2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练(三十二)等差数列及其前n项和 (1)

课时跟踪练(三十二)

A组 基础巩固

1．[一题多解]已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于( )

A．－1 B．－2 C．－3 D．－4

解析：法一 由题意可得a1＋（a1＋6d）＝－8，a1＋d＝2，

解得a1＝5，d＝－3.

法二 a1＋a7＝2a4＝－8，所以a4＝－4，

所以a4－a2＝－4－2＝2d，所以d＝－3.

★答案★：C

2．[一题多解](2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )

A．100 B．99

C．98 D．97

解析：法一 因为{an}是等差数列，设其公差为d，

所以S9＝92(a1＋a9)＝9a5＝27，所以a5＝3.

又因为a10＝8，所以a1＋4d＝3，a1＋9d＝8，所以a1＝－1，d＝1.

所以a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C.

法二 因为{an}是等差数列， 所以S9＝92(a1＋a9)＝9a5＝27，所以a5＝3.

在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.

故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C.

★答案★：C

3．(2019·太原模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a3＋a10＝9，则S9＝( )

A．3 B．9 C．18 D．27

解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

因为a2＋a3＋a10＝9，

所以3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝3，

所以a5＝3，

所以S9＝9×（a1＋a9）2＝9×2a52＝27.故选D.

★答案★：D

4．(2019·汕头模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，S99－S55＝－4，则Sn取最大值时的n为( )

A．4 B．5 C．6 D．4或5

解析：由{an}为等差数列，得S99－S55＝a5－a3＝2d＝－4，即d＝－2， 由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>112，又因为n∈N*，

所以Sn取最大值时的n为5，故选B.

★答案★：B

5．(2019·合肥质量检测)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )

A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤

解析：用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，

由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，

所以8a1＋8×72×17＝996，

解得a1＝65.

所以a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤．故选B.

★答案★：B

6．在等差数列{an}中，公差d＝12，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________．

解析：因为S100＝1002(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝0.9.a1＋a99＝a1＋a100－d＝0.4，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝502(a1＋a99)＝502×0.4＝10.

★答案★：10

7．(2019·莆田质量检测)已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，则a6＝________．

解析：将an－an＋1＝2anan＋1两边同时除以anan＋1可得1an＋1－1an＝2.

所以1an是以1a1＝1为首项，2为公差的等差数列，

所以1a6＝1a1＋5×2＝11，即a6＝111.

★答案★：111

8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________．

解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝89，因此S100＝10S10＋10×92d＝10×16＋10×92×89＝200.

★答案★：200 9．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

则an＝a1＋(n－1)d.

由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，

解得d＝－2.

从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.

(2)由(1)可知an＝3－2n，

所以Sn＝n[1＋（3－2n）]2＝2n－n2.

由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，

即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.

又k∈N*，故k＝7.

10．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.

(1)求a及k的值；

(2)设数列{bn}的通项公式bn＝Snn，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

(1)解：设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，

由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋k（k－1）2·d＝2k＋k（k－1）2×2＝k2＋k.

由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，

解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.

(2)证明：由(1)得Sn＝n（2＋2n）2＝n(n＋1)，

则bn＝Snn＝n＋1，

故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，

即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，

所以Tn＝n（2＋n＋1）2＝n（n＋3）2.

B组 素养提升

11．(2019·河南普通高中毕业班高考适应性考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且an＝2n＋λ，若数列{Sn}(n≥5，n∈N*)为递增数列，则实数λ的取值范围为( )

A．(－3，＋∞) B．(－10，＋∞)

C．(－11，＋∞) D．(－12，＋∞)

解析：在等差数列{an}中，由an＝2n＋λ，得a1＝2＋λ，d＝2，所以Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n(2＋λ)＋2n（n－1）2＝n2＋(λ＋1)n，其图象的对称轴方程为n＝－λ＋12，要使数列{Sn}在{n|n≥5，n∈N*}内为递增数列，则－λ＋12<112，即λ>－12，故选D.

★答案★：D

12．设数列{an}的前n项和为Sn，若SnS2n为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为( )

A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1

C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋1

解析：设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，SnS2n＝k，因为b1＝1，则n＋12n(n－1)d＝k2n＋12×2n（2n－1）d，

即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，

整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.

因为对任意的正整数n上式均成立，

所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，

解得d＝2，k＝14，

所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.

★答案★：B

13．(2019·中山一中统测)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．

解析：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， 所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.

因为Sn≠0，所以1Sn－1Sn＋1＝1，即1Sn＋1－1Sn＝－1.

又1S1＝－1，所以1Sn是首项为－1，公差为－1的等差数列．

所以1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－1n.

★答案★：－1n

14．(2019·北京海淀区模拟)已知{an}是各项为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且4Sn＝(an＋1)2.

(1)求a1，a2的值及{an}的通项公式；

(2)求数列Sn－72an的最小值．

解：(1)因为4Sn＝(an＋1)2，

所以当n＝1时，4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，

所以当n＝2时4(1＋a2)＝(a2＋1)2，

解得a2＝－1或a2＝3，

因为{an}是各项为正数的等差数列，所以a2＝3.

所以{an}的公差d＝a2－a1＝2，

所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.

(2)因为4Sn＝(an＋1)2，所以Sn＝（2n－1＋1）24＝n2， 所以Sn－72an＝n2－72(2n－1)＝n2－7n＋72＝n－722－354，

所以当n＝3或n＝4时，Sn－72an取得最小值－172.

感谢您的下载!

快乐分享，知识无限！

由Ruize收集整理！