复变函数

复变函数计算公式复变函数计算公式是数学中一种常用的计算方法，它涉及到复数、变量以及函数的基本概念，用于解决复杂的数学问题，常用于统计学、物理学和电子工程等领域。

在这里，我们将介绍复变函数计算公式，包括它的概念、特点、基本性质以及在数学中的应用情况。

一、什么是复变函数计算公式复变函数计算公式是指一种把复数和变量相关联的计算方法，它能够得出一组实数的函数值，从而使复数变于实数，它可以表示复数的极坐标、直角坐标以及极化形式等方式，实际上是一个复变量函数，主要分为指数型、双曲型和对数型三种形式。

二、复变函数计算公式的特点复变函数计算公式的主要特点是具有代数和几何的混合性，它把复数的基本概念和函数的概念混合在一起，因此，从一个抽象的概念出发，任何复数可以用复变函数的形式来表示。

它的另一个特点是能够把复变函数的复数实参转化为多维空间中的实数值矢量，这将有助于解决复杂的数学问题，并可以应用于物理和工程中。

三、复变函数计算公式的基本性质复变函数计算公式具有一定的基本性质，它可以用来描述一些基本的复数关系，比如指数变换、三角变换、贝塞尔变换以及激励变换等等。

这些基本性质是决定复变函数计算公式的关键因素，他们可以用来表达复变函数的概念和实际的知识，从而提供可行的计算公式来解决问题。

四、在数学中的应用复变函数计算公式在数学中有着广泛的应用场景，它可以用来解决很多数学问题，比如积分和微分、抛物线和曲线拟合、曲面和曲线绘制、三角函数解析以及多元函数极限运算等等。

此外，它也可以应用到其他领域，比如物理学、天文学和地理学，用于解决这些学科中的实际问题。

综上所述，复变函数计算公式是一种把复数和变量相关联的计算方法，它具有代数和几何的混合特点，可以用来描述复数的基本关系和能够使复变函数的复数实参转化为多维空间中的实数值矢量，它在数学中有着广泛的应用，可以用来解决很多数学问题，也可以应用到物理学、天文学和地理学等其他领域，用于解决这些学科中的实际问题。

z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或

指数函数exp z 可以用e z 来表示. e z e x (cos y i sin y ) 注意 e z 没有幂的意义, 只是代替 exp z 的符号.
2
2. 加法定理 证
exp z1 exp z2 exp(z1 z2 )
设 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
b
即 a b e bLna .
(1) 当b 为整数时, a e
b
bLna
e
b[ln a i ( arg a 2 k )]
14
e
b (ln a iarg a ) 2 kbi
e b ln a , a b具有单一的值.
p ( 2) 当 b ( p与q为互质的整数, q 0)时, q
ab e
e
p [ln a i ( arg a 2 k )] q
e
p p ln a i ( arg a 2 k ) q q
p ln a q
p p cos q (arga 2kπ) i sin q (arga 2kπ)
a b具有q 个值, 即取 k 0,1,2,, (q 1)时相应的值.
e
1 1 cos ln 2 i sin ln 2 2 2
其中 k 0,1,2,. 1 i 故 (1 i ) 的辐角的主值为 ln2. 2
20
2. 幂函数的解析性
(1) 幂函数 z 在复平面内是单值解析 , 的
n
nz n1 . (z )
2Ln1
e
e 2 ki
2
cos(2 2k) i sin(2 2k) 其中 k 0,1,2,.

