授课主题：函数的性质
教学目标
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；
4.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；
5.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
教学内容
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个
自变量的值x1，x2
当x1 就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1 f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (4)若f(x＋a)＝－ 1 f(x) ，则函数的周期为2a； (5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|； (6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|； (7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|； (8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a； (9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a. 8．掌握一些重要类型的奇偶函数 (1)函数f(x)＝a x＋a－x为偶函数，函数f(x)＝a x－a－x为奇函数； (2)函数f(x)＝ a x－a－x a x＋a－x ＝ a2x－1 a2x＋1 (a>0且a≠1)为奇函数； (3)函数f(x)＝log a b－x b＋x 为奇函数； (4)函数f(x)＝log a(x＋x2＋1)为奇函数． 判断函数奇偶性的方法 1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式： f(－x) f(x) ＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性． 3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0. 4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： 考点一确定函数的单调性(区间) 【例1】(1)(2018·河南中原名校质检)函数y＝log 1 2 (－x2＋x＋6)的单调增区间为() A.???? 1 2，3 B.? ? ? ? －2， 1 2 C.(－2，3) D.? ? ? ? 1 2，＋∞ 解析由－x2＋x＋6>0，得－2 令t＝－x2＋x＋6，则y＝log 1 2 t是减函数， (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【训练】 (1)(2016·北京卷)函数f (x )＝x x －1 (x ≥2)的最大值为________. (2)(一题多解)(2018·石家庄模拟)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝? ????a ，a ≤b ， b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ， 则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________. 解析 (1)易得f (x )＝x x －1＝1＋1 x －1 ， 当x ≥2时，x －1>0，易知f (x )在[2，＋∞)上是减函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝1＋1 2－1＝2. (2)法一 在同一坐标系中， 作函数f (x )，g (x )图象， 依题意，h (x )的图象如图所示. 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1. 法二 依题意，h (x )＝? ????log 2x ，0 －x ＋3，x >2. 当0 考点三 函数单调性的应用(多维探究) 命题角度1 比较函数值或自变量的大小 【例3－1】 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ????－1 2，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c 解析 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ????－12＝f ??? ?5 2. 当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c . 方法技巧 1．利用函数奇偶性转移函数值的策略 将待求的函数值利用f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)转化为已知区间上的函数值求解．见角度1典例． 2．利用函数奇偶性求解析式的策略 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．见角度2典例． 3．利用函数的奇偶性求解析式中参数值的策略 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到含有待求参数的关于x的恒等式，由恒等性得到关于待求参数满足的方程(组)并求解．见角度3典例． 4．函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．见角度4典例． (2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．见角度2典例． (3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． 【冲关针对训练】 1．(2017·河南模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为() A．4 B．－4 C．6 D．－6 答案 B 解析 2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 C 解析∵f(x)是奇函数， ∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2 考点六 函数的周期性及应用 【例6】(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >1 2时， f ????x ＋12＝f ??? ?x －1 2.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 方法点拨：本题综合利用奇偶性、周期性求解． 答案 D 解析 当x >1 2时，由f ????x ＋12＝f ????x －12可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D. 【例7】已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (2017)＝________. 方法点拨：综合利用奇偶性、周期性求解． 答案 2 解析 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数． 由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，所以f (x )是周期T ＝8的偶函数，所以f (2017)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝2. 方法技巧 函数周期性的判定与应用 1．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．见典例1. 2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．见典例2. 【冲关针对训练】 1．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)等于( ) A ．336 B ．339 C ．1678 D ．2012 答案 B 解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝6. 1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4] D ．[1,3] 答案 D 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.故选D. 2．(2017·河南测试)已知函数f (x )＝ln (2x ＋4x 2＋1)－22x ＋1 ，若f (a )＝1，则f (－a )＝( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．－3 答案 D 解析 令g (x )＝ln (2x ＋4x 2＋1)，则g (－x )＋g (x )＝ln (－2x ＋4x 2＋1)＋ln (2x ＋4x 2＋1)＝ln 1＝0，所以函数g (x )是奇函数，则f (－a )＝g (－a )－2×2a 1＋2a ＝－g (a )－2×2a 1＋2a .又f (a )＝g (a )－2 2a ＋1，两式相加，得f (－a )＋f (a )＝－ 2×(2a ＋1)1＋2a ＝－2.又f (a )＝1，所以f (－a )＝－3.故选D. 3．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________． 答案 (－1,3) 解析 ∵f (2)＝0，f (x －1)>0，∴f (x －1)>f (2)， 又∵f (x )是偶函数，∴f (|x －1|)>f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴|x －1|<2，∴－2 4．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0 ?－5 2＋f (1)＝________. 答案 －2 解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )， 又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0， 令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0. 又∵f ????－52＝f ????－12＝－f ????12＝－41 2＝－2. ∴f ??? ?－5 2＋f (1)＝－2. 一、选择题
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