函数的零点（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2014•海淀区校级模拟）函数131()2xf x x =-的零点所在区间是( ) A ．1(0,)6B ．11(,)63C ．11(,)32D ．1(,1)22．（2014•房山区一模）函数212()log f x x x =- 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．（2013•延庆县一模）已知函数2()()2()f x x a b x ab a b =-+++<的两个零点为α，()βαβ<，则实数a ，b ，α，β的大小关系是( )A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<二．填空题（共6小题）4．（2015•海淀区二模）已知()cos f x x lnx =，0101()()0()f x f x x x ==≠，则01||x x -的最小值是 ．5．（2015秋•海淀区校级期中）函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是 （填写下列正确函数的序号）． ①43()x f x x-=②2()(1)f x x =-③()1x f x e =-④()41f x x =-． 6．（2015•北京）设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩， ①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．7．（2015•东城区二模）已知函数()cos ((0f x x x =∈，2))π有两个不同的零点1x ，2x ，且方程()f x m =有两个不同的实根3x ，4x ，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为 ．8．（2012秋•西城区期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0xf x >的x 的取值范围是 ．9．（2013春•海淀区校级期中）已知关于x )4x k π+=在[0，]π上有两解，则实数k 的取值范围是 ．三．解答题（共2小题）10．（2019秋•房山区期末）已知函数()log (3)a f x x =-，其中0a >且1a ≠． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的零点；（Ⅲ）比较(1)f -与f （1）的大小．11．（2011秋•东城区校级期中）若2()f x ax bx c =++为一元二次函数，且f （1）2a=-，2a c b >>；)（1）试判别a ，b 的符号；)（2）求函数()y f x =图象被x 轴所截得弦长的范围； )（3）求证：()f x 在(0,2)在至少存在一个零点．函数的零点（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2014•海淀区校级模拟）函数131()2xf x x =-的零点所在区间是( ) A ．1(0,)6B ．11(,)63C ．11(,)32D ．1(,1)2【分析】如果函数()y f x =在区间[a ，]b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）f （b ）0<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点．据此可判断出有零点的区间． 【解答】解：f （1）0=，31()0222f =->，331()0332f =-<． ∴11()()032f f ⨯<，根据函数零点的判断定理可知：函数131()2x f x x =-在区间11(,)32内一定有零点． 故选：C ．【点评】理解函数零点的判断定理是解题的关键．2．（2014•房山区一模）函数212()log f x x x =- 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】由题意可得，本题即求函数2y x =的图象和函数12log y x = 的图象的交点个数，数形结合可得结论．【解答】解：函数212()log f x x x =- 的零点个数即为函数2y x =的图象和函数12log y x = 的图象的交点个数．如图所示：数形结合可得，函数2y x =的图象和函数12log y x = 的图象的交点个数为1，故选：B ．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．3．（2013•延庆县一模）已知函数2()()2()f x x a b x ab a b =-+++<的两个零点为α，()βαβ<，则实数a ，b ，α，β的大小关系是( )A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<【分析】2()()()()g x x a b x ab x a x b =-++=--则函数()f x 的图象可以看成把函数()g x 的图象向上平移2个单位得到的，数形结合可得实数a ，b ，α，β的大小关系．【解答】解：函数2()()2()()2f x x a b x ab x a x b =-+++=--+ 的两个零点为α、β， 设2()()()()g x x a b x ab x a x b =-++=--，则a 、b 是函数()g x 的两个零点， 则函数()f x 的图象可以看成把函数()g x 的图象向上平移2个单位得到的，如图所示： 故有a b αβ<<<， 故选：A ．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，函数图象的平移规律，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 二．填空题（共6小题）4．（2015•海淀区二模）已知()cos f x x lnx =，0101()()0()f x f x x x ==≠，则01||x x -的最小值是 12π- ．【分析】根据0101()()0()f x f x x x ==≠，令()0f x =，求出x 的值，即得01||x x -的最小值． 【解答】解：()cos f x x lnx =，0101()()0()f x f x x x ==≠，∴令()0f x =，得cos 0x =或0lnx =；解得2x k ππ=+，k Z ∈或1x =；01||x x ∴-的最小值是12π-．