyy−−

====−

−+

−

1lxya=−+2

4yx

xya

第1页 【精讲精练】共17页 2013高中数学

第九章 圆锥曲线

【知识图解】

第1课 椭圆A

【基础练习】

1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆2213xy上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是43

2.椭圆1422yx的离心率为23

3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是

221164xy

4. 已知椭圆19822ykx的离心率21e，则k的值为544kk或

【范例导析】

例1.（1）求经过点35(,)22，且229445xy与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 圆锥曲线 双曲线 椭圆

抛物线 几何性质

定义

几何性质 标准方程

定义

几何性质 标准方程 圆锥曲线应用 定义 标准方程

第2页 【精讲精练】共17页 （2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。

【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.

解：（1）∵椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为22221yxab（0ab），

由椭圆的定义知，

22223535312()(2)()(2)1010210222222a，

∴10a，又∵2c，∴2221046bac，

所以，椭圆的标准方程为221106yx。

（2）方法一：①若焦点在x轴上，设方程为222210xyabab，

∵点P（3,0）在该椭圆上∴291a即29a又3ab，∴21b∴椭圆的方程为2219xy.

②若焦点在y轴上，设方程为222210yxabab，

∵点P（3,0）在该椭圆上∴291b即29b又3ab，∴281a∴椭圆的方程为221819yx

高考

- 1 - / 5 第二章 2.4 2.4.2

基础练习

1．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是( )

A．(1,2) B．(2,1)

C．(2,3) D．(3,2)

【答案】D

【解析】将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，x1＋x22＝3.∴y1＋y22＝x1＋x2－22＝6－22＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．

2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )

A．2 B．4

C．6D．8

【答案】A

【解析】由已知可知抛物线的准线x＝－p2与圆(x－3)2＋y2＝16相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到准线的距离d＝3＋p2＝4.解得p＝2.

3.(2020年某某五校联考)直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )

A.y2＝－12x B.y2＝－8x

C.y2＝－6x D.y2＝－4x

【答案】B

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－x1＋x22＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2高考

- 2 - / 5 ＝－8x.故选B.

4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k的值为( )

A．13B．23

C．23D．223

【答案】D

【解析】C的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)过定点P(－2,0)．过点A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点．连接OB，则|OB|＝12|AF|，∴|OB|＝|BF|.

高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析

1. 若动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线

【答案】D

【解析】因为定点F（1，1）在直线上，所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线，垂直的直线．故选D．

【考点】1．抛物线的定义；2．轨迹方程．

2. F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （ ）

A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆

【答案】C

【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程。

解：因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，所以点M的轨迹是线段，故选C。

3. 椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为 （ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系。利用“点差法”求弦的斜率，由点斜式写出方程。故选B。

4. 如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）

A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）

【答案】A

【解析】由已知，所以=4，抛物线的焦点坐标为（1, 0），故选A。

【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质。

点评：熟记抛物线的标准方程及几何性质。

5. 圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）

A．x2+ y 2-x-2 y -=0 B．x2+ y 2+x-2 y +1="0"

C．x2+ y 2-x-2 y +1=0 D．x2+ y 2-x-2 y +=0

【答案】D

【解析】由抛物线定义知，此圆心到焦点距离等于到准线距离，因此圆心横坐标为焦点横坐标，代入抛物线方程的圆心纵坐标,1，且半径为1，故选D。