数学的复变函数复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是复数域上的函数。

与实变函数不同，复变函数具有复数域上更加丰富的性质和特点。

在本文中，我将介绍复变函数的定义、性质和应用。

一、复变函数的定义和表示复变函数是定义在复数域上的函数，即输入和输出均为复数。

一般来说，复变函数可以表示为$f(z)$，其中$z$是复数，$f$是变换规则。

复数$z$可以表示为$z=x+iy$的形式，其中$x$和$y$分别是实数部分和虚数部分。

复变函数的表示形式有多种，最常见的是使用级数展开的形式。

例如，魏尔斯特拉斯级数是一种常见的复变函数表示方法。

它可以表示为$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$，其中$a_n$是复数系数，$z_0$是复数常数。

二、复变函数的性质复变函数具有许多有趣且独特的性质，以下是其中的几个重要性质：1. 解析性：复变函数的一个重要性质是解析性（或称全纯性）。

一个函数在其定义域上是解析的，意味着它在该区域内可以进行无限次的复数微分。

解析函数满足柯西-黎曼方程，即其实部和虚部满足柯西-黎曼条件。

2. 否定性：与实变函数不同，复变函数的性质有时可以由其在定义域内的性质否定。

例如，某些函数可能在无限远处有奇点，或者在某些点上是不连续的。

3. 互补性：复数域上的函数可以分解成实部和虚部的和或差。

这种分解方式可用于简化复变函数的问题，并帮助我们理解函数性质。

三、复变函数的应用复变函数在数学和工程领域中有广泛的应用。

以下是其中一些主要应用领域：1. 数学物理学：复变函数在数学物理学中扮演着重要的角色。

例如，它们用于解决波动方程、电动力学和量子力学中的问题。

复变函数的工具和技术为解这些方程提供了很大的帮助。

2. 等势流理论：在流体力学领域，复变函数的概念广泛应用于等势流理论。

这个理论用于描述在理想流体中以连续形式流动的流线。

3. 统计和概率：复变函数也在统计学和概率论中有应用。

z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：

z1
z0
f ( z )dz G( z1 ) G(z0 )
z0 , z1分别为C的起点，终点；G( z ) 为 f ( z ) 原函数
分部积分公式仍成立
若积分曲线 C 为闭曲线

C
f ( z )dz
首先，判定被积函数 f (z ) 解析的情况
(1) 若被积函数 f ( z ) 在积分闭曲线C 所围成的区域内解析， 则
注意：C1为负向的圆周

sinz z dz 2i sinz z 0 0 c1
sinz 对于 dz z c2
si nz 在积分曲线C1所围成的区域内恰有一 个奇点， z z 0 (分母 z 0 为零的点）
sinz z dz 2i sinz z 0 0 c2
(3) 若被积函数 f ( z ) 在积分闭曲线C 围成的区域D内 包含多个奇点z1 , z 2 ,..., z n :
作 n 条分别包含奇点z1 , z 2 ,...,z n 的闭曲线C1，C 2 ,...,C n , 使它们与C一起满足复合闭路定理 的条件

C
f ( z )dz = C f ( z )dz k
1 ( 2) C为正向圆周z 1 2
z ( z 1)(z 1) 2 dz c
解： 被积函数
z 1
z 在积分曲线所围成的区域内只有一个奇点 2 ( z 1)(z 1)
分母 z 1为零的点
z ( z 1) 2 z z 1 ( z 1)(z 1) 2
？?？？？
sinz dz 例2： z c c1 c2
c1 : z 1 负向
c2 : z 3正向
sinz sinz dz sinz dz 解： z c z dz c1 z c2 c c1 2

复变函数知识点归纳
本文旨在归纳复变函数的相关知识点，以下是一些主要内容：
1. 复数与复平面
复数是由实部和虚部构成的数，常用形式为`z = a + bi`，其中`a`为实部，`b`为虚部。

