7月14日内容《因式分解.doc》

七年级数学下册第十一章素材：
因式分解
1．因式分解与整式运算是不同的整式变形，概念的引入应着重引导学生观察变形的特点，理解变形的意义，还应随时回忆这一概念、运用这一概念、巩固这个概念，而不要希望一蹴而就．
2．在运用各种方法因式分解时应重视培养学生的观察能力，在教学中应给学生以足够的时间观察，并充分交流观察的结果，汇报观察结果后而采取对策，而不应让学生模仿例题，只有在这种观察的实践活动中，才能培养学生的观察能力，才能训练学生选择正确的解题对策．
评价与反馈建议
1．通过由学生自己得出因式分解概念及其与整式乘法的关系的结论，了解学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力。

发现问题，及时反馈。

2．通过做一做及练习，了解学生对概念的理解程度和实际运用能力，最大限度地让学生暴露问题和认知误差，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足，从而及时调控教与学。

3．通过机动题，了解学生对概念的熟练程度和思维的灵敏性、深刻性、广阔性及探研创造能力，及时评价，及时矫正。

4．通过课后作业，了解学生对知识的掌握情况与综合运用知识及灵活运用知识的能力，教师及时批阅，及时反馈讲评，同时对个别学生面批作业，可以更及时、更准确地了解学生思维发展的情况，矫
正的针对性更强。

5．通过课堂小结，了解学生对概念的熟悉程度和归纳概括能力、语言表达能力、知识运用能力，教师恰当地给予引导和启迪。

6．课堂上反馈信息除了语言和练习外，学生神情也是信息来源，而且这些信息更真实。

学生神态、表情、坐姿都反映出学生对教师教学内容的理解和接受程度。

教师应积极捕捉学生在知识掌握、思维发展、能力培养等各方面全方位的反馈信息，随时评价，及时矫正，随时调节教学。

初中数学因式分解习题大全一．填空题（共10小题）1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m 的值是．4．分解因式：4x2﹣4x﹣3= ．5．利用因式分解计算：2022+202×196+982= ．6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC 的形状是．7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= ．8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= ．10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c= ．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2= ．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c 的值．27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2016秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为160．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为：160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x ﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多项式为2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．3．（2015春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是±4．【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a ﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（2015秋•利川市期末）分解因式：4x2﹣4x﹣3=（2x ﹣3）（2x+1）．【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（2015春•东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202×196+982=90000．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（2015秋•浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出：a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，解得：a=b=c，所以，△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．7．（2015秋•鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=5151．【分析】通过观察，原式变为1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012 =1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）=（1+101）×101÷2=5151．故答案为：5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（2015秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（2015春•张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0．【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是：0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（2015春•昆山市期末）若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是﹣8．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（x+a）2﹣1，∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，解得：a=﹣3，b=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【分析】用平方差公式展开（n+7）2﹣（n﹣3）2，看因式中有没有20即可．【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），∴（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（2016秋•农安县校级期末）因式分解：4x2y﹣4xy+y．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（2015秋•成都校级期末）因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）；（2）原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2015春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？【分析】（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x ﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（2015秋•太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500．【分析】（1）利用36=102﹣82；2016=5052﹣5032说明36是”和谐数”，2016不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：22﹣02=4，最大的为：502﹣482=196，将它们全部列出不难求出他们的和．【解答】解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：36=102﹣82；2016=5052﹣5032；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），∵（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣02）+（42﹣22）+（62﹣42）+…+（502﹣482）=502=2500．故答案是：2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（2015春•兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，∴a2+b2=169．将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）∴正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵现有三种纸片各8张，∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．17．（2014秋•莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1 = （a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．【解答】解：（1）①长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（a+1）2；②a2+2a+1=（a+1）2；（2）①如图，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．18．（2013秋•海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=4你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；（3）根据（1）所推出的结论，即可推出Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；（4）根据（3）的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3；（2）∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），∴3×1=a3+b3﹣1，∴a3+b3=4，即S3=4；∵S4=（a2+b2）2﹣2（ab）2=7，∴S4=7；（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，∴S2+S3=S4，∴Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；（3）∵Sn﹣2+Sn﹣1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律：Sn﹣2+Sn﹣1=Sn．19．（2013春•重庆校级期末）（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；（2）4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）=（a﹣1）（4a2﹣4a+1）=（a﹣1）（2a﹣1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（2013春•惠山区校级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=7．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0∴（x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又c是正整数，∴c最大为6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（2012秋•温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=﹣3；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=9；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k的值为12．故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（2012春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（2012春•碑林区校级期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c，故△ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（2011秋•北辰区校级期末）分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x4﹣2x2y2+y4）=2（x2﹣y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（2011秋•苏州期末）图①是一个长为2m、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=9．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（2）题．（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣40=9；（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．26．（2009秋•海淀区期末）已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a 的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为a﹣b=8，所以a=b+8．（1分）又ab+c2+16=0，所以（b+8）b+c2+16=0．（2分）即（b+4）2+c2=0．又（b+4）2≥0，c2≥0，则b=﹣4，c=0．（4分）所以a=4，（5分）所以2a+b+c=4．（6分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（2010春•北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（a+1）=2007，2007只能分解为3×3×223∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223∴a、b、c也只能分别为2、2、222∴长方体的体积abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（2007秋•普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．【分析】把（x2﹣4x）看作一个整体，先把﹣15写成3×（﹣5），利用十字相乘法分解因式，再把3写成（﹣1）×（﹣3），﹣5写成1×（﹣5），分别利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15，=（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5），=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（2007春•镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x （x+1）n，=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（x+1）n+x（x+1）n，=（x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（2007春•射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x ﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．【分析】（1）根据（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，得出有关m，n的方程组求出即可；（2）由把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．【解答】解：（1）方法一：因（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，=x3﹣5x2+x+10，（2分）所以，解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x=0，x=1，即可求出：m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，（8分）所以x3﹣2x2﹣13x﹣10=（x+1）（x2﹣3x﹣10），（9分）=（x+1）（x+2）（x﹣5）．（10分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．。

