《量子力学》题库
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一、 简答题
1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为：
ων ==h E
k n h
p ==?λ
其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。 2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？ 答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。 3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。
答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。 4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211??ψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1?和
2?为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。试说明式子
2211??ψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。 答：2211??ψc c +=的含义是：当粒子处于1?和2?的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1?态，又处于2?态。或者说，当1?和2?是体系可能的状态时，它们的线性
叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1?、2?中。
在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为2
1c 和
2
2c 。
5 什么是定态？定态有什么性质？
答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。
6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？
答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。 两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对称性，将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。
7 试简述波函数ψ的标准条件。
答：波函数在变量变化的全部区域内应满足三个条件：有限性、连续性和单值性。
8 为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？
答：因为所有力学量的数值都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，所以表示力学量的算符的本征值必须是实数。厄米算符的本征值必定是实数。所以表示力学量的算符必须是厄米算符。 9 请写出微扰理论适用条件的表达式。
答：1)
0()0('<<-m
n mn E E H ， ())
0()0(m n E E ≠ 10 试简述微扰论的基本思想。 答：复杂的体系的哈密顿量
分成
与
两部分。
是可求出精确解的，而
可看
成对
的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得
到接近问题真实的近似解。
11 简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵循的统计规律是什么？
答：由电子、质子、中子这些自旋为
2 的粒子以及自旋为2
的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi) －狄拉克 (Dirac) 统计，称为费米
子。
12 通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？一般情况
下，这种态所属的能级有什么特点？ 答：束缚态，能级是分立的。
13 简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（要求写出本征函数系）。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？
答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。例
如，0]?
,?[2=z L L ，这两个算符有共同的完备本征函数系{
}),(?θm Y 。 14 若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是否可以同时具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？
答：不可能同时具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。 15 请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 答：1'±=-=?l l l
1,0'±=-=?m m m
16 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
① 222
4dx d x ； ② []2
； ③ ∑=n
K 1
解：①2
2
2
4dx d x 是线性算符
2
22
2212221222
2
2112222211222
44 )(4)(4)(4 u dx
d
x c u dx d x c u c dx d x u c dx d x u c u c dx d x ?+?=+=+ ②[]2 不是线性算符
2
222112
2
222121212122211]
[][ 2][ u c u c u c u u c c u c u c u c +≠++=+ ③∑=n
K 1是线性算符
∑∑∑∑∑=====+=+=+N
K N K N K N K n
K u c u c u c u c u c u c 1
221
111
221
111
2211
17 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
22
4 dx
d dx d i dx d ，， 不是厄米算符，，当解：dx
d
dx
dx d
dx dx d
dx dx d dx dx d x dx dx
d dx dx d
*)( *)( * *
0 * * *
-∴≠-=-=∴→→±∞→-=??????∞∞-∞∞-∞∞-∞
∞-∞∞-∞∞∞
∞-φψφψφψφψφψφψφψφψ
是厄米算符dx
d
i dx dx
d
i dx dx d i dx dx d i i dx dx d
i
∴=-=-=????∞∞-∞∞-∞∞-∞∞∞
∞- *)( *)(
* * * -φψφψφψφψφψ 18 下列函数哪些是算符22
dx
d 的本征函数，其本征值是什么？
