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初二平行四边形的判定和性质讲义(含答案)

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1．平行四边形的性质

平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等．

平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．

平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．

平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形．

平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍．

平行四边形的面积：底乘以高．

2.平行四边形的判定

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

一、平行四边形的性质

【例1】 如图，四边形ABCD为平行四边形，即ABCD∥，ADBC∥．通过证明三角形全等来说明：

⑴ABCD，ADBC．（对边相等）

⑵AOCO，BODO．（对角线互相平分）

ODCBA 【考点】平行四边形的性质和判定

【题型】解答

【难度】2星

【关键词】

【解析】省略

【答案】⑴ ∵ABCD∥，ADBC∥

∴ABDCDB，ADBCBD

在ABD和CDB中， 例题精讲 知识点睛 平行四边形的性质

及判定

ABDCDBBDDBADBCBD

∴ABDCDB≌

∴ABCD，ADBC．

⑵ 在ABO和CDO中，

ABOCDOAOBCODABCD

∴AOCO，BODO．

【巩固】 如图，点EF，是平行四边形ABCD对角线上的两点，且BEDF，那么AF和CE相等吗？请说明理由

21FEDCBA

【考点】平行四边形的性质和判定

【题型】解答

【难度】2星

【关键词】

【解析】因为ABCD是平行四边形

所以ADBCADBC，∥

所以12，又因为1180ADF，2180EBC

所以ADFEBC

又因为BEDF，

所以ADFCBE≌，所以AFCE

【答案】AFCE

【例2】 如图，在平行四边形ABCD中，EFBCGHABEF∥，∥，与GH相交于点O，图中共有 个平行四边形

OHGFEDCBA 【考点】平行四边形的性质和判定

【题型】解答

【难度】2星

【关键词】

【解析】省略

【答案】9个

【巩固】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【考点】平行四边形的性质和判定

【题型】选择

【难度】2星

【关键词】

【解析】省略

【答案】B

【例3】 （2008兰州）如图，平行四边形ABCD中，ABAC．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

⑴ 证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；

⑵ 试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．

【考点】平行四边形的性质和判定

【题型】解答

【难度】3星

【关键词】2008年，兰州中考

【解析】⑴ 证明：当90AOF时，ABEF∥，

又∵AFBE∥，

∴四边形ABEF为平行四边形．

⑵ 证明：四边形ABCD为平行四边形

∴AOCO，FAOECO，AOFCOE

∴AOFCOE≌

∴AFEC

【答案】⑴ 证明：当90AOF时，ABEF∥，

又∵AFBE∥，

∴四边形ABEF为平行四边形．

⑵ 证明：四边形ABCD为平行四边形

∴AOCO，FAOECO，AOFCOE

∴AOFCOE≌

∴AFEC

【例4】 在平行四边形ABCD中，点1A、2A、3A、4A和1C、2C、3C、4C分别为AB和CD的五等分点，点1B、2B和1D、2D分别是BC和DA的三等分点，已知四边形4242ABCD的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（ ）

A．2 B．35 C．53 D．15

【考点】平行四边形的性质和判定

【题型】选择

【难度】3星

【关键词】2008年，山东潍坊

【解析】利用对称性、平行线的性质及割补法可得C．

【答案】C

【巩固】 如图，在平行四边ABCD中，AC、BD为对角线，6BC，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）．

A．3 B．6 C．12 D．24

(1)DCBA 【考点】平行四边形的性质和判定

【题型】选择

【难度】3星

【关键词】2009年，桂林市中考，百色市中考

【解析】利用平行线的性质及割补法可得C．

【答案】C

【例5】 现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案．

(2) 【考点】平行四边形的性质和判定

【题型】解答

【难度】5星

【关键词】1995年，昆明竞赛，2003年宿迁中考

【解析】省略

【答案】答案不惟一．

【巩固】 如图1，1O，2O，3O，4O为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图2，1O，2O，3O，4O，5O为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．

DCBAO4O3O2O1EDCBAO5O4O3O2O1

【考点】圆的相关概念及性质

【题型】填空

【难度】4星

【关键词】2008年，天津

【解析】1O，3O如图（提示：答案不惟一，过13OO与24OO交点O的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；5O，O，如图（提示：答案不惟一，如4AO，3DO，2EO，1CO等均可）．

ODCBAO4O3O2O1EODCBAO5O4O3O2O1 【答案】见解析

【例6】 如图，,EF是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AECF.

