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实二次型1

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实二次型 f
实对称矩阵 A
5
举例
例1 求下列二次型的矩阵形式.
(1) f (x1, x2, x3) = x12 + 2 x22 － 2x1x2 + 3x2 x3
(2) f (x1, x2, x3, x4) = x12 + 2 x22 + 7x42 － 2x1x2 － 2x2 x3 + 4x3x4
(3) f (x1, …, xn) = x1 x2 + x2 x3 + … + xn－1xn
" " # " "
0 0 # 0 1/ 2
0
⎟ ⎟
0⎟
#
⎟ ⎟
1/ 2⎟
⎟ 07 ⎠
举例
⎛ ⎜
－2
例2
⎜
求矩阵 A = ⎜
3
⎜ ⎜⎜⎝
1 2
3
1⎞
2
⎟ ⎟
1 0 ⎟ 对应的二次型.
⎟
0 －1 ⎟⎟⎠
解 f (x1, x2, x3) = −2 x12 + x22 − x32 + 2 3 x1 x2 + x1 x3
= 分析 f (x1, …, xn) = XTAX
f (y1, …, yn) = YTBY
B = C TAC
X = CY 证 f = X TAX = (CY)TA(CY) = Y TC TACY
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合同矩阵
定义 设 A, B 是 n 阶矩阵, 如果存在一个 n 阶可逆
矩阵 C, 使得
B = C TAC
(3) f (x1, …, xn) = x1 x2 + x2 x3 + … + xn－1xn
解 (2)
(3)
⎛ 0 1/2 0 " 0 0 ⎞
⎛1
A
=
⎜ ⎜
−1
⎜0
⎜ ⎝
0
−1 2
−1 0
0 −1
0 2
0⎞
0
⎟ ⎟
2⎟
7
⎟ ⎠
⎜ ⎜
1
/
2
⎜0
A=⎜ ⎜
#
⎜0
⎜ ⎝
0
0 1/ 2
# 0 0
1/ 2 0 # 0 0
f (x, y) = x2 + 2xy + y2
都是二次型
f (x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3
f (x, y) = x2 + y2 － 1
不是二次型
f (x, y) = x2 + y2 + 2x
3
实二次型的矩阵表示
令A=
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n
即
x1
c11 c12 … c1n
x = x2 = c21 c22 … c2n
y1 y2 = Cy
… …
… … …
xn
cn1 cn2 … cnn yn
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线性变换
定义
线性变换: x= Cy (*) 1. 如 C 是可逆矩阵, 则称 (*) 是非退化线性变换 2. 如 C 是不可逆矩阵, 则称 (*) 是退化线性变换 3. 如 C 是正交矩阵, 则称 (*) 是正交线性变换
解 (1) A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
1 －1 0 A = －1 2 3/2
0 3/2 0Biblioteka 6举例例1 求下列二次型的矩阵.
(1) f (x1, x2, x3) = x12 + 2 x22 － 2x1x2 + 3x2 x3
(2) f (x1, x2, x3, x4) = x12 + 2 x22 + 7x42 － 2x1x2 － 2x2 x3 + 4x3x4
+ a22x22 + 2a23x2x3 + … + 2a2n x2xn
+… + an－1, n－1 xn2－1 + 2an－1,n xn－1 xn
称为实二次型.
+ an,nxn2
2
实二次型
实二次型: aij 为实数. (我们仅讨论实二次型)
例 f (x, y, z) = 2x2 + y2 + xz + yz
8
二次型的秩
定义 设二次型 f (x1, x2, …, xn) 的矩阵为 A, 那么称 A 的秩 r(A) 为二次型的秩.
9
举例
例3 已知下列二次型的秩为 2, 求参数 a
f (x1, x2, x3) = 5x12 + 5 x22 + a x32 － 2 x1x2 + 6 x1x3 － 6 x2x3
实二次型的主要问题: 寻求可逆的线性变换, 将 实二次型变成标准形.
f = XTAX =
f = d1 y12 + … + dn yn2
x = Cy
12
定理
设二次型 f (x1, …, xn) = XTAX, 对变量 X = (x1, …, xn)T 作可逆的线性变换 X = CY 后, 得到一个新的二次型 f (y1, …, yn) = Y TBY, 且矩阵 B = C TAC.
则称矩阵 A 和 B 是合同的, 记作 A ~ B. 性质
1. 自反性 2. 对称性 3. 传递性
4. r(A) = r(B)
5. A 对称
B = C TAC 对称
定理 任意实对称矩阵必合同于对角矩阵.
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定义 含有 n 个变量 x1, x2, …, xn 的实系数二次多项式 f (x1, x2, …, xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1n x1xn
+ a22x22 + 2a23x2x3 + … + 2a2n x2xn
= X TAX
+… + an－1, n－1 xn2－1 + 2an－1,n xn－1 xn + an,nxn2
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第五章 实二次型
第一节 实二次型的 基本概念矩阵
胡倩倩 qianqian_hu@
实二次型
定义 含有 n 个变量 x1, x2, …, xn 的实系数二次多项式 f (x1, x2, …, xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1n x1xn
解
∵ r(A) = 2 ∴ |A| = 0 ∴a=3
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线性变换
定义 设
⎧
x 1
=
cy 11 1
+
c 12
y 2
+"+
c1n
yn
⎪⎪⎪⎨#x2
=
cy 21 1
+
cy 22 2
+"+
cy 2n n
⎪⎩ xn
=
cn1
y 1
+
cn2
y 2
+"+
cnn yn
则称变量 x1, …, xn 到 y1, …, yn 是一个线性变换.
x1 x2 X=
…
… … …
an1 an2 … ann
xn
则 f = X TAX
用矩阵表示
其中 A 是对称矩阵
例 f (x1, x2, x3) = x12 － 3 x32 － 4x1x2 + x2 x3
1 －2 0 x1
= (x1, x2, x3) －2 0 1/2 x2
0 1/2 －3 x3
4
实二次型