初二数学上册【因式分解】解题常用8种总结一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x 一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m 十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如:14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。

《用因式分解解一元二次方程》教案用因式分解解一元二次方程教案目标本教案旨在介绍如何使用因式分解的方法解一元二次方程。

知识回顾在开始讲解因式分解解一元二次方程之前，让我们先回顾一下相关的知识点：- 一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数且a≠0。

- 一元二次方程的解可以分为实数解和虚数解，实数解可以进一步分为有理数解和无理数解。

解题步骤接下来，我们将介绍使用因式分解解一元二次方程的步骤：步骤1：将一元二次方程化为标准形式（即将方程中的项按次数降序排列）。

步骤2：确定方程中的a、b和c的值。

步骤3：使用因式分解将方程进行分解。

步骤4：令因式中的每一个部分等于0，解方程得到各个因式对应的解。

步骤5：将得到的解进行验证，即代入原方程中检验是否满足。

实例演练下面我们通过一个实例来演示如何使用因式分解解一元二次方程：实例：解方程x^2 - 5x + 6 = 0步骤1：将方程化为标准形式，得到x^2 - 5x + 6 = 0。

步骤2：确定a、b和c的值，得到a = 1，b = -5，c = 6。

步骤3：使用因式分解将方程进行分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。

步骤4：令因式中的每一个部分等于0，解方程得到x - 2 = 0和 x - 3 = 0。

步骤5：求解得到x = 2 和 x = 3，将这些解代入原方程验证是否满足。

总结因式分解是解一元二次方程的一种常用方法，通过将方程进行因式分解，可以得到方程的解。

在使用因式分解解一元二次方程时，我们需要依次进行化简、确定值、分解、解方程和验证等步骤。

通过实例的演练，我们可以更好地理解和掌握这一方法。

希望本教案对你有所帮助！。

整式乘除与因式分解复习教案第一篇：整式乘除与因式分解复习教案整式的乘除与因式分解复习菱湖五中教学内容复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系。