故答案为：12π-．【点评】本题考查了求函数零点的应用问题，是基础题目．5．（2015秋•海淀区校级期中）函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是 ④ （填写下列正确函数的序号）．①43()x f x x-=②2()(1)f x x =-③()1x f x e =-④()41f x x =-． 【分析】先判断()g x 的零点所在的区间，再求出各个选项中函数的零点，看哪一个能满足与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25．【解答】解：()422x g x x =+-在R 上连续递增，且13()042g =<，1()212102g =+-=>．设()422x g x x =+-的零点为0x ，则01142x <<， 011044x <-<，011||44x ∴-<． 又43()x f x x-=零点为34x =；2()(1)f x x =-零点为1x =；()1x f x e =-零点为0x =；()41f x x =-零点为14x =， 故答案为④．【点评】本题考查判断函数零点所在的区间以及求函数零点的方法，属于基础题． 6．（2015•北京）设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩， ①若1a =，则()f x 的最小值为 1- ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设()2x h x a =-，()4()(2)g x x a x a =--，分两种情况讨论，即可求出a 的范围． 【解答】解：①当1a =时，21,1()4(1)(2),1x x f x x x x ⎧-<=⎨--⎩，当1x <时，()21x f x =-为增函数，()1f x >-，当1x >时，223()4(1)(2)4(32)4()12f x x x x x x =--=-+=--，当312x <<时，函数单调递减，当32x >时，函数单调递增，故当32x =时，3()()12min f x f ==-， ②设()2x h x a =-，()4()(2)g x x a x a =-- 若在1x <时，()h x =与x 轴有一个交点，所以0a >，并且当1x =时，h （1）20a =->，所以02a <<， 而函数()4()(2)g x x a x a =--有一个交点，所以21a ，且1a <， 所以112a <，若函数()2x h x a =-在1x <时，与x 轴没有交点， 则函数()4()(2)g x x a x a =--有两个交点，当0a 时，()h x 与x 轴无交点，()g x 无交点，所以不满足题意（舍去），当h （1）20a =-时，即2a 时，()g x 的两个交点满足1x a =，22x a =，都是满足题意的， 综上所述a 的取值范围是112a <，或2a ． 【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．7．（2015•东城区二模）已知函数()cos ((0f x x x =∈，2))π有两个不同的零点1x ，2x ，且方程()f x m =有两个不同的实根3x ，4x ，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为 ． 【分析】函数()cos ((0f x x x =∈，2))π有两个不同的零点1x ，2x ，可知12x π=，232x π=，因为方程()f x m =有两个不同的实根3x ，4x ，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，需要分两种情况进行讨论：0m >和0m <，再利用等差数列的性质进行求解；【解答】解：函数()cos ((0f x x x =∈，2))π有两个不同的零点1x ，2x ， 12x π∴=，232x π=，方程()f x m =有两个不同的实根3x ，4x ，若把这个数按从小到大排列构成等差数列， 若0m >则，3x ，2π，32π，4x ，构成等差数列，可得公差322d πππ=-=，则1022x πππ=-=-<，显然不可能； 若0m <则，2π，3x ，4x ，32π，构成等差数列，可得公差3322d ππ=-，解得3d π=，323x ππ∴=+，35cos 6m x π===，故答案为：； 【点评】此题主要考查三角函数的性质及三角函数值的求解问题，涉及函数的零点构成等差数列，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道基础题；8．（2012秋•西城区期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0xf x >的x 的取值范围是 (2-，0)(0⋃，2) ．【分析】利用已知函数当0x >时的单调性和奇函数的对称性画出图象即可解出．【解答】解：由()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，可以画出图象， 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，因此其图象关于原点对称，且(0)0f =，据此画出图象． ①当0x >时，()0xf x >，()0f x ∴>，因此02x <<； ②当0x <时，()0xf x >，()0f x ∴<，因此20x -<<．综上可知：满足()0xf x >的x 的取值范围是(2-，0)(0⋃，2)． 故答案为(2-，0)(0⋃，2)．【点评】熟练掌握奇函数的对称性和分类讨论的思想方法是解题的关键．9．（2013春•海淀区校级期中）已知关于x 的方程2)4x k π+=在[0，]π上有两解，则实数k 的取值范围是12k < ．【分析】利用三角函数的图象与性质即可求出． 【解答】解：0x π，∴5444x πππ+，∴2sin()14x π+，12sin()24x π-+．又()2)4f x x k π=+=在[0，]π上有两解，∴12k <．∴实数k 的取值范围是12k <．故答案为12k <．【点评】熟练掌握三角函数的图象与性质是解题的关键． 三．解答题（共2小题）10．（2019秋•房山区期末）已知函数()log (3)a f x x =-，其中0a >且1a ≠． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的零点；（Ⅲ）比较(1)f -与f （1）的大小．