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第七章 n元实二次型 S1 n元实二次型及其标准形

第七章 n元实二次型 S1 n元实二次型及其标准形


ann xn2
nn
aij xi x j
i1 j1
nn
于是得到： f ( x1, x2 , , xn )
aij xi x j X T AX (3)
i1 j1
4
由此可见, 按照上述规则 任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型. 即二次型与对称矩阵之间是1−1对应关系.
3) aii 0, i 1, 2, , n, 且 a1 j 0, j 1, 2, , n . 由对称性，
nn
a j1 0, j 1, 2, , n ，于是 f ( x1, x2 , , xn )
aij xi x j
i2 j2
是n−1元二次型. 由归纳法假设，可用坐标变换化
为平方和形式.
xn zn
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该坐标变换使
f ( x1 , x2 ,
, xn ) 2a12 x1 x2 2a12 (z1 z2 )(z1 z2 )
2a12 z12 2a12 z22
x1 z1 z2 x2 z1 z2 x3 z3
xn zn
右端为 z1, z2 , , zn 的二次型, 且 z12 前的系数不为零, 属第一种情况，引理得证.
而前面定理又可表述为： 两个n元实二次型等价它们的矩阵是合同矩阵. 另外，两个等价的n元实二次型必有相同的秩.
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§7.1.2 二次型的标准形
只含变元平方项的二次型：
f d1 x12 d2 x22 dn xn2
称为二次型的标准形.
d1
二次型(1)的矩阵是对角矩阵
D
d2
(1)
.
dn
第七章 n元实二次型
• n元实二次型的定义 • n元实二次型的标准形 • 正定二次型及其性质 • 用正交变换化二次型为标准形
实二次型及其标准型