通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用。

教学目标通过知识的梳理和题型训练，提高学生观察、分析、推导能力，培养学生运用数学知识解决问题的意识。

教学分析重点根据新课标要求，整式的乘除运算法则与方法和因式分解的方法与应用是本课重点。

难点整式的除法与因式分解的应用是本课难点。

教学方法与手段采用多媒体课件，由于本课内容较多，故设计了大量的练习，使学生理解各种类型的运算方法。

本课教学以练习为主。

教学过程一．回顾知识点（一）整式的乘法1、同底数的幂相乘2、幂的乘方3、积的乘方4、同底数的幂相除5、单项式乘以单项式6、单项式乘以多项式7、多项式乘以多项式8、平方差公式9、完全平方公式（二）整式的除法1、单项式除以单项式2、多项式除以单项式（三）因式分解1、因式分解的概念2、因式分解与整式乘法的关系3、因式分解的方法4、因式分解的应用二．练习巩固（一）单项式乘单项式(1)(5x3)⋅(-2x2y),(2)(-3ab)2⋅(-4b3)(3)(-am)2b⋅(-a3b2n)，231(4)(-a2bc3)⋅(-c5)⋅(ab2c)343（二）单项式与多项式的乘法(1)(-2a)⋅(x+2y-3c),(2)(x+2)(y+3)-(x+1)(y-2)(3)(x+y)(-2x-1y)2（三）乘法公式应用(1)(-6x+y)(-6x-y)(2)(x+4y)(x-9y)(3)(3x+7y)(-3x-7y)（四）整式的除法1(1)(-a6b4c)÷((2a3c)41(2)6(a-b)5÷[(a-b)2]3(3)(5x2y3-4x3y2 +6x)÷(6x)13(4)x3my2n-x2m-1y2+x2m+1y3)÷(-0.5x2m-1y2)3 4（五）提取公因式法因式分解(1)3ay-3by+3y(2)-4a3b2+6a2b-2ab(3)3(x-y)3-6(x-y)2(4)5m(a-b)4-4m2(b-a)3（六）乘法公式因式分解(1)25-16x2(2)-81x2+4(y-1)2(3)x2-14x+49(4)(x+y)2-6(x+y)+9（七）因式分解的应用1、解方程（1）9x2+4x=0(2)x2=(2x-5)22、计算（1）(2mp-3mq+4mr)÷(2p-3q+4r)（2）(16-x4)÷(4+x2)÷(x-2)探究活动:求满足4x2-9y2=31的正整数解。

