直线参数方程t的几何意义
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利用直线参数方程t的几何意义
1、直线参数方程的标准式
(1)过点P0(00,yx)，倾斜角为的直线l的参数方程是
sincos00tyytxx （t为参数）t的几何意义：t表示有向线段PP0的数量，P(yx,)
P0P=t ∣P0P∣=t 为直线上任意一点.
(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，
则P1P2=t2－t1 ∣P1P2∣=∣t 2－t 1∣
(3) 若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3
则P1P2中点P3的参数为t3＝221tt,∣P0P3∣=221tt
(4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t2<0
2、直线参数方程的一般式
过点P0(00,yx)，斜率为abk的直线的参数方程是
btyyatxx00 （t为参数）
点击直线参数方程：
一、直线的参数方程
问题1：（直线由点和方向确定）
求经过点P0(00,yx)，倾斜角为的直线l的参数方程.
设点P(yx,)是直线l上任意一点，（规定向上的 y0P0P(yx,)
Q 方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过
P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点.
1)当PP0与直线l同方向或P0和P重合时，
P0P＝|P0P| 则P0Q＝P0Pcos Q P＝P0Psin
2)当PP0与直线l反方向时，P0P、P0Q、Q P同时改变符号
P0P＝－|P0P| P0Q＝P0Pcos Q P＝P0Psin 仍成立
设P0P＝t，t为参数，
又∵P0Q＝0xx， 0xx＝tcos
Q P＝0yy ∴ 0yy=t sin
即sincos00tyytxx是所求的直线l的参数方程
∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线l上从已知点P0(00,yx)到点
P(yx,)的有向线段的数量，且|P0P|＝|t|
①当t>0时，点P在点P0的上方；
②当t＝0时，点P与点P0重合；
③当t<0时，点P在点P0的下方；
特别地，若直线l的倾斜角＝0时，直线l的参数方程为00yytxx
④当t>0时，点P在点P0的右侧；
⑤当t＝0时，点P与点P0重合； y0P(yx,) P0Q
y0P0P(yx,) ⑥当t<0时，点P在点P0的左侧；
问题2：直线l上的点与对应的参数t是不是一
对应关系？
我们把直线l看作是实数轴，
以直线l向上的方向为正方向，以定点P0
为原点，以原坐标系的单位长为单位长，
这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了
一一对应关系.
问题3：P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2 ，
则P1P2＝？，∣P1P2∣=？
P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣ t2－t1∣
问题4：若P0为直线l上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的
参数分别为t1、t2 ，则t1、t2之间有何关系？
根据直线l参数方程t的几何意义，
P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0为直线l
上两点P1、P2的中点，∴|P1P|＝|P2P|
P1P＝－P2P，即t1＝－t2, t1t2<0
一般地，若P1、P2、P3是直线l上的点，
所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点 y0P P0y0P1 P0P2 则t3＝221tt （∵P1P3＝－P2P3, 根据直线l参数方程t的几何意义，
∴P1P3= t3－t1, P2P3= t3－t2, ∴t3－t1=－(t3－t2,) ）
性质一：A、B两点之间的距离为||||21ttAB，特别地，A、B两点到0M的距离分别为.|||,|21tt
性质二：A、B两点的中点所对应的参数为221tt，若0M是线段AB的中点，则
021tt，反之亦然。
在解题时若能运用参数t的上述性质，则可起到事半功倍的效果。
应用一：求距离
例1、直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，且与圆722yx相交于A、B两点。
（1）求弦长AB.
（2）求AP0和BP0的长。
应用二：求点的坐标
例2、直线l过点)4,2(0P，倾斜角为6，求出直线l上与点)4,2(0P相距为4的点的坐标。
应用三：解决有关弦的中点问题
例3、过点)0,1(0P，倾斜角为4的直线l和抛物线xy22相交于A、B两点，求线段AB的中点M点的坐标。