复平面将复数表示为在平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。

2. 复变函数定义
复变函数是将复数映射到复数的函数。

常见的复变函数形式包括多项式函数、指数函数、三角函数、对数函数等。

3. 解析函数与共轭函数
解析函数是在某个区域上处处可导的函数。

共轭函数是将解析函数的虚部取相反数得到的函数。

4. 复变函数的导数
复变函数的导数由实部和虚部的偏导数组成。

对于解析函数，其导数存在且连续。

5. 复变函数的积分
复变函数的积分可通过路径积分的方式计算，即沿着路径对函数进行积分。

路径可以是直线、曲线或任意闭合曲线。

以上是关于复变函数的基本知识点的简要归纳。

复变函数在数学、物理、工程等领域都扮演着重要的角色，深入理解这些知识点能够帮助我们更好地应用和解决实际问题。

需要深入研究和探索的读者可查阅相关教材和资料。

为复数） （k = 0,±1,±2,L) ( z ≠ 0,α为复数）
性质：（ • 当α 为整数时， α = eαlnz − − − 单值 性质：（ 1 ） 为整数时， z 特别， α为正整数时， z 特别，当 为正整数时，即为的α次幂 p • 当为有理数 （p, q互质, q > 0 时， ） q zα = e
一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。 一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。
证明： 例 3 证明：f ( z ) =
Re z ⋅ Im z 在 z = 0满足 C − R
条件，但不可导。 条件，但不可导。
例4
可导？ 解析？ 判断下列函数何处 可导？何处 解析？ 1 （） f ( z ) = e x (cos y + i sin y )
z → z0 ( x , y )→( x0 , y0 )
f ( z ) 在 z0 连续
z → z0
⇔
u( x, y)，v( x, y)在 ( x0 , y0）连续
( x , y )→( x0 , y0 )
（lim f ( z ) = f ( z0 )） （
lim
u( x, y) = u( x0 , y0 ), v( x , y ) = v ( x 0 , y 0 )
(z )
n
′
= nz n−1
例2
的连续性与可导性。 讨论 f ( z ) = z 的连续性与可导性。
可导必连续,连续不一定可导 可导必连续 连续不一定可导
求导法则: 求导法则
(1) (C ) = 0, 其中 为复常数 其中C ;
′
( 2) z
( )
n
′
= nz
′

a ≡ ( a ,0) ≡ a (1,0)
(1, 0) 代表实数1，(0, 1) 称作虚单位，记作 i ，即
i = (0,1)
α = (a, b) = a(1,0) + b(0,1) = a + ib
基本运算法则
z1 = x1 + iy1
加减法法则： z1 ± z2 乘法法则：
z2 = x2 + iy2
n→∞
一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点。
1.3 复变函数
定义 点集的内点
若以某一点为圆心做一个圆，只要半径足够小，使圆 内所有点属于该点集，称此点为点集的内点。
定义
区域
同时满足下列两个条件的点集。 （1）全部都由内点组成 （2）具有连通性——点集中任意两点都可以用一条 折线连接起来，这线上的点全都属于此点集。
称这一对有序实数 (a, b ) 定义了一个复数 α，记作
α = (a , b ) = a (1,0) + b(0,1)
a = Re α 为的实部，b = Im α 为的虚部。
两个复数相等指这两个复数的实部和虚部分别相等。 复数不能比较大小。
？ 实数↔复数
定义 实数集 R 是复数集 C 的一个子集。 实数 a（当然可以称作复数 α ）记为
= ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 )
z1 ⋅ z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + x1iy2 + iy1 x2 + iy1iy2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + y1 x2 )
除法法则：
z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) = = z 2 x2 + iy2 ( x2 + iy 2 )( x2 − iy 2 ) ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + y1 x2 ) = 2 2 x2 + y 2 x2 y1 − y2 x1 x1 x2 + y1 y2 = +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2

