第二章 控制系统的数学模型习题及答案
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第二章 控制系统的数学模型习题及答案 2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。其中电压)(tur和位移)(tx为输入量；电压)(tuc
和位移)(ty为输出量；R（电阻），C（电容），k（弹性系数），和f（阻尼系数），均为常数。
解： （a）应用复数阻抗概念可写出
)()(11)(11sUsIcsRcsRsUcr （1）
2)()(RsUcsI （2）
联立式（1）、（2），可解得： CsRRRRCsRRsUsUrc212112)1()()( 微分方程为: rrccuCRdtduuRCRRRdtdu121211 （b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 )()(111dtdydtdxfxxk （1）
对B点有 ykdtdydtdxf21)( （2）
联立式（1）、（2）可得：
dtdxkkkykkfkkdtdy2112121)(
2-2 试证明下图所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。 解： (a) 取A、B两点分别进行受力分析， 如图解所示。对A点有 )()()(1122yyfyxfyxk (1)
对B点有 1111)(ykyyf (2)
对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量1y，整理后得
)()(sXsY = 21212121221212212121()1()1ffffsskkkkfffffsskkkkk21221221221211221221kks)kfkfkf(sffkks)kfkf(sff
(b) 由图可写出 sCRsUc221)( = sCRsCRsCRsUr111112111)(
整理得 )()(sUsUrc = 1)(1)(21221122121221122121sCRCRCRsCCRRsCRCRsCCRR
比较两系统的传递函数，如果设112211221,1,,,RkRkCfCf则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。
2-3 求下图所示各有源网络的传递函数)()(sUsUrc。 解： (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出12)()(RRsUsUrc (b) sCR)sCR1)(sCR1(sC1RsC1RsC1R)s(U)s(U212211111122rc
(c) )1(11)()(212122CsRRRRCsRCsRsUsUrc 2-4 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 tteetc221)(，试求系统的单位脉冲响应和传递函数。 解 t2te4edt)t(dc)t(k
)2s)(1s(23s1s12s4)]t(k[L)s(
2-5 系统传递函数2s3s2)s(R)s(C2，试求初始条件为1)0(c、0)0(c时系统在输入)t(1)t(r作用下的输出)t(c。
解： 得时，由)t(2r)t(2c)t(c3)t(c0)0(c,1)0(c )s(2R)s(2C)0(3c)s(3sC)0(c)0(sc)s(Cs2
代入初始条件得：2s21s4s1)2s)(1s(s3ss2)s(C2 2tt2e4e1)t(c 2-6 飞机俯仰角控制系统结构图如图所示，试求闭环传递函数)s(Q)s(Qrc。 解： 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数
68.0s)K42.018.1(s)K7.09.0(s)6.0s(7.0)s(Q)s(Q23rc
2-7 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数)s(R)s(C。
解： 系统结构图如下：
利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为 84321743215436324321GGGGGGGGGGGGGGGG1GGGG)s(R)s(C
2-8 试用结构图等效变换法化简下图所示系统，并求各系统的传递函数)s(R)s(C。 解： （a）
)()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111sXsGsCsGsGsCsXsXsXsGsXsGsXsCsGsGsGsRsGsX 所以： 43213243214321GGGGGGGGGG1GGGG)s(R)s(C （b）
所以： HG1GG)s(R)s(C221 （c）
所以： 3213221321GGGGGGG1GGG)s(R)s(C 2-9 试用梅逊增益公式求下图中各系统的闭环传递函数。 解： （a）图中有1条前向通路，4个回路 1GGGGP143211，
)LLLL(1HGGLHGGGGLHGGGLHGGL43212434443213332121321，，，，
243443213321132432111
HGGHGGGGHGGGHGG1GGGGP)s(R)s(C
（b）图中有4条前向通路，5个回路 ，，，，1242321211GGPGPGGPGP
，，，，，2151242321211GGLGGLGLGGLGL ，，)LLLL(1143214321 44332211PPPP)s(R)s(C 2121212121122211122211GG3GG1GGGG2GGGGGGGG1GGGGGG
（c）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路 ，，，，1234213211L1GGP1GGGP
，，，3232321211HGLHGLHGGL ，21321LL)LLL(1
213213223121121343212211
HHGGGHGHGHGG1)HGG1(GGGGGPP)s(R)s(C
2-10 已知系统的结构图如下，图中)(sR为输入信号，)(sN为干扰信号，试求总输出C(s)。 解：（a）令0)s(N，求 )s(R)s(C。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。 ，，，，HG1L1GGP1GGP2123121211 ，，，31321221GGLGGLHGL ，31321LL)LLL(1
则有 HGGGGGGGHG1)HG1(GGGGPP)s(R)s(C32131212231212211 令0)s(R，求 )s(N)s(C。有3条前向通路，回路不变。 ，，，，1GGGPL11P22142111 ，，133143L1GGGP，31321LL)LLL(1
HGGGGGGGHG1)HG1(GGGGGGHG1PPP)s(N)s(C3213121223142142332211
HGGGGGGGHG1)]HG(1GGGGGGHG1)[s(N)]HG1(GGGR(s)[G)s(C321312122314214223121（b）令0)s(N0)s(N21，，求 )s(R)s(C。图中有1条前向通路，1个回路。 ，，，，1111L12s)1s(K2L12sKsP 则有 )1K(2s)1K2(KsP)s(R)s(C11 令0)s(N0)s(R2，，求 )s(N)s(C1。图中有1条前向通路，回路不变。 ，，1sP11则有 )1K(2s)1K2()2s(sP)s(N)s(C111
令0)s(N0)s(R1，，求 )s(N)s(C2。图中有1条前向通路，回路不变。 12sK2P11，则有 )1K(2s)1K2(K2P)s(N)s(C112
1)2(k1)s(2k)s(2kN)s(N)2s(sksR(s))s(C21
（c）令0)s(N，求 )s(R)s(C。图中有3条前向通路，2个回路。 ，，，，，，1GGGP1GGP1GGP3421324321421 ，，，)LL(1GGLGGL21432421
则有 43424214342332211GGGG1GGGGGGGPPP)s(R)s(C 令0)s(R，求 )s(N)s(C。有1条前向通路，回路不变。 ，，1GP141 则有 4342411GGGG1GP)s(N)s(C
434244214342GGGG1G)s(N]GGGGGGG)[s(R)s(C
2-11
