层次分析法计算公式

层次分析法权重计算步骤：

针对上节中假设的判断矩阵A:

nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211

根法的计算步骤如下：

（1）计算判断矩阵A中每一行元素的乘积：

niamijjt2,1,1

（2）计算mi的n次方根；

niimw

（3）对向量TnwwwW,,,21进行归一化处理

niiiiwww1

得到的权重，就是要求解的权重向量，w1 w2 ……wn，就是每个元素对应的权重值。

矩阵一致性的检验方法：

（1）计算一致性指标（consistency index）

1maxnnCI

其中最大特征根max的计算公式为：

niiiwAw1maxn1

（2）查找相应的平均随机一致性指标RI

n

1 2 3 4 5 6

RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24

（3）平均一致性CR

RICICR

当CR小于0.1时，认为判断矩阵A的一致性可以接受，否则需要对判断矩阵进行一定的修正。

用层次分析法计算权重

一、本文概述

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法，由美国运筹学家T.L.Saaty教授于20世纪70年代提出。该方法通过构建一个层次结构模型，将复杂问题分解为多个组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总的排序。层次分析法在权重计算中具有广泛的应用，包括项目管理、资源分配、风险评估、产品选择等各个领域。本文将详细介绍层次分析法的原理、步骤及其在权重计算中的应用，帮助读者更好地理解和应用这一方法。

二、层次分析法基本原理

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量相结合的决策分析方法，由美国运筹学家T.L.Saaty在20世纪70年代初期提出。这种方法将复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按照支配关系分组形成递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总的排序。层次分析法适用于存在多目标、多准则、多方案的系统评价、决策、预测等问题，尤其适用于那些难以完全用定量方法解决的复杂问题。

分解原理：将复杂的问题分解为若干个相对简单的子问题，这些子问题称为元素或因素。每个元素都对应一个具体的评价准则或决策目标。

比较原理：通过两两比较的方式确定元素之间的相对重要性。比较的结果以数值形式表示，通常使用1-9标度法，其中1表示两个元素同等重要，9表示一个元素比另一个元素极端重要，中间值表示不同等级的重要性。

合成原理：根据元素之间的相对重要性，通过合成运算得到元素的整体重要性排序。合成运算通常采用加权求和的方法，权重由元素之间的相对重要性决定。

层次分析法(AHP)

AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。

AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。

一、递阶层次结构的建立

一般来说，可以将层次分为三种类型：

（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。

（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。

（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。

典型的递阶层次结构如下：

m

一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：

（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。

（2）整个结构不受层次限制。

（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。

（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。

二、构造比较判断矩阵

设有m个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m个目标两两进行比较，把第i个目标（i=1,2,…,m）对第j个目标的相对重要性记为aij，(j=1,2,…,m)，这样构造的m阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(aij)m×m。 总目标 Satty于1980年根据一般人的认知习惯和判断能力给出了属性间相对重要性等级表（见表4-4）。利用该表取aij的值，称为1-9标度方法。

层次分析法

一、层次分析法简介

美国运筹学家Saaty于20世纪70年代初提出了著名的层次分析法(Analytic

Hierarchy Process简称AHP)。层次分析法是将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法具有系统、灵活、简洁的优点。

运用层次分析法建模来解决实际问题，可按如下五个步骤：

步骤l 定义问题，确定目标

步骤2从最高层(目标层)，通过中间层(准则层)到最低层(方案层)构成一个层次结构模型

步骤3 两两比较打分，确定下层对上层的分数

准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。引用数字1-9及其倒数作为标度来定义判断矩阵A=(aij)n×n (见表1)。

表1 判断矩阵标度定义

标度含义 含义

l 表示两个因素相比，具有相同重要性

3 表示两个因素相比，前者比后者稍重要

5 表示两个因素相比，前者比后者明显重要

7 表示两个因素相比，前者比后者强烈重要

9 表示两个因素相比，前者比后者极端重要

2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值

倒数 若因素i与因素j的重要性之比为aij，那么因素j与因素i重要性之比为1aij

步骤4 层次合成计算

步骤5 一致性检验

1)计算一致性指标CI(consmtency index)

CI=λmax−nn−1

其中，λmax为判断矩阵的最大特征值。

2)查找一致性指标RI(见表2)

表2 平均随机一致性指标

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

RI 0 O O.52 0．89 1．12 1.24 1.36 1.41 1．46 1．49 1．52 1．54 1．56 1．58

3)计算一致性比例CR(consistency ratio)

CR=CIRI