数学竞赛中的因式分解问题市郊中心学校 李英1 引言因式分解是指把一个多项式分解为几个整式的积的形式，即和差化积.它是中学数学中最重要的恒等变形之一，被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用，学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好了基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法互为逆变形.因式分解的应用较为广泛，可应用于多项式除法、高次方程的求根以及分式的运算.因式分解在中学数学里占有十分重要的地位，它是学习其他知识的一座桥梁，在分式的运算中，它是通分和约分的基础知识；在解高次方程与不等式时，它又是一种重要的解法；在数的运算中，它是进行简便运算的重要方法；在代数式与三角式的恒等变形中，它又是一种重要的手段；它对整式的运算也起到巩固的作用；它是整式乘法的逆变形，对学生的逆向思维能力、观察能力的培养也起着积极的作用.在各类数学竞赛中，它是命题的热点.2 数学竞赛中常见的因式分解方法2.1 分组分解法[1]当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，然后再直接提公因式或运用公式进行因式分解.例如：要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，再把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到()()a mn b m n +++,又可以提出公因式()m n +，从而得到()()a b m n ++ .例1分解因式2222224y x 565x 24y 30y y y x x x --+-++-（全国“希望杯”数学竞赛题）分析 本题如是按照一般的分组分解方法难以进行，若将它整理成x 或y 的二次三项式再分组，问题就变得简单了.解 原式=()()()22224545645x y y x y y y x -++-+--+=()()22456y x y x -++-=()()()23245x x y y +--+2.2 待定系数法[2]待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n 个含有特殊确定系数的方程(组)，解出这个方程(组)求出待定系数，从而把多项式因式分解.待定系数法是数学常用方法，用途十分广泛.2.2.1用待定系数法解题的依据用待定系数法解题的依据主要是多项式恒等定理：（1） 多项式()()x g x f ≡的充要条件是两个多项式的同类项的系数对应相等.（2） 如果()()x g x f ≡，则对于任意一个值a ,都有()()a g a f ≡.2.2.2用待定系数法解题的一般步骤（1）用适当的待定系数表示问题的一般形式.（2）根据多项式恒等定理列出方程（组）.（3）解方程（组），确定待定系数的值.2.2.3待定系数法在数学竞赛中的应用例2分解因式：226136xy x y y x +-++-（第十届缙云杯初二数学竞赛） 解 由于原式是二元二次式，且只可能分解成两个二元一次式之积，考虑到226xy y x +-=()()y x y x 23-+ 故可设226136xy x y y x +-++-=()()b y x a y x +-++23=226xy y x +-()()32a b x b a y ab +++-+比较恒等式两边同类项系数，得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231ab a b b a ②由于①、②解得,3,2=-=b a 代入③，适合.所以，226136xy x y y x +-++-=()()3223+--+y x y x说明 高次多项式的因式分解一般较难，如果能判定它含有某些因式后再分解就相对容易些.所以，在分解高次式之前，我们可以用因式定理“如果(),0=a f 则()x f 必含有因式a x =”来寻找()x f 的因式.例3 分解因式：()()()876321⨯⨯-+++x x x （1987，四川省初中数学竞赛） 解 设()=x f ()()()876321⨯⨯-+++x x x显然，().05=f由因式定理知()x f 有因式().5-x所以可设()()()⨯⨯-+++76321x x x 8= ()5-x ()b ax x ++2取,1-=x 得()b a +--=⨯⨯-16876；取,2-=x 得=⨯⨯-876().247b a +--解得.66,11==b a说明（1）有几个独立的待定系数，就必须列出几个独立的方程.当方程个数多余未知数的个数时，可选择其中适当的方程求解，而把多余的方程作检验用，当解得的未知数适合所有方程时，这些未知数的值即为所求.（2）在设多项式可能的分解形式时，应充分利用已知条件和多项式的有关性质，尽量减少待定系数的个数，这样可减少方程个数，降低解方程组的难度.（3）当分解后的可能形式不止一种而又不能确定哪一种正确时，就要逐个试探.在试探过程中，如能充分利用已知信息和解题经验，则可减少探索过程，少走弯路.2.3 换元法[3]换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并引入一个新的字母变量替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．达到简化原式结构的目的.有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来.种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果.换元法是一种重要的数学方法.注意:换元后勿忘还元.例4 方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+71328123y x xy y x xy 的解是=x =y (第十一届‘五羊杯’初中数学竞赛题)分析 如果把已知方程两边都取倒数，那么可得,732,823=+=+xyy x xy y x 即,732,823=+=+xy x y 这就可以用换元法来解这个方程组.