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第五章 定积分本章重点: 1 定积分计算: 1.用牛一莱公式2.用“特性”(奇偶对称)3.分段函数的定积分 2 积分上限函数求导及应用3 定积分计算中应注意的问题第一节．定积分的概念与性质教学内容和重点: 1 理解定积分定义 2 掌握性质和几何意义 一. 定积分的引入1. 数学上: 求曲边梯形的面积 ① 曲边梯形 ② 面积的求法ⅰ分割 ⅱ近似 ⅲ 求和 ⅳ 取极限i x ∆既表示第i 个小区间,也表示长度. A=01lim ()ni i f i x λξ→=∆∑max{}i x λ=∆2.物理上: ① 作变速直线运动的路程. V(t) [1,2T T ] ② 求法: S=01lim ()ni i i V t λξ→=∆∑③ 分析: ⅰ 含义不同,但处理的方法完全一样 ⅱ 式子均为特定和式结构的极限 二. 定积分的概念1. Def: 设f(x)在[a,b]上有界(有界才有极限) 若01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑ ∃,则称01lim ()()nb i ia i f x f x dx λξ→=∆⎰∑2. 定积分存在的两个充分条件① 若f(x)∈C[a,b]⇒()baf x dx ⎰∃ (f(x)在[a,b]上可积)② 若f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点(非无穷,振荡)(工类的)⇒()ba f x dx ∃⎰3. 几个注意的问题① 定积分∃,对任意分法和任意取法都成立⇒采取特殊的分法,取法(比如等分) ② 0n λ→→∞等分③ 定积分的值,只与f(x)和积分区间[a,b]有关,与积分变量无关()()()b b baaaf x dx f u du f t dt ==⎰⎰⎰④ 定积分的几何意义1.()0().()2.()0()3.()()b a bb aabaf x A f x dx f x dx f x A f x dxf x f x dx -⎧>⇒=⎪⎪<⇒=+⎨⎪⎪⇒⎩⎰⎰⎰⎰面积有正有负是面积的代数和5. 定积分定义的应用① 利用几何意义来求定积分 如:04π=⎰221y x y =+= 如:设x ∀∈[a,b],有f(x)>0,f ’(x)>0,f ”(x)<0,则()()f b b a ->()b a f x dx ⎰>()()()2f a f b b a +->()()f a b a -大小顺序如何? S 曲梯>S 梯>S 矩 ② 求特定和式数列的极限如: 求111lim()12n n n n n→∞++⋅⋅⋅++++作等分:101111111lim lim lim ()11nn i n n n i i f dx i n i n n x nξ→∞→∞→∞=====〉=+++∑∑∑⎰ =[㏑(1+x)]10=㏑2 (在12,1之间) ③ 用定义求定积分 (等分 令i i x ξ=) 如:1lim lim (12)nbian n i b a b a b a b a b axdx x a a a n n n n n n→∞→∞=-----==++++⋅⋅⋅++∑⎰=lim((12))n b a b ana n n n→∞--+++⋅⋅⋅+=2(1)()lim()()122n b a b a n n b a na b a a n n →∞--+-+=-+ =221()2b a - 事实上:2221()22bb aax xdx b a ==-⎰三. 定积分的性质:1. 假设可积.2. 所求等式性质 a,b 大小无关系.3. 不等式性质要求上限必须大于下限4. 一个规定,6个性质 ① 规定: ⅰ()0aa f x dx =⎰ⅱ()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰ 0i x ∆<② 性质: ⅰ 线性性质. [()()]baf xg x dx ±⎰. ()kf x dx ⎰ⅱ 积分曲间可加性. ()bcbaacf x dx =+⎰⎰⎰注: ⑴c 可在a,b 之间,也可在a,b 之外⑵bcdebaac de=+++⎰⎰⎰⎰⎰ⅲ 1b adx b a =-⎰ (几何面积为b-a)ⅳ 保号性: 若[,]x a b ∀∈,有()0f x ≥()0ba f x dx ⇒≥⎰(b>a)推论: ⑴[,]x a b ∀∈,有()()()()bbaaf xg x f x dx g x dx ≤⇒≤⎰⎰⑵()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰ⅴ 估值性质: 设()[,],()m f a b f M x x ≤≤∈()()()bbaam b a f x dx Mdx M b a -≤≤=-⎰⎰ⅵ 积分中值定理: 设()[,]f x C a b ∈ ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由介值定理: ()[,]f a b ξξ∈∃其中，至少 几何意义: ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰S 曲梯=S 矩③ 定积分的应用——例题分析例1． 比较积分值的大小ⅰ 1100xdx ⎰⎰与㏑（1+x ）dx > (㏑(1+x)<x<1x e -ⅱ 21⎰㏑xdx 与21⎰㏑2xdx > (㏑x<1)例2． 估计积分值ⅰ 52414(1sin )x dx ππ-+⎰ ⅱarctan xdx（251sin 44x ππ+在，上连，必有最值）551224444ππππππ=-≤⋅⋅⋅≤-=（）（）例3．设()[0,1]0()1f x C f x ∈≤<且. 试证：1lim ()0n n f x dx →∞=⎰证明：1lim ()lim ()(10)0n n n n f x dx f ξ→∞→∞=-=⎰ex ：P233.1 6 (1.4)。
定积分知识点汇总在微积分学中，定积分是一个基本概念。
它是将一个区间上的函数的值乘以这个区间的长度进行求和的过程。
在这篇文章中，我们将详细介绍定积分的相关知识点，包括定义、性质、计算方法以及一些重要的定理。
一、定积分的定义定积分的定义是将一个连续函数$f(x)$在某个区间$[a, b]$上的面积或体积表示出来的过程。
这里我们主要探讨二维平面内的定积分。
在数学语言中，定积分的定义可以写作：$\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Del ta x$其中$n$表示将区间$[a, b]$等分成$n$份，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$表示每份长度。
