初一数学整式的加减能力提升专题突破练习题2（探索规律 附答案）
1．已知整数a 1、a 2、a 3、a 4、……满足下列条件：a 1＝－1，a 2＝－11a +，a 3＝－22a +，a 4＝－33a +，……，a n+1＝－an n +（n 为正整数）依此类推，则a 2019的值为（ ） A ．－1007
B ．－1008
C ．－1009
D ．－1010
2．按图示的方法,搭1个三角形需要3根火柴棒,搭2个三角形需要5根火柴棒,依此类推,若搭m 个三角形需2019根火柴棒,则m =
A ．1008
B ．1009
C ．1010
D ．1011
3．下列图案均是用相同的小正方形按一定的规律拼成：拼第1个图案需1个小正方形，拼第2个图案3个小正方形，…．，依此规律，拼第6个图案需小正方形（ ）个．
A ．15
B ．21
C ．24
D ．12
4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、16、……这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．按下列图示中的规律，请写出第9个等式_____．
5．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，S 1+S 2+S 3+S 4+…+S 2017＝_____．
6．如下图，用同样大小的黑白两种颜色的正方形纸片，按一定规律拼成的一系列图案，则第n个图案中含有白色纸片____张.
7．阅读并计算填写以下等式
（1）22-21=2；23-22=22；24-23=______；25-24=______；…………2n-2n-1=______．
（2）请你根据以上规律计算22018-22017-22016-…-23-22+2
8．张华发现某月的日历中一个有趣的问题，他用笔在上面画如图所示的十字框，若设任意一个十字框里的五个数为a、b、c、d、k．设中间的一个数为k，如图：试回答下列问题：（1）此日历中能画出个十字框？
（2）若a+b+c+d=84，求k的值；
（3）是否存在k的值，使得a+b+c+d=108，请说明理由．
9．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
……
（1）计算＝；
（2）探究＝；（用含有n的式子表示）
（3）若的值为，求n的值．
9．在一次数学社团活动中，指导老师给同学们提出了以下问题：
问题：有67张卡片叠在一起，按从上而下
．．．．的顺序先把第一张拿走，把第二张放到底层，然后把第三张拿走，再把第四张放到底层，如此进行下去，直至只剩最后一张卡片．问仅剩的
这张卡片是原来
．．的第几张卡片？
由于卡片数量较多，指导老师建议同学们先对较少的张数进行尝试，以便熟悉游戏规则并发现一些规律！请你也试着在草稿纸上进行试验，填写相应结果：
（1）起初有2张卡片，按游戏规则最后剩下的卡片是原来的第张；
（2）起初有4张卡片，按游戏规则最后剩下的卡片是原来的第张；
（3）起初有8张卡片，按游戏规则最后剩下的卡片是原来的第张.
（4）根据试验结果进行规律总结，直接判断若起初有64张卡片，最后剩下的卡片是原来的第张.
回到最初的67张卡片情形，请你给出答案并简要说明理由.