实二次型及其标准型


返回
二、合同变换
1. 矩阵合同
定义 对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使 C TAC = B,
则称 A与 B合同. 矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合 同.
返回
A与B等价：PAQ = B,
X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T 则 X = CY 为正交变换，且 f = 2 y12 + 2 y22 - 7 y32
返回
t1 2z1 若再令 t2 6z3 t 2z 2 3
则, f = 2z12 – 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32
返回
将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准 形后，将正项集中在前，负项集中在后： d1 y12 + … + dp yp2 - dp +1yp+12 - … - dr yr2
定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.
返回
四、用正交变换化二次型为标准形
定理3 任一 n 元实二次型 f (X) = X TAX 都可用 正交变换 X = CY 化为标准形 1 y12 + 2 y22 + … + n yn2 其中 1 ，2 ，…，n是A 的特征值.
证
因A 为n 阶实对称矩阵， 所以存在正交矩阵C , 使
i 1 j 1
n
n
(1)
(1)式称为从 y1, …, yn 到 x1, …, xn 的线性变换.
返回
x1 y1 c11 c12 c1n x2 y2 c21 c22 c2 n 令 C X , Y xn yn cn1 cn 2 cnn 则(1)式可记为
实二次型

实二次型

7 实二次型7.1 内容提要7.1.1 二次型 1．二次型的定义含n 个变量12,,,n x x x 的齐次函数2121111212221122222(,,,)222n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x =+++++++称为二次型2．二次型的矩阵及秩 利用矩阵，二次型可表为111121212222121212(,,,)(,,,)n n n n n n nn n x a a a aa a x f x x x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭是对称矩阵，称为二次型f 的矩阵，A 的秩称为二次型f 的秩。

3．二次型的标准形只含平方项2221122n nf x x x λλλ=+++ 的二次型称为二次型的标准形。

4．二次型的规范形标准形的系数为1，-1，0的二次型称为f 的规范形。

5．化二次型为标准形的方法（1）配方法； （2）正次变换法。

6．正定二次型（1）定义：若二次型T f X AX =对任何0X ≠都有0f >（<0），则称f 为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定（负定）矩阵。

若对0x ≠，均有0f ≥（0≤）则称二次f 为半正定（半负定）二次型，相应地称矩阵A 为半正定（半负定）矩阵。

（2）惯性定理设实二次型T f X AX =，它的秩为γ，若有两个实可逆变换X CY =及X P =Z ，使22222112211r r r r f y y y k z k z λλλ=+++=++ (0,0)i i k λ≠≠则12,,γλλλ 中正数的个数与12,,k k k γ 中正数的个数相等。

7.1.2 合同变换与矩阵的合同1．定义：A 、B 都是n 阶矩阵，若存在可逆阵C ，使得T B C AC =，则称A 与B 合同，记为A B ，称X CY =为合同变换。

实二次型及其标准形

实二次型及其标准形


A与B等价：PAQ = B, 与 等价 等价：
P, Q 可逆； 可逆；
可逆； A与B相似：P -1AP = B , P 可逆； 与 相似 相似： 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？ 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？
三、用配方法化二次型为标准形
只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + … +dr yr2 称为标准形. 称为标准形 形如 z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 +1 的二次型称为规范形. 的二次型称为规范形 p: 正惯性指数； 正惯性指数； r - p: 负正惯性指数； 负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差 符号差. (di ≠0)
2 1 2 2 2 3
3 －2 − 3 3 c 1 2
3 1 0
1 2 0 －1
f ( x1 , x2 , x3 ) = 5x + 5x + cx − 2x1 x2 + 6x1 x3 − 6x2 x3
5 −1 3 解：A = −1 5 −3 3 −3 c ∵ r ( A) = 2 ∴ A =0 ∴ c=3
可逆， ），（满秩 若C可逆，则称 为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 可逆 则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 正交， 若C正交，则称 为正交线性变换。 正交 则称(2)为正交线性变换。
非退化线性替换的性质： （1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换 证： 由X = CY
⇒ Y = C -1 X
可逆， 设P , Q可逆，则 r ( PA) = r ( A) = r ( AQ ).
两个 n 阶对称方阵 A、B , 若存在可逆 矩阵的合同： 矩阵的合同： 矩阵 C , 使得 B = C AC , 则称 A 合同 ~ 于 B . 记作A − B。 所以，通过非退化线性变换， 所以，通过非退化线性变换， 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.