高中数学第一章统计4数据的数字特征教案北师大版必修3
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1 §4 数据的数字特征
整体设计
教学分析
在义务教育阶段,学生已经通过实例,学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等,并能解决简单的实际问题.(由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大,若是承接现行《大纲》的话,建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容.)在这个基础上,高中阶段还将进一步学习标准差,并在学习中不断地体会它们各自的特点,在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征.
三维目标
1.能结合具体情境理解不同数字特征的意义,并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息,培养学生解决问题的能力.
2.通过实例理解数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差,提高学生的运算能力.
重点难点
教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用.
教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.中国女排与俄罗斯女排队员的身高、年龄如下表：
中国女排 俄罗斯女排
号码 身高/米 年龄/岁 号码 身高/米 年龄/岁
2 25 2 26
3 24 4 33
4 24 5 27
6 24 7 25
7 25 8 29
8 23 9 29
9 29 10 24
10 29 11 24
12 24 12 19
15 26 13 28
16 24 14 26
18 22 16 32
怎样判断中国女排和俄罗斯女排的队员谁的身材更为高大？我们分别求出两队球员的平均身高,谁的平均身高数值大,谁的身材就更高大,教师点出课题：数据的数字特征.
思路2.小明开设了一个生产玩具的小工厂,管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成.工作人员由五个领工和十个工人组成.工厂经营得很顺利,需要增加一个新工人,小亮需要一份工作,应征而来与小明交谈.小明说：“我们这里报酬不错,平均薪金是每周300元.你在学徒期每周75元,不过很快就可以加工资了.”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我,我已经找其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周100元,平均工资怎么可能是一周300元呢？”小明说：“小亮啊,不要激动,平均工资是300元,你看,这是一张工资表.”工资表如下： 百度文库 - 让每个人平等地提升自我
2 人员 小明 小明弟 亲戚 领工 工人
周工资 2 400 1 000 250 200 100
人数 1 1 6 5 10
合计 2 400 1 000 1 500 1 000 1 000
这到底是怎么了？教师点出课题：数据的数字特征.
推进新课
新知探究
提出问题
1.什么叫平均数？有什么意义？
2.什么叫中位数？有什么意义？
3.什么叫众数？有什么意义？
4.什么叫极差？有什么意义？
5.什么叫标准差？有什么意义？
6.什么叫方差？有什么意义？
讨论结果：
1.一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据x1,x2,…,xn的平均数为x=nxxxn21.平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质.
2.一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于中间位置的数称为这组数据的中位数.一组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中趋势.
3.一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有,反映了该组数据的集中趋势.
4.一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差,表示该组数据之间的差异情况.
5.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,通常用公式
s=])()()[(122221xxxxxxnn来计算.
可以用计算器或计算机计算标准差.标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差大,数据的离散程度大；标准差小,数据的离散程度小.取值范围是［0,+∞).
样本数据x1,x2,…,xn的标准差的计算步骤：
①计算样本数据的平均数,用x来表示；
②计算每个样本数据与样本数据平均数的差：xi-x(i=1,2,…,n)；
③计算xi-x(i=1,2,…,n)的平方；
④计算这n个xi-x(i=1,2,…,n)的平方的平均数,即方差;
⑤计算方差的算术平方根,即为样本标准差.
6.方差等于标准差的平方,即s2=n1［(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2］,与标准差的作用相同,百度文库 - 让每个人平等地提升自我
3 描述一组数据围绕平均数波动的程度的大小.取值范围是［0,+∞).
应用示例
思路1
例1 某公司员工的月工资情况如表所示：
月工资/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800 700 600 500
员工/人 1 2 4 6 12 8 20 5 2
(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数.
(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况?税务官呢?工会领导呢?
解：(1)经过简单计算可以得出：该公司员工的月工资平均数为1 373元,中位数为800元,众数为700元.
(2)公司经理为了显示本公司员工的收入高,采用平均数1 373元作为月工资的代表;而税务官希望取中位数800元,以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利;工会领导则主张用众数700元作为代表,因为每月拿700元的员工数最多.
点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量,它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分,其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大,对于非对称的数据集,中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时,众数往往经常被使用.
变式训练
1.下表为某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：
分数 0 1 2 3 4 5
人数 4 7 10 x 8 y
请参照这个表解答下列问题：
(1)用含x,y的代数式表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f；
(2)若该班这次竞赛的平均分为分,求x,y的值.
解：(1)f=405953yx；
(2)依题意,有.4,7,11,4153yxyxyx解得
2.某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整,据统计,调价前后各景点的游客人数基本不变.有关数据如下表所示：
景点 A B C D E
原价(元) 10 10 15 20 25
现价(元) 5 5 15 25 30
平均日人数(千人) 1 1 2 3 2
(1)该风景区调整前后这5个景点门票的平均收费不变,平均日总收入持平,问风景区是怎样计算的？
(2)游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前,实际上增加了约%,问游客是怎样计算的？
(3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？
解：(1)风景区是这样计算的：
调整前的平均价格：52520151010=16(元), 百度文库 -
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4 调整后的平均价格：530251555=16(元),
因为调整前后的平均价格不变,平均日人数不变,
所以平均日总收入不变.
(2)游客是这样计算的：
原平均日总收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160(千元),
现平均日总收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175(千元),
所以平均日总收入增加了160160175≈%.
(3)游客的说法较能反映整体实际.
例2 甲、乙两台机床同时生产直径是40 mm的零件.为了检验产品质量,从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量,结果如下表所示.
甲机床直径/mm
乙机床直径/mm
分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差.
解：从数据很容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值
x甲=x乙=40(mm).
我们分别计算它们直径的标准差：
s甲=10/])408.39()408.39()4040[(222=(mm),
s乙=10/])409.39()4040()4040[(222=(mm).
由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同,而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161 mm,比乙机床的标准差0.077 mm大,说明乙机床生产的零件要更标准些,即乙机床的生产过程更稳定一些.
点评：对数据数字特征内容的评价,应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用,而不是记忆和使用的熟练程度.
变式训练
设有容量为n的样本x1,x2,…,xn,其标准差为sx,另有容量为n的样本y1,y2,…,yn,其标准差为sy,且yk=3xk+5(k=1,2,…,n),则下列关系正确的是( )
=3sx+5 =3sx =3sx =3sx+5
答案：B
思路2
例1 某企业员工的月工资如下(单位：元)：
800 800 800 800 800 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 200 1 200 1 200
1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200
1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200
1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 500
1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500