大学复变函数的解析函数复变函数是数学中的一门重要课程，它研究了在复平面上定义的函数。

其中，解析函数是复变函数中的一类特殊函数，具有很多重要的性质和应用。

本文将介绍关于大学复变函数中解析函数的定义、性质以及实际应用等方面的内容。

1. 解析函数的定义解析函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。

具体地，如果函数f(z)在区域D内对复平面上的任意一点z定义了导数，则称f(z)是D上的解析函数。

2. 解析函数的性质解析函数具有以下几个重要的性质：2.1. 可微性：解析函数在其定义域内处处可导，并且导数在定义域内也是解析函数。

2.2. 全纯性：解析函数无奇点，即在其定义域内处处解析。

2.3. 可积性：解析函数可以在其定义域上进行积分，并且积分与路径无关。

2.4. 唯一性：由于解析函数的可微性，其导数也是唯一确定的。

2.5. 极值点：解析函数没有极值点，即在其定义域内不存在局部极大值或极小值点。

3. 常见的解析函数复变函数中有许多常见的解析函数，包括：3.1. 幂函数：f(z) = z^n，其中n为整数。

3.2. 指数函数：f(z) = e^z。

3.3. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。

3.4. 对数函数：f(z) = ln(z)。

4. 解析函数的实际应用解析函数在科学、工程和数学领域中有广泛的应用，例如：4.1. 工程设计中的电路分析和控制系统设计需要用到解析函数，如电容、电感和电阻等元件的阻抗计算。

4.2. 物理学中的波动现象研究需要用到解析函数，如光学中的折射和衍射等现象。

4.3. 金融学中的统计模型和风险管理需要用到解析函数，如利率模型和期权定价等。

4.4. 数学领域中的傅里叶分析和调和函数研究需要用到解析函数，如信号处理和信号重构等。

综上所述，解析函数是复变函数中非常重要的一类函数，具有许多重要的性质和应用。

了解和掌握解析函数的定义、性质以及实际应用对于深入理解和应用复变函数具有重要意义。

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第二章
第一节 解析函数的概念
1.复变函数的导数与微分 (1) 导数的定义 设函数 w f ( z ) 定义于区域 D , z 为D 中的一点,点 z z 不超出 D 的范围,如 f ( z z ) f ( z ) 果极限 lim 存在, 那么就说 f ( z ) z z 的导数,记作 在 z 可导.这个极限值就称 f ( z ) 在 dw f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim . dz z
第一节 复数及其代数运算
1 复数的概念 对 任 意 二 实 数 x, y , 称 z x iy 或
z x yi 为复数 , 其中x, y 分别称为 z 的实部 和虚部,记作 x Re( z ), y Im( z ) . 当 x 0, y 0 时 , z iy 称 为 纯 虚 数 ; 当 y 0 时, x x i 0 可看作实数x .
如果存在z0 的一个邻域,该邻域内的所有点
G 的内点.如果 G 内的 z0 为 都属于G ,那么称 G 为开集. 每个点都是G 的内点,那么称
第四节 区
域
(3) 区域 D 满足下列 平面点集D 称为一个区域, 如果 两个条件: 1)D 是一个开集;
2)D 是连通的, 即D 中任意两点都可以
用完全属于D 的折线连接起来.
第一节 解析函数的概念
(3)求导法则:
f ( z) g ( z ) f ( z ) f ( z ) g ( z ) ] 5) [ g ( z) g 2 ( z)
6) { f [ g ( z )]} f ( w) g ( z ) , 其中 w g ( z ) 7)

例1、求 z 平面上的下列图形在映射 w z2下的象。
1 0 r z , ； 4
2 0 , 0 r 2
4
3 x2 y2 C1 , 2xy C2； 4 x , y .
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解 (1) w z2 u x2 y2, v 2xy | w || z |2, arg( w) 2arg( z)
乘法的模与辐角定理
How complex the expression are!
张 长 华
复变函数与积分变换
(1)记
w
Complex Analysis and
ei (z rei )，则
注：①闭区域 D 区域D D的边界，它不是区域。
②任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相 交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区域， 称为 C的外部； C，称为内部与外部的边界。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
四、复变函数的概念
（值域）的一个映射（或映照）。
G — 原象 G* — 象映象;
w叫z的象 G*叫G的象
注：单值函数w f (z)的反函数存在且为单值函数。
G*与 G 中的点为一一对应
映射为双射
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
五、典 型 例 题
由 x z z , y z z 代入 F(x, y) 0知
2
2i
曲线C的方程可改写成复数形式 F( z z , z z ) 0 2 2i

