广西梧州、崇左两市联考2015届高三上学期摸底数学试卷(理科)
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广西梧州、崇左两市联考2015届高三上学期摸底数学试卷（理科）
一、选择项：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M={x|（x+1）（x﹣3）＜0，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N等于（）
A． {0，1，2} B． {﹣1，0，1} C． {﹣1，0，2} D．{1，2，3}
2．（5分）已知复数z满足（1+i）z=2i，则z=（）
A． 1﹣i B． 1+i C． ﹣1﹣i D．﹣1﹣i
E． ﹣1+i
3．（5分）设向量，满足|+|=，||=1，||=2，则•等于（）
A． B． C． D．
4．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）
A． y=±2x B． y=±x C． y=±x D．y=±x
5．（5分）已知（1+ax）（1﹣x）2的展开式中x2的系数为5，则a等于（）
A． 1 B． ﹣1 C． 2 D．﹣2
6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）
A． 3 B． 4 C． 5 D．6
7．（5分）若某物体的三视图如图所示，则该物体的体积是（）
A． 10+6π B． 10+20π C． 14+5π D．14+20π
8．（5分）已知不等式组，则目标函数z=2y﹣x的最大值是（）
A． 1 B． ﹣1 C． ﹣5 D．4
9．（5分）设函数f（x）=sin2x+cos2x，若将函数f（x）的图象向右平移个单位，所得图象对应函数为g（x），则（）
A． f（x）的图象关于直线x=对称，g（x）图象关于原点对称
B． f（x）的图象关于点（，0）对称，g（x）图象关于直线x=对称 C． f（x）的图象关于直线x=对称，g（x）图象关于原点对称
D． f（x）的图象关于点（，0）对称，g（x）图象关于直线x=对称
10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣9x+1，下列结论中错误的是（）
A． ∃x0∈R，f（x0）=0
B． “a=3”是“﹣3为f（x）的极大值点”的充分不必要条件
C． 若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（x0，+∞）单调递增
D． 若3是f（x）的极值点，则f（x）的单调递减区间是（﹣1，3）
11．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为（）
A． B． C． 2 D．1
12．（5分）若存在x使不等式＞成立，则实数m的取值范围为（）
A． B． C． （﹣∞，0） D． （0，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若曲线y=aln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=．
14．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=，cosC=﹣，则sinB=．
15．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是单调增函数．如果实数t满足时，那么t的取值范围是．
16．（5分）将a，b都是整数的点（a，b）称为整点，若在圆x2+y2﹣6x+5=0内的整点中任取一点M，则点M到直线2x+y﹣12=0的距离大于的概率为．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）设数列{an}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣a2=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．
18．（12分）如图，DA⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣B的余弦值．
19．（12分）甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求：
（Ⅰ）乙投篮次数不超过1次的概率．
（Ⅱ）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
20．（12分）如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P（2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．
21．（14分）已知函数f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）．
（Ⅰ）设x=1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明：f（x）＞﹣ln2．
四、请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时标出所选题目的题号．选修4-1：几何证明选讲．
22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接AC，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E．
（Ⅰ）证明：∠AOC=2∠ACD； （Ⅱ）证明：AB•CD=AC•CE．
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r=，点P的极坐标为（2，π），过P作直线l交圆C于A，B两点．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）求|PA|•|PB|的值．
六、【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|x﹣4|﹣t，t∈R，且关于x的不等式f（x+2）≤2的解集为[﹣1，5]．
（1）求t值；
（2）a，b，c均为正实数，且a+b+c=t，求证：++≥1．
广西梧州、崇左两市联考2015届高三上学期摸底数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择项：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M={x|（x+1）（x﹣3）＜0，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N等于（）
A． {0，1，2} B． {﹣1，0，1} C． {﹣1，0，2} D．{1，2，3}
考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解． 解答： 解：∵M={x|（x+1）（x﹣3）＜0，x∈R}={x|﹣1＜x＜3}，
N={﹣1，0，1，2，3}，
则M∩N={x|﹣1＜x＜3}∩{﹣1，0，1，2，3}={0，1，2}．
故选：A．
点评： 本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
2．（5分）已知复数z满足（1+i）z=2i，则z=（）
A． 1﹣i B． 1+i C． ﹣1﹣i D．﹣1﹣i
E． ﹣1+i
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 计算题．
分析： 利用复数的运算性质即可得出．
解答： 解：∵复数z满足（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）×2i，化为2z=2（i+1），∴z=1+i．
故选B．
点评： 熟练掌握复数的运算性质是解题的关键．
3．（5分）设向量，满足|+|=，||=1，||=2，则•等于（）
A． B． C． D．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 由条件把|+|=平方，可得•的值．
解答： 解：∴向量，满足|+|=，||=1，||=2，∴++2=6，即 1+4+2=6，
求得 =，
故选：D．
点评： 本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模的方法，属于基础题．
4．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）
A． y=±2x B． y=±x C． y=±x D．y=±x
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 2015届高考数学专题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 根据离心率公式e=，求出a，b的关系，继而得到渐近线方程． 解答： 解：因为双曲线的离心率公式e===，
∴=±2，
∵双曲线的渐近线方程为：﹣=0．
∴y=±
∴y=±2x．
故选：A．
点评： 本题考查双曲线的简单性质，求得是关键，考查分析、运算能力，属于中档题．
5．（5分）已知（1+ax）（1﹣x）2的展开式中x2的系数为5，则a等于（）
A． 1 B． ﹣1 C． 2 D．﹣2
考点： 二项式定理的应用．
专题： 计算题；二项式定理．
分析： 由题意可得展开式中x2的系数为前一项中常数项与后一项x的二次项乘积加上第一项x的系数与第二项x的系数乘积之和等于5，由此解得a的值．
解答： 解：已知（1+ax）（1﹣x）2=（1+ax）（1﹣2x+x2）
展开式中x2的系数为1﹣2a=5，解得a=﹣2，
故选D．
点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，注意运用分类法，属于中档题．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）