10．在生活中，人们经常通过一些标志性建筑确定位置，在数学中往往也是这样．
（1）将正整数如图1的方式进行排列：
小明同学通过仔细观察，发现每一行第一列的数字有一定的规律，所以每一行第一列的数字可以作为标志数，于是他认为第七行第一列的数字是，第7行、第5列的数字
是．
（2）方法应用
观察下面一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…并将这列数按照如图2方式进行排列：按照上述方式排列下去，
问题1：第10行从左边数第9个数是；
问题2：第n行有个数；（用含n的代数式表示）
问题3：数字2019在第行，从左边数第个数．
11．如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；
（1）填表：
剪的次数 1 2 3 4 5
正方形个数
（2）如果剪n次，共剪出多少个小正方形？
（3）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？
（4）观察图形，剪了n次，小正方形的边长为原来的，面积是原来的
答案： 1．D
根据条件求出前几个数的值，再分n 是奇数时，结果等于
1
2
n ，n 是偶数时，结果等于2
2
n ，然后求a 2019的值即可． 解：a 1＝?1，
a 2＝?|a 1＋1|＝?|?1＋1|＝0， a 3＝?|a 2＋2|＝?|0＋2|＝?2， a 4＝?|a 3＋3|＝?|?2＋3|＝?1， a 5＝?|a 4＋4|＝?|?1＋4|＝?3， a 6＝?|a 5＋5|＝?|?3＋5|＝?2，…， 所以，n 是奇数时，a n ＝12n ，n 是偶数时，a n ＝2
2
n ， ∴a 2019＝
20191
10102
，
故选：D ． 2．B
易得第1个图形中火柴的根数为3，得到其余图形中火柴的根数在3的基础上增加几个2，利用这一规律得到通项公式，代入即可求解． 解：∵一个三角形需要3根火柴， 2个三角形需要3+2=5根火柴， 3个三角形需要3+2×2=7根火柴，…
m 个三角形需要3+2（m-1）=（2m+1）根火柴． 由2m+1=2019 解得m=1009
所以有2019根火柴棒，可以搭出这样的三角形1009个． 故选：B ． 3．B
设拼第n 个图案需要a n 个小正方形（n 为正整数），观察图形，根据各图案中小正方形个数的变化可得出变化规律“a n ＝
（n 为正整数）”，再代入n ＝6即可求出结论．
解：设拼第n 个图案需要a n 个小正方形（n 为正整数），
观察图形，可知：a 1＝1，a 2＝1+2，a 3＝1+2+3，a 3＝1+2+3+4，…， ∴a n ＝1+2+3+…+n ＝（n 为正整数），
∴a 6＝＝21．
故选B ． 4．100=55+45
观察图象中点的个数的规律有第一个图形是4＝22＝1+2+1，第二个图形是9＝32＝1+2+3+2+1，第三个图形是16＝42＝1+2+3+4+3+2+1，…则按照此规律得到第9个图形的规律即可．
解：∵第1个图形是4＝22＝1+2+1， 第2个图形是9＝32＝1+2+3+2+1， 第3个图形是16＝42＝1+2+3+4+3+2+1，…
∴第9个图形是102＝（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+3+2+1）＝55+45． 故答案为：100＝55+45． 5．1﹣
2017
12
根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解． 解：由题意可知，S 1＝
1
2
， S 2＝212， S 3＝312
，
…， S 2017＝
2017
12，
剩下部分的面积＝S 2017＝
2017
12
，
所以，S 1+S 2+S 3+…+S 2017＝
12+212+312+…+201712
设S=
12+212+312+…+20171
2
① 则
12
S=212+312+…+20181
2②
①-②得S ＝1﹣2017
12
，
故答案为：1﹣2017
1
2
6．3n+1
依据图形找出其中的规律，即第n 个图案中一共有白纸片5n-（2n-1）=3n+1（张） 解：第一个图案中共有白纸片4张，即5×1-1； 第二个图案中共有白纸片7张，即5×2-3； 第三个图案中共有白纸片10张，即5×3-5； …
∴第n 个图案中共有白纸片5n-（2n-1）=3n+1张． 故答案为：3n+1. 7．（1）23，24，2n ；（2）6
（1）根据规律可得公式2n+1-2n =2n （2-1）=2n ；
（2）根据规律以此类推可得出：22018-22017-22016-…-23-22+2的值．
解：（1）观察可得22-21=2；23-22=22；24-23=23；25-24=24；…………2n -2n-1=2n ． 故答案为：23，24，2n （2）∵2n+1-2n =2n （2-1）=2n ∴22018-22017-22016-…-23-22+2 =22017-22016-…-23-22+2 =22016-…-23-22+2 =22+2 =6．
8．（1）12；（2）k=21；（3）不存在k 的值，使得a+b+c+d=108，理由见解析. 分析：（1）直接利用已知图表分析得出符合题意的位置；
（2）利用日历中数据之间的关系进而得出k的值；
（3）利用日历中数据之间的关系进而分析得出答案．
解：（1）由题意可得：十字框顶端分别在：1，2，5，6，7，8，9，12，13，14，15，16一共有12个位置；
（2）由题意可得：设最上面为a，最左边为b，最右边为c，最下面为d，
则b=a+6，c=a+8，d=a+14，k=a+7，
故a+a+6+a+8+a+14=84，
解得：a=14，
则k=21；
（3）不存在k的值，使得a+b+c+d=108，
理由：当a+b+c+d=108，
则a+a+6+a+8+a+14=108，
解得：a=20，故d=34＞31（不合题意），
故不存在k的值，使得a+b+c+d=108
9．（1）原式=；
（2）原式=；
（3）经检验n=17是方程的根，n=17．
分析：(1)、根据简便计算法则得出答案；(2)、根据简便计算法则得出答案；(3)、根据题意得出关于n的方程，然后求出n的值.