【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得30x ->，解可得函数的定义域，即可得答案； （Ⅱ）根据题意，()log (3)0a f x x =-=，解可得x 的值，即可得答案； （Ⅲ）根据题意，对a 分情况讨论，结合对数函数的性质分析可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，()log (3)a f x x =-，则有30x ->，解可得3x <， 即函数的定义域为(,3)-∞；（Ⅱ）根据题意，()log (3)0a f x x =-=，则有31x -=，解可得2x =， 即函数()log (3)a f x x =-的零点为2；（Ⅲ）(1)log (31)log 4a a f -=+=，f （1）log (31)(1)log 2a a f =-=-=， 当1a >时，(1)f f ->（1）， 当01a <<时，f （1）(1)f >-；【点评】本题对数函数的性质，涉及函数的零点计算，属于基础题．11．（2011秋•东城区校级期中）若2()f x ax bx c =++为一元二次函数，且f （1）2a =-，2a cb >>；)（1）试判别a ，b 的符号；)（2）求函数()y f x =图象被x 轴所截得弦长的范围； )（3）求证：()f x 在(0,2)在至少存在一个零点．【分析】（1）利用2()f x ax bx c =++为一元二次函数，且f （1）2a =-，可得2aa b c ++=-，结合2a c b >>，即可判别a ，b 的符号；（2）12||x x -21ba-<<-，即可求函数()y f x =图象被x 轴所截得弦长的范围；（3）(0)ff c =，f （2）42a b c a c =++=-，分类讨论，结合f （1），即可证明()f x 在(0,2)在至少存在一个零点． 【解答】（1）解：2()f x ax bx c =++为一元二次函数，且f （1）2a =-，2a a b c ∴++=-，32c b a ∴=--， 2a c b >>， 23a b a b ∴>-->， 0a b ∴+>，a b >， 0a ∴>，0b <；（2）解：由（1）得232c a b =--①；21ba-<<-．② 设方程()0f x =的两根为1x 、2x ， 则12b x x a +=-，③1232c bx x a a ==--，④由③④得12||x x -=由②12||x x <-<即函数()y f x =的图象被x 轴截得的弦长的取值范围是．（3）证明：由（1）得32b ac =--，(0)f c ∴=，f （2）42a b c a c =++=-．1︒当0c 时，0a >，f ∴（1）02a=-<且f （2）0a c =->．()0f x ∴=在区间(1,2)内至少有一个实数根．2︒当0c >时，0a >，(0)0f c ∴=>且f （1）02a=-<．()0f x ∴=在区间(0,1)内至少有一个实数根．综合1︒和2︒，得()0f x =在(0,2)内至少有一个实数根．【点评】本题考查二次函数，考查函数()y f x =的图象被x 轴截得的弦长的取值范围，考查方程的根，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
专题07利用导函数研究函数零点问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍..........................................................................................................1二、典型题型..........................................................................................................2题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题...................................................2题型二：证明唯一零点问题..............................................................................6题型三：根据零点（根）的个数求参数...........................................................9三、专项训练.. (14)一、必备秘籍2、函数零点的判定如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是()0f x =的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点3、利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．4、利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数(()a g x =)后，将原问题转化为()y g x =的值域(最值)问题或转化为直线y a =与()y g x =的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．二、典型题型题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题由图象可得，当31ea <-时，()y f x =与y a =当31ea =-或0a ≥时，()y f x =当310ea -<<时，()y f x =与y 题型二：证明唯一零点问题1．（2023上·广东珠海·高三校考阶段练习）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()y f x '=为()y f x =的导数．题型三：根据零点（根）的个数求参数()()00,h x h h ∴==极大值又()h x 的图象与y a =4(,)(0,)3a ∴∈-∞-⋃∞.4．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）()∴要使y k =与函数()23h x x x=-只需331k <--，k ∴的取值范围是5．（2023下·浙江衢州·高二统考期末）已知函数(1)若过点()0,m 作函数()f x 的切线有且仅有两条，求(),0k ∈-∞由题意，直线y m =与()g x 的图象有且仅有两个交点，所以()242e m g ==.