二次型

正定二次型的判别方法

正定二次型是指一个实数域上的二次齐次多项式，并且其对任意非零向量都有正的二次型值。判断一个二次型是否为正定二次型，可以使用以下方法。

二次型可以表示为矩阵形式，即二次型矩阵。设二次型为

\[ q(x) = x^T A x \]

x为n维列向量，A为对称矩阵。A称为二次型矩阵。

判断一个二次型是否为正定，可以使用以下方法：

1. 判断A的特征值是否全为正数。A的特征值全为正数时，二次型为正定二次型。

证明：设A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。则对于任意非零向量x，有

\[ x^T A x = x^T Q \Lambda Q^T x = (Q^T x)^T \Lambda (Q^T x) \]

Q为特征向量构成的正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为特征值λ1, λ2, ...,

λn。

令y=Q^T x，则有

\[ x^T A x = y^T \Lambda y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 \]

由于A的特征值全为正数，因此对于任意非零向量y，都有

\[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 > 0 \]

所以x^T A x > 0，即二次型为正定二次型。

定义：A的顺序主子式是指A的各个阶数（1到n）的主子式。

证明：设A的顺序主子式分别为detA1, detA2, ..., detAn，其中1<=i<=n。若A的顺序主子式全为正数，则A为正定矩阵。

由于A为对称矩阵，所以A的特征值全为实数，且A可以分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积，即

\[ A = Q \Lambda Q^T \]

Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为A的特征值。 以上就是判断正定二次型的方法，通常直接使用特征值或顺序主子式来判断即可。需要注意的是，当A为实对称矩阵时，其特征值都是实数，所以可以直接判断特征值是否为正数来判断正定性。而当A不是实对称矩阵时，需要使用顺序主子式来判断正定性。

二次型的规范型

二次型的规范型是对于一个二次型，通过合适的线性变换将其化为标准形的过程。在这个过程中，通过一系列变换将二次型中的一些系数化为0，并将二次型中的平方项系数变为1，从而达到简化问题的目的。

具体来说，对于n元二次型

$$Q(x) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j,$$

其中$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$为n维向量，$a_{ij}$为二次型的系数。我们希望通过某种线性变换将二次型化为规范型。

首先，我们需要研究二次型的矩阵表示。定义一个矩阵$A=(a_{ij})$，其中$a_{ij}$为二次型的系数。则可以将二次型表示为向量形式：

$$Q(x) = x^TAx.$$

由于二次型的矩阵是一个n×n对称矩阵，我们可以将其对角化。对于任意对称矩阵$A$，存在正交矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=D$，其中$D$是一个对角矩阵，即$D=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$。这样，二次型可以表示为：

$$Q(x) = x^T(PDP^{-1})x.$$

其中$P$和$P^{-1}$是正交矩阵，满足$P^T=P^{-1}$。令$y=P^{-1}x$，则有$x=Py$，代入上式得到：

$$Q(x) = (Py)^TDP^{-1}(Py) = y^T(P^TDP)y = y^TDy.$$

经过适当的线性变换，二次型的平方项系数已经变为对角矩阵$D$的对角元素$\lambda_i$。这时，我们可以通过对角阵中的元素进行标准化处理，即将非零元素化为1，将存在于平方项中但二次型中无此项的元素化为0。

对角阵$D$中的元素有三种情况：

（1）$\lambda_i>0$：将$x_i$的系数标准化为1。

（2）$\lambda_i=0$：不含$x_i^2$项。

（3）$\lambda_i<0$：进行适当符号变换后，将$x_i$的系数标准化为1。

正定二次型的判定方法

判定正定二次型的方法有以下几种：

1. 特征值法：计算二次型的矩阵表示的特征值，如果所有特征值都大于0，则说明该二次型为正定二次型。

2. 主元法：将二次型化简为标准形式，观察正元的个数，如果正元的个数等于变量的个数，则说明该二次型为正定二次型。

3. 拉氏判别法：利用拉氏变换，将二次型表示为拉氏标准型，观察拉氏标准型中各项的系数，如果全部大于0，则说明该二次型为正定二次型。

4. 完全平方展开法：将二次型表示为完全平方的形式，观察其中的平方项的系数，如果全部大于0，则说明该二次型为正定二次型。

需要注意的是，以上方法都是对二次型的矩阵表示进行推导判断的，每种方法都有其适用的场景和限制条件。在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的判定方法来判断正定二次型。

二次型与二次曲面-二次型的标准型

二次型的标准形

定义：形如nnnxdxdxdαQ222211的二次型称为二次型的标准形。

主轴化方法（正交变化法）（适用于实二次型）

定理（主轴定理）：任一实二次型TTAAAxxαQ其中,，存在正交线性替换x=Py，其中P是正交矩阵，使得αQ化为标准形：nnnyyyαQ222211，其中n,,,21是A的n个特征值。

用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤：

（1） 写出二次型的矩阵A（A一定是实对称矩阵）；

（2） 求矩阵A的特征值，得n,,,21；

（3） 求相应的特征向量；

（4） 将特征向量作Schmidt正交化，得到标准正交的特征向量；

（5） 将这些向量按列排成矩阵，得到正交矩阵P，这时有nTAPPAPP,,,diag211；

（6） 写出可逆线性替换x=Py，则有

nnnyyyαQ222211。

例：已知实二次型323121232221444xxxxxxxxxaαQ经正交变换x=Py可化成标准形216yαQ，则a=？

例：用主轴化方法将二次型 434232413121222222xxxxxxxxxxxxαQ为标准形。

解：二次型对应的矩阵为0111101111011110A

其特征多项式为：

311111111111113λλλλλλAλI

所以A的特征值为3121λ，三重根。

11时，由01xAIλ，求得三个线性无关的特征向量

TTT,,,,,,,,,1001,0101,0011321

用施密特正交化方法求得三个标准正交向量为：

TTT123,121,121,1210,62,61,610,0,21,21321，，