$x_i$是第$i$份区间的中间点，即$a+(i-\frac{1}{2})\Delta x$。
$\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$表示的是矩形的面积之和，$\lim_{n\rightarrow\infty}$表示将矩形的数量趋近于无穷大。
最后的定积分即两个端点为$a$和$b$的函数$f(x)$的积分。
二、定积分的性质1. 线性性$\int_a^b[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]dx=c_1\int_a^bf_1(x)dx+c_2\int_a^ bf_2(x)dx$2. 区间可加性$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$3. 积分中值定理如果$f(x)$在$[a, b]$上是连续的，则存在一个$c\in[a, b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。
其中$c$称为积分中值。
4. 牛顿-莱布尼茨公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数（即$F'(x)=f(x)$）。
三、定积分的计算方法1. 分段函数对于分段函数$f(x)$，我们需要将其分段拆分并分别进行计算。
第五章 定积分Chapter 5 Definite Integrals5.1 定积分的概念和性质（Concept of Definite Integral and its Properties ）一、定积分问题举例（Examples of Definite Integral ）设在()y f x =区间[],a b 上非负、连续，由x a =，x b =，0y =以及曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。
Let ()f x be continuous and nonnegative on the closed interval [],a b . Then the regionbounded by the graph of ()f x , the x -axis, the vertical lines x a =, and x b = is called the trapezoid with curved edge.黎曼和的定义（Definition of Riemann Sum ）设()f x 是定义在闭区间[],a b 上的函数，∆是[],a b 的任意一个分割，011n n a x x x x b -=<<<<=，其中i x ∆是第i 个小区间的长度，i c 是第i 个小区间的任意一点，那么和()1niii f c x =∆∑，1i i i xc x -≤≤称为黎曼和。
Let ()f x be defined on the closed interval [],a b , and let ∆ be an arbitrary partitionof [],a b ,011n n a x x x x b -=<<<<=, where i x ∆ is the width of the i th subinterval. Ifi c is any point in the i th subinterval, then the sum()1niii f c x =∆∑，1i i i xc x -≤≤,Is called a Riemann sum for the partition ∆.二、定积分的定义（Definition of Definite Integral ） 定义 定积分（Definite Integral ）设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<<<<=，把区间[],a b 分成n 个小区间：[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-，221x x x ∆=-，…，1n n n x x x -∆=-。
第五章定积分Chapter 5 Definite Integrals5.1 定积分的概念和性质( Concept of Definite Integral and its Properties )一、定积分问题举例( Examples of Definite Integral )设在y = f x区间[a,b 1上非负、连续，由x = a , x=b , y =0以及曲线y二f x所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。
Let f x be continuous and nonnegative on the closed interval 〔a,bL Then the region bounded bythe graph of f x , the x -axis, the vertical lines x 二a, and x = b is called the trapezoid with curved edge.黎曼和的定义(Definition of Riemann Sum)设f x是定义在闭区间l.a,b 1上的函数，厶是l.a,b 1的任意一个分割，a=冷：：：X i ：：： | || :::人」：：：x n = b，其中Ax是第i个小区间的长度，G是第i个小区间的任意一点，那么和nZ f (Cj)A x，x iJL^c 兰洛i V称为黎曼和。
Let f x be defined on the closed interval !a,b l, and let : be an arbitrary partition of l.a,b I,a =怡：％III ex*」vx n =b, where A x is the width of the i th subinterval. If c i is any point in the i th sub in terval, the n the sumnJ f ( c H x i ，x i —x i ,i TIs called a Riema nn sum for the partiti on二、定积分的定义( Definition of Definite Integral )定义定积分(Definite Integral)设函数f x在区间！a,b丨上有界，在〔a,b丨中任意插入若干个分点a =怡：::为：：：川：:：人4 ::: X n =b，把区间'a,b 1 分成n个小区间：仪0必1, I.x1,x2 1JH, l-x n4,x n],各个小区间的长度依次为二咅=%-乂0，二屜=灭2-為，…，^X n^Xn-xn/。