双方单值与一一映射
~ w f ( z ) 若映射 与它的逆映射 z f ( w ) 都是单值的，
则称映射 w f ( z ) 是 双方单值的 或者一一映射 。 6
§ 1.Байду номын сангаас 复变函数
第 一 章
1 1 1 复 数 解 (1) 点 z 2 2 i 对应的像 (点) 为 w 2 i . 与 (2) 区域 D 可改写为： 复 变 D { z : 0 | z | 1 , 0 arg z π / 2} , 函 数 令 z r e i , 则 w z 2 r 2 e i 2 ,
17
P28 定义
0
§ 1.5 复变函数
第 四、连续 一 章 性质 (1) 在 z0 连续的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的和、差、积、 P28 z0 不为零 ) 在 z0 处连续。 商 ( 分母在 定理 复 数 四 (2) 如果函数 g( z ) 在 z0 处连续，函数 w f ( ) 在 与 复 0 g( z0 ) 连续，则函数 w f [ g( )] 在 z0 处连续。 变 函 (由基本初等函数的连续性可得初等函数的连续性) 数 (3) 如果函数 f ( z ) 在有界闭区域 D 上连续，则
(2) z 趋向于 z0 的方式是任意的。
9
§ 1.5 复变函数
第 三、极限 一 章 几何意义 复 数 与 复 变 函 数 y v

z z0 x
f (z)

A
u
当变点 z 一旦进入 z0 的充分小的 邻域时 , 它的像点 f ( z ) 就落在 A 的预先给定的 邻域内。 10
§ 1.5 复变函数
若 f ( z ) 在区域 D 内处处连续，则称 f ( z ) 在 D 内连续 。 复 数 与 注 (1) 连续 的三个要素： f ( z0 ) 存在；lim f ( z ) 存在；相等。 z z0 复 (2) 连续 的等价表示： 变 函 lim f ( z ) f ( z0 ) lim w 0 lim | w | 0 . 数 z z0 | z | 0 z 0 其中， z z z0 , w f ( z z0 ) f ( z0 ) . 通常说： 当自变量充分靠近时，函数值充分靠近。 (3) 一旦知道函数连续，反过来可以用来求函数的极限。

dw zz0 f (z0 )z
当 f (z) z时，dw= dz ，z 所以 f 在(z)点
z 0处的微分又可记为
dw zz0 f (z0 ) d z
亦即
dw
dz zz0
f (z0 )
由此可知，函数 w f (z)在点 z处0 可导与可微 是等价的.
复变函数的求导法则与高数完全类似：
则称 gx, y为 D内的调和函数
定理2.3 设 f z u i，v 若 f 在z 区域 内D 解
析，则 与u 均v 为 内D的调和函数.
定义2.4 若在区域 D内， u与 v均为调和函数
且满足C-R条件
ux vy , uy vx 则称 u 为 v的共轭调和函数
定理2.4 设 ux, y在区域 D内为调和函数，则
z0
)
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
0 f (z0 ) 0
知
lim
zz0
f (z)
f (z0 )，故
f在(z)点 处z 0连续.
同高数一样，称函数 f (z) 的改变量 w的线性部 分 f (z0 )z为函数 f (z在) 点 z处0 的微分，记作 dw 或 zz0 df(z) z，z0 即
2.1 复变函数的导数
定义2.1 设函数 w f z定义在区域 D
内，z0 D ，（z0 z） D ，若极限
lim f z0 z f z0
z0
z
存在，则称此极限为函数 f z在点 z0处的导数，
记作 f z0 或
df ，即
dz zz0
f
z0
df dz
z z0
lim
z0
f
z0

解 因为 z x iy ，所以
x
1 1 ( z z )， y ( z z ). 2 2i
将上式代入 ax by c 0 得：
a( z z) ib( z z) 2c 0 ,
即
(a ib) z (a ib) z 2c ，
B 2c ，则有 令 A a ib，
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) • 复数的模 | z | • 判断复数相等
x2 y2 0
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re( z ) Im( z ) 0
2 2 2