解：(1)、原式=1－+－+－+－+－=1－=
(2)、原式=1－+－+－++－=1－=
(3)、原式=×(1－+－+－++－)=×(1－
)==
解得：n=17
10．（1）2；（2）4；（3）8；（4）第6张
解：（1）根据上述操作，起初有2张卡片，按游戏规则最后剩下的卡片是原来的第二张；（2）根据上述操作，先拿走了第一张，再拿走了第三张，然后拿走了第二张，最后剩下的卡片是原来的第四张；
（3）按游戏规则最后剩下的卡片是原来的第八张；
（4）根据试验结果进行规律总结，当卡片个数N=2a时，剩下的一定是第2a张，直接判断若起初有64=26张卡片，最后剩下的卡片是原来的第64张.
当N=2a+M时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2（N-2a）张．
回到最初的67张卡片情形卡片个数N=26+3,所以剩下的这种卡片为原来的6张. 11．（1）49，45；（2）﹣90；2n﹣1；45，83．
分析：（1）找出规律第n行第一列的数字为n2，即可得出结果；（2）找出规律每一行最末的数字的绝对值是行数的平分，所有数取绝对值后是连续的正整数，所有数中奇数为正整数、偶数为负整数；问题1：第9行最末的数字的绝对值是81，第10行从左边数第9个数的绝对值是81+9＝90，因偶数为负整数，故第10行从左边数第9个数是﹣90；问题2：由每行数的个数为1，3，5，7…；则第n行有2n﹣1个数；问题3：由2019＝442+83，即可得出结果．
解：（1）∵每一行第一列的数字为该行的平分，
即第n行第一列的数字为n2，
∴第七行第一列的数字是：72＝49，
第5列的数字是：49﹣4＝45，
故答案为：49，45；
（2）由题意得：每一行最末的数字的绝对值是行数的平分，所有数取绝对值后是连续的正整数，所有数中奇数为正整数、偶数为负整数，每行数的个数为：1，3，5，7…；
问题1：∵第9行最末的数字的绝对值是81，
∴第10行从左边数第9个数的绝对值是81+9＝90，
∵偶数为负整数，
∴第10行从左边数第9个数是﹣90；
问题2：∵每行数的个数为：1，3，5，7…；
∴第n行有2n﹣1个数；
问题3：∵2019＝442+83，
∴数字2019在第45行，从左边数第83个数；
故答案为：﹣90；2n﹣1；45，83．
73．（1）正方形个数4,7,10,13,16；（2）（3n+1）个；（3）301个；（4）1
2n
；2
1
()
2n
.
分析：根据题意可以发现：每一次剪的时候，都是把上一次的图形中的一个进行剪．依次多
3个，继而解答各题即可．
解：1）填表如下：
（2）如果剪了n次，共剪出m=3n+1个小正方形；
（3）如果剪了100次，共剪出3×100+1=301个小正方形；
（4）最初正方形纸片为1，则剪n次后，最小正方形的边长为：1
2n，面积是原来的
2
1
()
2n