（2）由题可得x x kx b +=有唯一解，即三、专项训练一、单选题1．（2024上·广东江门·高三统考阶段练习）直线0x y +=与函数2ln y x x =-的图象公共点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3结合()y g x =的图象可知：若所以常数k 的取值范围是故选：D.二、填空题4．（2023上·江苏常州·高三统考期中）若关于故答案为：(0,)+∞5．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知函数由()()20f x af x +<得出(f 当0a =时，显然不成立.但0a >时，解得()a f x -<即23e 2e a <≤时，唯一整数解是当a<0时，0()f x a <<-，使得不等式只有唯一整数解，此时三、问答题7．（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）已知函数(1)若函数()y f x =在[1,x ∞∈+(2)若函数()y f x =的图象与y 【答案】(1)(],7-∞86四、证明题。
高考重难突破一导数中的综合问题第3课时函数的零点问题零点问题的不同处理方法：利用零点存在定理的条件——函数图象在区间[s p上是连续不断的曲线，且⋅<0.（1）直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，取值证明⋅<0;（2）分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在定理，在每个单调区间内取值证明⋅<0.技法一巧用数形结合法例1(2023·广东惠州调研)若函数=e2−2+1−−恒有2个零点，求的取值范围.【解】由=0，得2−2+1−=e.令=e,则函数=e2−2+1−−恒有2个零点等价于函数=2−2+1−与=的图象有2个交点，′=1−e，令′>0，得<1，令′<0，得>1，所以在−∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，所以max=1=1e.作出函数=2−2+1−=−12−与=的图象，如图所示，数形结合可得−<1e,解得>−1e，故的取值范围为−1e,+∞ .含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围.【对点训练】已知函数=++ln ,∈.（1）若函数在=1处取得极值，求实数的值；解：因为函数在=1处取得极值，′=1−2+1=2+K2,所以′1=0,即12+1−12=0,解得=2,经检验，当=2时，函数在=1处取得极小值，所以实数的值为2.（2）讨论函数 =y −的零点个数.解： 因为 =y −,所以=1−2+1− , >0.令 =0 得 =−3+2+ ,令ℎ =−3+2+ , >0 ,则 ℎ′ =−32+2+1=− 3+1 −1 .当 ∈ 0,1 时， ℎ′ >0 , ℎ 在 0,1上单调递增；已知函数=++ln , ∈ .当∈1,+∞时，ℎ′<0,ℎ在1,+∞上单调递减.画出函数ℎ的草图，如图所示，易得ℎ≤ℎ1=1,并且图象无限靠近于原点，且当→+∞时，ℎ→−∞.故当>1时，函数无零点；当=1或≤0时，函数只有一个零点；当0< <1时，函数有两个零点.技法二巧用函数性质例2已知函数=2ln −2+在[1e,e]上有两个零点，求实数的取值范围.【解】由题意得′=2−2=−2r1K1,因为∈[1e,e],所以由′=0,得=1.当1e≤<1时，′>0,函数单调递增，当1<≤e时，′<0,函数单调递减，故当=1时，函数取得极大值，1=−1,又1e=−2−1e2,e=+2−e2,且1e>e，所以在[1e,e]上有两个零点需满足条件&1=−1>0,&1e=−2−1e2≤0,解得1<≤2+1e2.故实数的取值范围是1,2+1e2].利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.【对点训练】已知函数=133−2++1.（1）若=3，求的单调区间；解：当=3时，=133−32−3−3,′=2−6−3.令′=0，解得=3−23或=3+23.当∈ −∞,3−2 3 ∪ 3+23,+∞ 时，′>0;当∈ 3−23,3+2 3 时，′<0.故的单调递增区间为−∞,3−2 3 ,3+23,+∞ ，单调递减区间为3−23,3+2 3 .（2）证明：只有一个零点.证明：由于2++1>0,所以=0等价于32+r1−3=0.设=32+r1−3,则′ =2 2+2r3 2+r12≥0,仅当=0时′ =0,所以在−∞,+∞上单调递增.故至多有一个零点，从而至多有一个零点.又3−1 =−62+2−13=−6 −162−16<0,3+1 =13>0,故有一个零点.综上，只有一个零点.已知函数=133− 2++1.技法三巧用构造函数例3设函数=122−En ，=2−+1，>0.（1）求函数的单调区间；【解】函数的定义域为0,+∞,>0，所以′=2−= r g K g，令′=0可得=，当0<<时，′<0，函数单调递减，当>时，′>0，函数单调递增.综上，函数的单调递增区间是s+∞ ，单调递减区间是0,g.设函数=122−En ，=2−+1，>0.（2）当>1时，讨论函数与图象的交点个数.【解】 令ℎ=−=−122−En++1，>0，则函数与图象交点的个数与ℎ的零点的个数相等，ℎ′=−K1K，令ℎ′>0，解得1<<，令ℎ′<0，解得0<<1或>，所以ℎ在0,1上单调递减，在1,上单调递增，在s+∞上单调递减，注意到ℎ1=+12>0，ℎ2+2=−En2+2<0，所以ℎ有唯一零点.综上，函数ℎ有唯一零点，即与图象的交点个数为1.（1）涉及函数的零点（方程的根）问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而解得函数的零点问题.（2）解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法.【对点训练】(2021·高考全国卷甲改编)已知>0且≠1，函数=>0.若曲线=与直线=1有且仅有两个交点，求的取值范围.解：要使曲线=与直线=1有且仅有两个交点，即方程=1>0有两个不同的解，故方程ln=ln有两个不同的解.设=ln>0,则′=1−ln2>0.令′=1−ln2=0,解得=e.2024版高考总复习令′>0,则0<<e,此时函数单调递增.令′<0,则>e,此时函数单调递减.故max=e=1e,且当>e时，∈ 0,1e,又1=0,所以0<ln<1e，所以∈1,e∪e,+∞.综上，的取值范围为1,e∪e,+∞.。
