泛函分析考试试卷自制试卷
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泛函分析考试试卷
、选择题。
1、下列说法不正确的是( )
A、 n维欧式空间Rn是可分空间 B、全体有理数集为 Rn的可数稠密子集
C、广是不可分空间 D、若X为不可数集则离散度量空间 X是可分的
答案：D
2、设T是度量空间(X,d )到度量空间(Y , d~)的映射，那么T在x°?X连续的充要条件是()
A、 当 Xn^X0 (nis)时，必有 Txn^Txo (n宀①
B、 当 Xn f Xo (n fg) of Txn (n fg)
C、 当 xofXn (nfg)时，必有 TXnf Txo (nfg)
D、 当 XnfXo (nf 0)时，必有 TXnfTxo (nf 0)
答案：D
3、在度量空间中有()
A、 柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列
B、 柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列
C、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列
D、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列
答案：C
4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( )
A、 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间
B、 Lp[a, b] (p》)是巴拿赫空间
C、 空间lP是巴拿赫空间
D、 赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间
答案：D
5、 下列对共轭算子性质描述错误的是( )
A、(A+B)*=A*+B*;
C、当 X=Y 时,(AB)*=B*A*
答案：B
、填空题
1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为 Y中的任意开集 M为
_______________ O
答案：原像T-1M是X中的开集
2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间 Y中的线性算子，则 T为有界算子的充要条件是
T是X上的 。
答案：连续算子。
3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么 T=0的充要条件是对一切
答案：(Tx , x) =0
4、有界线性算子T的共轭算子T地是有界线性算子，并且
答案：=
5、设｛fn｝是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果｛fn｝在X的每点X处有界，那么｛fn｝ ______ 。
答案：一致有界 B、(A*)*=A**
D、(aA)*= a A*
x?X有 三、 判断题
1、 自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。 ()V
2、 设Ti和T2是希尔伯特空间X上两个自伴算子，则 TI*T2自伴的充要条件是 「*T2=T2*TI。 ()V
3、 强收敛必定弱收敛，弱收敛必定强收敛。 ()x
4、 设X和Y都是巴拿赫空间，如果 T是从X到Y上的一对一有界线性算子，则 T的逆算子
T-1不是有界线性算子。()X
5、 无界算子不是闭算子。()X
四、 证明题
1. 设X是赋范线性空间，f是X上连续线性泛函，证明f的零空间N ( f )是X中闭子空间.
证明：对任何 x, y N ( f ),及任何：•，场 f (: x - : y) = :- f (x) i- f (y) = 0
所以:-x - . ■ y ：二N ( f ).所以N (f)是线性空间.又设x n ：二N ( f ),且x nr x :二X,由f连续 f (x) = lim n f (x
n) = 0 所以 x € N ( f ).所以 N ( f )是闭集.
2. 设X是赋范空间，A, B B (X — X)是X上正则算子，证明T二A B是X上正则算子.
证 A, B是正则算子，所以A -1, B -1存在，且A -1, B -1三B (X > X)
令 S = B _1 A 二三 B (X > X),贝U S T = B _1 A 一1 A B = I, A B B _1 A 一1 = I
所以S二T -1,所以T是正则算子.
3. 设H是实内积空间，A是H上自伴算子，证明A二0的充分必要条件是对所有x
H, A x, x 二 0.
证明必要性：A x, x = 0, x = 0, - x H.
充分性：对任意x, y - H
0 二 A (x y), x y
=A x, x A x, y A y, x A y, y
二 A x, y A y, x
由T是自伴算子 A y, x = y, A = A x, y ,
所以 2 A x, y 二 0 - x, y H
所以 Ax 二 0 - x H
所以 A二0.
4. .证明：L(1兰是可分空间。
解：考虑集合B二｛(「1，「2,…，rn,0「)；「Q，n 1｝，即B是由至多有限个坐标不为0, 且坐标都是有理数的元素构成。因此， B是可数集。
□0
_ P ' |Xj |P)：：：：：
对于-x=(x» I ，有y ，所以一 ；0, N 0，当n - N时，
€ixiip)<(2)p …
心1 2 ，有有理数的稠密性，可取得⑴2，，rn，
n
X |xi -ri|P)<(-)P
使得「峰 2 令 y=(r1,「2, ,rn,0, )• B 二l p。且
:_ n
||x-y||=L |人沖 |P)1/P |人 7 |P 八 |为 |p)1/p
i 4 id i 土卡
n
PP P J/P P J/P
=C I Xi -ri | ) c |Xi | ) ::: (2(二))：:：；
i 4 7 1 2
即B在ISP-：)中稠密。依定义知lP(1»：J是可分的。
5、设H是内积空间，Xn,X,yn,* H，则当xn > x，矢、y时，
即内积关于两变元连续。
解：H是内积空间，设11 11是由其内积导出的范数，由于Xn > X，yn > 所以巾>0， - n0使得当n A n0时均有11 Xn —X IK名和11 yn - y ||<名 同时由于yn ' y，故知yn有界，X，H所以||X|1有限。因此可取
M 二 sup(||x||,||yn||)
1 •印 _:
因此 |(Xn, yn) -(X,y)冃(Xn,yn) -(X, yn) ' (X,『n ) -(X, y) |
-| (Xn, yn) —(x,yn) | |(x, y.) -(x, y) F|(Xn -X, yn) | • | (x,yn - y)|
- ||Xn -x|| ||yn || ||X|| ||yn -y||-|M | x^ x || ■ M |皿-y匸 2M ；
lim{ (Xn, yn) —(X, y)} =0 (x y . (x y)
故 n—JpC 即(Xn , yn ) (X, y)
五、计算题
p
1、在实数轴R上，令d(x,y)=|x-y|，当p为何值时，R是度量空间，P 为何值时，R是赋范空间。
解：若R是度量空间，所以-x,y,z・R，必须有：d(x,z)md(x,y) V(y,z)成立 即 |X—z|p
日 x—y|p+|y—z|p，取 x=1,y = 0, z=-1，
有2^<1P 1P =2，所以，P汨
若 R 是赋范空间，d(x,0) =||x|F|x|P，所以-x,k，R， 必须有：||kx||=|k| ・||x|| 成立，即 |kx|P=|k||x|P，p=1， 当P岂1时，若R是度量空间，P二1时，若R是赋范空间。 (Xn,yn)「(X, y)