求证：（1）ADF≌CBE；

（2）EBDF∥.

AFEDCB 【考点】平行四边形的性质和判定

【题型】解答

【难度】3星

【关键词】2007年，浙江临安中考

【解析】（1）∵AECF，

∴ AEEFCFFE，即AFCE.

又∵ABCD是平行四边形，

∴,ADCBADBC∥.

∴DAFBCE.

∴ADF≌CBE

（2）∵ADF≌CBE

∴ DFABEC.

∴DFEB∥.

【答案】（1）∵AECF，

∴ AEEFCFFE，即AFCE.

又∵ABCD是平行四边形，

∴,ADCBADBC∥.

∴DAFBCE.

∴ADF≌CBE

（2）∵ADF≌CBE

∴ DFABEC.

∴DFEB∥.

【巩固】 如图，已知：在平行四边形ABCD中，BCD的平分线CE交边AD于E，ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AEDG．

FGEDCBA

【考点】平行四边形的性质和判定

【题型】解答

【难度】3星

【关键词】2008年，青海西宁

【解析】⑴ ①（答案不惟一）

⑵ ∵四边形ABCD是平行四边形（已知）

∴ADBC∥，ABCD（平行四边形的对边平行且相等）

∴GBCBGA，BCECED（两直线平行，内错角相等）

又∵BG平分ABC，CE平分BCD（已知）

∴ABGGBC，BCEECD（角平分线定义）

∴ABGAGB，ECDCED．

∴ABAG，CEDE（在同一个三角形中，等角对等边）

∴AGDE

∴AGEGDEEG，即AEDG

【答案】⑴ ①（答案不惟一）

⑵ ∵四边形ABCD是平行四边形（已知）

∴ADBC∥，ABCD（平行四边形的对边平行且相等）

∴GBCBGA，BCECED（两直线平行，内错角相等）

又∵BG平分ABC，CE平分BCD（已知）

∴ABGGBC，BCEECD（角平分线定义）

∴ABGAGB，ECDCED．

∴ABAG，CEDE（在同一个三角形中，等角对等边）

∴AGDE

∴AGEGDEEG，即AEDG

【例7】 已知：如图，平行四边形ABCD内有一点E满足EDAD于点D，EBCEDC，45ECB，请找出与BE相等的一条线段，并给予证明．

EDCBAFABCDE 【考点】平行四边形的性质和判定

【题型】解答

【难度】3星

【关键词】

【解析】AB或CD．

证明：延长DE交BC于F，

∵EDAD且ADBC∥

∴DFBC

又∵45ECB

∴CEF为等腰直角三角形

∴EFCF

在BEF和DCF中

EBFCDFBFEDFCEFCF

∴BEFDCF≌

∴BEDCAB

【答案】AB或CD

【巩固】 如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BEDF∥，求证：AFCE．

FEDCBA 【考点】平行四边形的性质和判定

【题型】解答

【难度】3星

【关键词】2009年，湖南长沙中考

【解析】省略

【答案】证明：平行四边形ABCD中，ADBC∥，ADBC，

∴ACBCAD．

又BEDF∥，

∴BECDFA，

∴BECDFA≌，

∴CEAF

【例8】 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，过AC，两点分别作AEBDCFBDEF，，，为垂足，求证：四边形AECF是平行四边形

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人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义

人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义

辅导讲义

学员编号： 年 级： 课 时

数：

学员姓名： 辅导科目： 学科老师：

授课

类型 T 平行四边形的概念、性质 T 平行四边形的断定 C中位线定理

授课日期时段

教学内容

一、同步学问梳理

学问点1：平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

表示：平行四边形用符号“”来表示．

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．

留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．

学问点2：平行四边形的性质：

（1）边：平行四边形的对边平行且相等．

（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补

（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分

对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；

二、同步题型分析

题型1：平行四边形的边、角

例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．

分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．

解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得

∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，

∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．

∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，

平行四边形的性质和判定讲义(1)123

平行四边形的性质和判定讲义(1)123

平行四边形的性质以及判定

:知识点归纳

性质：1）平行四边形两组对边分别平行且相等 .2 ）平行四边形对角相等，邻角互补

3 ）平行四边形对角线互相平分 • 4 ）平行四边形是中心对称图形 •

判定方法：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2 ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