解 设,1,1v yu x == 则原方程可化为⎩⎨⎧=+=+732823u v v u 解这个方程组得⎩⎨⎧==21v u.21,1==∴y x2.4 十字相乘法[4]2.4.1q px x ++2的因式分解由乘法公式知:()()()2x a x b x a b x ab ++=+++令,,ab q b a p =+=则有q px x ++2=()()b x a x ++凡是如q px x ++2的形式的二次三项式，如果可以分解成两个一次因式，那么每个因式有两个项，它们的第一项都是x ，第二项a 和b 可以由一次项的系数p 和常数项q 确定.（1）确定a 和b 的符号：①如果q 是正数，p 也是正数，那么a 和b 都是正数；②如果q 是正数，p 是负数，那么a 和b 都是负数；③如果q 是负数，p 是正数，a 、b 中绝对值大的是正，小的是负； ④如果q 是负数，p 也是负数，a 、b 中绝对值大的是负，小的是正；（2）确定a 和b 的绝对值，可以先把q 得绝对值分解成所有可能的一对因数的积，然后看：①如果a 、b 同号的话，哪一对因数的和等于p 的绝对值，那么这一对因数就是a 和b 的绝对值；②如果a 、b 异号的话，哪一对因数的差等于p 的绝对值，那么这一对因数就是a 和b 的绝对值；2.4.2 n mx lx ++2的因式分解由乘法可以得到关于x 的两个二项式b ax +和d cx +相乘的结果：()()()bd x bc ad acx d cx b ax +++=++2.如果令,,,bd n bc ad m ac l =+==得公式：n mx lx ++2=()()d cx b ax ++. 具体步骤：（1）把l 分解成两个正因数a 和c （如果l 是负数，可以先提出公因式-1，这样括号里2x 项的系数就是正数3），把a 、c 分成上下行写在左列.（2）把n 的绝对值分解成两个因数b 和d ，分上下行写在右列.（3）交叉相乘，得到两个积ad 和bc 的值，如下式：（4）如果n 是正数，那么ad 和bc 的绝对值的和必须等于m 的绝对值才适合，如果n 是负数，那么ad 和bc 的绝对值的差必须等于m 才合适.（5）确定ad 和bc 的符号，而ad 的符号就是d 的符号，bc 的符号就是b 的符号.把符号补到竖式里去，最后把确定了的a 、b 、c 、d 分别填入两个因式()b ax +和()d cx +中去.例5 已知方程()222238213150a x a a x a a --+-+=（其中a 是非负整数）至少有一整数根，那么a =分析 考虑到151322+-a a =()()325--a a 且十字相乘之积的和正好等于一次项系数a a 832+-.解 原方程用十字相乘法对左端分解因式得()()523ax a ax a ----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，,32,5121ax a x -=-=∴ 要使1x 或2x 是整数，只要a =1， 3，5.答：a 可取1， 3，5.2.4.3 双十字相乘法[5]在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的方法，对于比较复杂的多项式，尤其是二次六项式，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图.（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这个两个因式在第二个十字中交叉之积等于原式中含y 的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x 的一次项.例6 分解因式224522-+++-y x y xy x .解 这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解，如下图：所以，原式=()()124--+-y x y x .2.5 对称式的因式分解[6]2.5.1对称多项式如果对换多项式()n x x x f ,...,,21的任意两个字母的位置，多项式恒不变，那么()n x x x f ,...,,21叫做n 元对称多项式.例如()333231321,.,x x x x x x f ++=，()221221323121,x x x x x x x x f +++=分别为三元，二元对称多项式，并且都是三次齐次式.三次齐次对称式的标准形为()()Cxyz x z x z yz z y xy y x B z y x A +++++++++22222223332.5.2对称式的因式分解根据对称多项式的特点和因式定理，可利用待定系数法对它进行因式分解. 例：分解因式Q =()()()()3333z y x y x z x z y z y x -+--+--+-++解：由于交换x 、y 、z 之中的任意两个字母，原多项式不变，所以原式为对称式.设0x =，那么有()()()()33330.y z y z z y y z +-+----=由因式定理可知，Q 含有因式x ，又Q 是关于x 、y 、z 的对称式，所以它还有因式y 和z .又由于Q 是三次式，xyz 也是三次式，所以Q =A xyz （A ≠0），A 是待定系数. 确定A 的值，有两种方法：（1） 因为Q =A xyz 是恒等式，所以只要任取x 、y 、z 的一组值，就可以确定A 的值. 设x =1，y =-1， z =1，左边=-24，右边=-A ；∴A =24，即Q =24xyz .（2）因为Q =A xyz 是恒等式，所以只要求出Q 的展开式中xyz 的系数，就是A的值.()3z y x ++的展开式中，xyz 的系数是6，其余三个式子的展开式中xyz 的系数是-6，所以Q 的展开式中xyz 的系数是24，即A =24.3 因式分解在数学竞赛中的应用因式分解是初中代数中重要的一中恒等变形，其特点是把和差化积的形式.