2

§1.2 复数的几何表示
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数 ( x, y ),
在 平 面 上 取 定 直 角 坐系 标， 则 任意点 P( x, y) 一 对 有 序 实 数 ( x, y) z x iy 平 面 上 的 点 P ( x, y )
《复变函数与积分变换》
Complex Analysis and Integral Transforms
朱传喜等编 江西高校出版社
复数的诞生
先从二次方程谈起: 公元前400年，巴比伦人发现和使用
ax2 bx c 0, (a 0),
则当 b 4ac 0 时无解，当 b 4ac 0 时有 解．
复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛 的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问 题的有力工具。

复变函数基本概念复变函数是复数域上的函数，它将复数映射为复数。

复变函数的研究与实分析中的实函数有很大的不同，它引入了很多有趣的概念和性质。

本文将介绍复变函数的基本概念，包括复数、复变函数的定义、解析函数、全纯函数等内容。

1. 复数复数是实数的扩充，由实部和虚部构成。

复数可以表示为z = x + yi，其中x和y分别为实部和虚部，i是虚数单位。

实部和虚部都可以是实数。

复数具有加法、减法、乘法和除法等基本运算规则，其中乘法定义为(z1 * z2) = (x1x2 - y1y2) + (x1y2 + x2y1)i，除法定义为(z1 / z2) =[(x1x2 + y1y2) / (x2^2 + y2^2)] + [(x2y1 - x1y2) / (x2^2 + y2^2)]i。

2. 复变函数的定义复变函数是定义在复平面上的函数，它将复数映射为复数。

形式上，复变函数可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v是实部和虚部的实函数。

3. 解析函数和全纯函数解析函数也称为全纯函数，它是复变函数的重要概念。

解析函数在一个区域内是可导的，即它在该区域内存在导数。

一个复变函数是全纯函数，当且仅当它在每个点都可导。

全纯函数具有一些重要的性质，包括保持解析、可逆和可微等。

全纯函数满足柯西-黎曼方程，即它的实部和虚部满足柯西-黎曼条件。

4. 级数展开复变函数可以用级数展开的方式表示，这是复变函数研究的重要工具之一。

著名的洛朗级数定理指出，任何复变函数都可以用洛朗级数展开表示。

洛朗级数由无穷多个项组成，每个项包含一个主项和一系列负幂项和正幂项。

它可以表示为f(z) = Σ(从负无穷到正无穷) [c_n(z-a)^n]，其中c_n称为洛朗系数，a是展开中心。

5. 解析延拓与辐角原理解析延拓是指通过复变函数在一个区域内的性质推导出在该区域之外的性质。

解析延拓可以帮助我们研究复变函数的性质和行为。

辐角原理是解析函数理论中的重要概念之一，它关注解析函数在封闭曲线内部和外部的行为。

z (b )
不简单、 不简单、不闭
简单闭曲线： 简单闭曲线： z (a ) = z (b ) 的简单曲线 例：
简单、 简单、闭
简单、 简单、不闭
不简单、 不简单、闭
5
5
单连通域： 复平面上的一个区域B， 复平面上的一个区域 ， 如果在其中任作一条简 单闭曲线， 单闭曲线，而曲线的内 部总属于B 部总属于 多连通域： 非单连通域： 非单连通域
w = f (z )
Z称为 的宗量，定义域为 称为w的宗量 定义域为E 称为 的宗量，
在复变函数中， 解析函数( 在复变函数中，我们重点研究的是解析函数(区域上处处可 微分的复函数 ) 复变函数的例子
w=z
2
w = x − y + 2 xyi
2 2 3
1
w = x + y + ixy + 4
2
1
（二） 区域的概念
析的。 每个分支在除去原点及 负实轴的复平面内是解 析的。
(z ) = bz
b
′
b −1
z
m n
=e
m Lnz n
=e
1 m Lnz n
=e
1 1 Lnz + L + Lnz n n
=z
1 n
有n个分支， 个分支，
m
析的。 每个分支在除去原点及 负实轴的复平面内是解 析的。
即∃M > 0, ∀z ∈ D, 都满足 z < M .
圆形域 环形域
z − z0 < r a < z − z0 < b
闭圆域 闭环域
z − z0 ≤ r a ≤ z − z0 ≤ b
3