3 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

4 ）对角线互相平分的四边形是平行四边形 •（容易忘记）

注意：其他还有一些判定平行四边形的方法，但都不能作为定理使用。如： “两组对角分别相等的四边形是平行四边形”

它显然是一个真命题，但不能作为定理使用

二：平行四边形的性质练习题

1•在口ABCD中，/ A： / B： / C： / D的值可以是（ ）

A.1 : 2 : 3 : 4B.1 : 2 : 2 : 1C.1 : 1 : 2 : 2D.2 : 1 : 2 : 1

2•平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（ ）

A.2B.4C.6D.8

3在口ABCD中，/ A、/ B的度数之比为 5 : 4,则/ C等于（ ）

A.60 ° B.80 ° C.100° D.120 °

5

4•口 ABCD的周长为36 cm, AB= — BC，则较长边的长为（ ） 7

A.15 cmB.7.5 cmC.21 cmD.10.5 cm

5•如图，□ ABCD中，EF过对角线的交点 O, AB=4, AD=3, 0F=1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）

A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6

二、 填空题

6•已知口ABCD 中，/ B=70 °，则/ A= _______ ，/ C= ____ ，/ D= _______ .

7在口ABCD中，AB=3, BC=4，则口ABCD的周长等于 _________ •

8•平行四边形的周长等于 56 cm，两邻边长的比为 3 : 1,那么这个平行四边形较长的边长为 ______________ •

平行四边形的性质及判定(四边形)讲义

平行四边形的性质及判定(四边形)讲义

第 1 页 共 6 页 EOABDC平行四边形的性质及判定

一、知识提要

1. 定义

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“□”表示，平行四边形ABCD记作□ABCD.

2. 平行四边形的性质：对边相等,对角相等,对角线互相平分.

3. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

4. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的，其中，两条平行线间最短的线段长度叫做平行线间的距离.

5. 平行四边形的判定：共5个

① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

② 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

③ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

④ 对角线互相平分的四边形是平行四边形；

⑤ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

二、精讲精练

1. (2011广东)已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ）

A. 4 B. 12 C. 24 D. 28

2. 在平行四边形中，四个角之比可以成立的是( )

A． 1:2:3:4 B．2:2:3:3 C．2:3:3:2 D．2:3:2:3

3. （2011江苏）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC=6，则线段AO的长度等于________.

4. （2011山东）如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，3OEcm，则AD的长是＿＿cm.

5. （2011湖南）如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不．正确．．的是( )

A．AC⊥BD B．AB=CD

C．BO=OD D．∠BAD=∠BCD

6. 在平行四边形ABCD中,∠B-∠A=20°,则∠D的度数是_______.

7. 平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必( )

(完整)平行四边形全部讲义

(完整)平行四边形全部讲义

(完整)平行四边形全部讲义

平行四边形

1、平行四边形的性质

考点一、平行四边形的概念

（1）定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

（2）表示：平行四边形用符号“ "表示，平行四边形ABCD记作“ ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。

（3）平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质.

①由定义知平行四边形两组对边分别平行；

②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。

（4）平行四边形的基本元素：边、角、对角线。

例1、在 ABCD中，EF∥AB，GH∥BC,EF、GH相交于点P，写出图中的平行四边形.

A E D

G P H

B F C

考点二、平行四边形的性质

（1）边的性质:平行四边形的对边平行且相等。

（2）角的性质:平行四边形的邻角互补，对角相等。

（3）对角线性质:平行四边形的对角线互相平分。

例2、在 ABCD中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.

A B

(完整)平行四边形全部讲义

C D

考点三、平行四边形的对角线的性质

（1）平行四边形的对角线互相平分.

例3、在 ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，若AC=14，BD=8，AB=10,则△OAB的周长为_______。

练习题

一、感受理解

1．已知O是 ABCD的对角线交点,AC=10cm，BD=18cm，AD=•12cm，•则△BOC•的周长是_______．