作为一种数学方法，它在解题中的应用较广，有些问题，若能恰当使用，可使解题过程显得简捷明了，收到事半功倍的效果.3.1 用于计算[7]例7 计算：19961995199519931995219952323-+-⨯-（北京市中学生数学竞赛初二赛题） 解 原式=()()2219952199319951995119961995--+-=()()22199311995199611995-- =19961993 例8 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011411311211 （天津市初二数学竞赛题） 解 原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-10111011411411311311211211 =101110991098454334322321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =20113.2 用于求值[7]例9 若n 为正整数，且4216100n n -+是质数，那么n = （希望杯初二数学竞赛试题）解 原式=()4221610036n n n -+- =()2223610n n -+ =()()22610610n n n n ++-+ 因为()()22610610n n n n ++>-+， 所以()2610n n -+=1， 所以()230n -=，所以3n =.例10 已知：0=+bd ac ，则()()2222b a cd d c ab +++得值等于 （武汉市初中数学竞赛初二试题）解 原式 =2222cdb cda abd abc +++=()()bd ac ad bd ac bc +++=()()ac bd bc ad ++0=+bd ac ∴原式=03.3 用于解决有关方程问题[7]例11 若方程2214,28,xy y xy x y x ++=++=，则x y +的值为 （TI 杯全国初中数学竞赛试题）解 把两个方程左右两边分别相加得：22242,xy x y y x ++++=移项并整理得：()()2420x y x y +++-=方程左边因式分解得：()()670x y x y +-++=所以，7,6-=+=+y x y x 或.例12 已知方程()()22221120x y x y +-+-=，则y x 、的平方和是 （孝感市英才杯初中数学竞赛试题） 解 原方程变形得，()()01222222=-+-+y x y x ，()()2222340x y x y ∴+++-= 0322>++y x ，0422=-+∴y x ，∴422=+y x3.4 用于二次根的化简[7]例13 化简2356101528-+--+的结果是 （山东省初中数学竞赛试题） 解 原式=()()235352352-++-+==35+例14 化简=+++--+2115141021151410 （武汉、重庆市初中数学竞赛题）解 原式=()()()()753752753752++++-+= =3232+- =562-3.5 用于判断整除问题[8]例15 多项式1261x x -+除以21x -的余式是 （1993，全国初中数学竞赛）解 设商式为()x g .因为除式是二次式，则余式最多是一次式，故可设1261x x -+=()()21g x ax b x -++取,1=x 得b a +=1，取,1-=x 得b a +-=1.解得1,0==b a .所以，余式是1.例16 知多项式1323+++bx ax x 能被12+x 整除，且商式是13+x ，那么()b a -的值是 （第五届河南省初二数学竞赛）解 据多项式恒等式，得()()32231131x ax bx x x +++=++.取1=x 得84=++b a .取1-=x 得42-=--b a .解得3,1==b a .()()113-=-=-∴b a .3.6 用于确定大小关系[9]例17 知c b a >>，a c c b b a M 222++=，222ca bc ab N ++=，则M 与N 的大小关系是 （第十三届“希望杯”初二）解 为c b a >>，所以N M -=()()()22222b c a c b a b c bc -+-+-=()c b -()ab ac bc a --+2=()c b -()()0a c a b -->所以M N >.3.7 用于解不定方程[9]例18 足不等式2003200320032003=+--+xy y x y x y x 的正整数对()y x ,的个数是 2 (2003年全国初中数学联赛试题)解 m =n =,k =2003,则222n m km kn mnk m n k +--+=，所以()()20m n mn k mn m n k ++--+=，()()0k mn k m n -++=.因为0k m n ++>，所以0k mn -=，即=2003xy .由x 、y 都是正整数且2003是质数，易求x 与y 的值.3.8 其他应用[9]例19 个指教三角形的边长都是整数，它的面积与周长的数值相等，试确定这个直角三角形的三边的长.（2003年北京市中学生数学竞赛初中二年级复赛试题）解 两直角边分别为a 、b ，斜边为a bc >，由于a 、b 、c 全是正整数，所以b a ≠.依题意有++b a 22b a +=2ab . 移项，平方，整理得0242222=+--ab ab b a b a ， 因为ab 0≠，两边同除以abc ，得024=+--b a ab ， 可化为()()4281844⨯=⨯==--b a .因为a 、b 都为正整数，a b >，则⎩⎨⎧=-=-1484b a 或 ⎩⎨⎧=-=-2444b a 分别得a =12，b =5，c =13或a =8，b =6，c =10.答：三边长为12、5、13或8、6、10.例20 甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元;若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元.现购甲、乙、丙各一件，共需多少元？（1985，全国初中数学竞赛）解 购甲1件需x 元，乙一件需y 元，丙一件需z 元，则购甲、乙、丙各一件需()z y x ++元.由已知条件得：15.373=++z y x20.4104=++z y x设z y x ++()()z y x b z y x a +++++=10473()()()z b a y b a x b a +++++=10743比较等式两边同类项系数，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+11107143b a b a b a解得3=a ，2-=b .05.120.4215.33=⨯-⨯=++∴z y x .。

21.2解一元二次方程21.2.3 因式分解法教学内容本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。

教学目标知识技能1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．数学思考体会“降次”化归的思想。

解决问题能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．情感态度使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．重难点、关键重点：应用分解因式法解一元二次方程．难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．【设计意图】复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。

二、探索新知【问题】仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？【活动方略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．【设计意图】引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．【探究】通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）(2)20x x x-+-=；（2）221352244x x x x --=-+； （3）3(21)42x x x +=+；（4）22(4)(52)x x -=-．【活动方略】学生活动：四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．对于方程（1），若把（x －2）看作一个整体，方程可变形为（x －2）（x ＋1）＝0； 方程（2）经过整理得到2410x -=，然后利用平方差公式分解因式；方程（3）的右边分解因式后变为3(21)2(21)x x x +=+，然后整体移项得到3(21)2(21)0x x x +-+=，把（2x －1）看作一个整体提公因式分解即可；方程（4）把方程右边移到左边22(4)(52)0x x ---=，利用平方差公式分解即可． 教师活动：在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．【设计意图】主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．【应用】例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为2．x x10 4.9你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？【活动方略】学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．【设计意图】应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．三、反馈练习教材P14练习第1、2题补充练习解下列方程．1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.四、拓展提高例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a∴所求不等式的解集为x<-3 a【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。

《因式分解—公式法》评课
受到很大的启发，受益颇多。

下面就我个人感受较深的地方进行点评：
1.评价语言及时、到位。

在学生每次回答出问题的时候，于老师都会针对学生回答的亮点进行简短、适当的评价，使学生获得学习的成功感和喜悦感。

让更多的学生愿意参与到课堂中来，并能与老师互动。

2.利用数形结合思想，注重知识之间的联系：于老师通过长方形的面积引导学生观察、探索、总结出运用平方差公式进行因式分解的法则，利用数形结合，让学生通过合作讨论中发现问题、提出问题，在解决问题中感受图形的作用，在总结中从不同的角度体会平方差公式，通过文字描述加深对公式的认识。

对这个法则的理解更深入，同时突破了本节课的难点。

3.在学生原有的认知结构上让学生自己观察式子特征，自己试着动手写出符合特征的多项式，让学生自编习题，是学生的潜能得到最佳发展。

教师进行补充缺少的式子类型，师生配合默契，体现整节课在备课环节中
突出学生的整体地位。

在教学过程中是学生思维发展迸发的最佳场所。

同时学生更加深入的理解平方差公式的特点，突出本节课的重点。

4、教师能为学生提供大量数学活动的机会，让学生成为课堂学习的主人，生生互动，师生互动，不仅激发了学生的学习积极性，让学生体会到学习的乐趣，而且让学生得到思维上的碰撞，通过交流学生的大脑细胞会更加活跃。

5、老师根据学生的特点设计教案内容，体现了学生的学情，在知识上循序渐进，融会贯通，学生学起来轻松愉快，把难点一一化解。

总之，通过这节课，让我在教材教法、课堂教学策略方面受益匪浅，并且会在今后的课堂中实践。