①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +
解：①2)(2
22=x dx
d
∴ 2
x 不是22
dx
d 的本征函数。
② x x
e e dx
d =22
∴ x
e 不是22
dx
d 的本征函数，其对应的本征值为1。
③x x dx
d
x dx d sin )(cos )(sin 22-==
∴ 可见，x sin 是22
dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
④)cos 3(cos 3)sin 3()cos 3(22x x x dx
d
x dx d --=-= ∴ x cos 3 是22
dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤)
cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x
x x x dx d x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22
dx
d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
是厄米算符
22
22
2
2
22
-224 *)4( *4 * 4*
4 *4 *4 *4 4* dx
d dx dx d dx dx d dx dx
d dx d dx dx d dx d dx
dx d dx d dx d dx dx d ∴=-=+=-=-=??????∞∞-∞
∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞
∞∞
∞-φψφψφψφψφψφψφψφψ
19 问下列算符是否是厄米算符：
①x p x
?? ②)????(2
1
x p p x x x + 解：①??=τψψτψψd p x d p x
x x )?(?)??(2*12*1 ??==τψψτψψd x p d p x
x x 2121*)??(?*)?（ 因为 x x p x p
???χ≠ ∴ x p x
?? 不是厄米算符。 ②???+=+τψψτψψτψψd x p d p x d x p p x x x x x 2*12*12*1)??(21)??(21)]????(21[ ??+=τψψτψψd p x d x p x x 2*12*1)??(21
)??(21 ?+=τψψd x p p x x x 2*1]))????(21[ ?+=τψψd p x x p x x 2*1])????(21
[ ∴ )????(21x p p x x x +是厄米算符。 20 全同粒子体系的波函数应满足什么条件？
答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。 二、 证明题
1 已知粒子在中心力场中运动，试证明x
L ?（角动量在x 方向的分量）是守恒量。
证：因为粒子在势函数为)(r U 的中心力场中运动时，哈密顿算答是
)(2222)(22?)(22??r r U r L r r r r U p H ++????-=+=μμμ
因为x L ?与θ、?有关而与r 无关，且0]?,?[2=L L x
所以，0]?,?[=H L x
2 试证：对于一维运动，设有两个波函数1ψ及2ψ是对应于同一级量E 的解，
则=-'12'
2
1ψψψψ常数。其中，“’”是对x 的微商。 证：因为)()()(2
2
2]2[x x x E U dx
d m ψψ=+- ，所以 21
'
'1/)(2 U E m --=ψψ 22
''2
/)(2 U E m --=ψψ 1
'
'11''1ψψψψ=
凑全微分得：0)(''12'
2
1=-ψψψψ 积分得： =-'12'
2
1ψψψψ常数 3 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：设1ψ和2ψ是对应于同一能级E 的不同本征态，则=-'12'
2
1ψψψψ常数。 在特例下，令=-'12'
2
1ψψψψ0，即 2
'2
1'1ψψψψ=
??+=C dx dx 2'
2
1'1ψψψψ
由此得：2'1ψψC = 所以1ψ和2ψ描述同一个态。
4 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。
证明：考虑一维情况
为厄密算符, 为厄密算符,为实数
为厄密算符为厄密算符
5 已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
证
。
是
的对应本征值为
的本征函数
是 的对应本征值为
的本征函数
6 .证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令
)]()()()([2 ]
)()()()([2 )
(2 )( )
()()(******r r r r m
i e r e r e r e r m
i m i J e
r t f r t r Et i Et i Et i Et i Et i
ψψψψψψψψψψ?-?=?-?=ψ?ψ-ψ?ψ===ψ-----）（）（，
可见t J 与 无关。
7 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d ψψψμ=+-
①
将式中的)(x x -以代换，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d -=--+--ψψψμ ② 利用)()(x U x U =-，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d -=-+--ψψψμ ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -?而得其对方，由①经x x -→反演，可得③，
)()( x c x ψψ=-? ④ 由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 )()( x c x -=?ψψ ⑤ ④乘 ⑤，得
)x ()x (c )x ()x ( 2-=-ψψψψ 可见，12=c 1±=c
当1+=c 时，)x ()x ( ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称， 当1-=c 时，)()( x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称，
当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 8 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0==θe er J J 2
sin m n e r m e J ψθ
μ?=
证：电子的电流密度为
)(2*
*m n m n m n m n e i e J e J ψψψψμ
?-?-=-= ?在球极坐标中为
?θθ?θ??
+??+??=?sin 11r e e r r e r 式中?θe e e r
、、为单位矢量
])sin 11( )sin 11([2*
*m n r m n m
n r m n e r e e r r e r e e r r e i e J e J ψ?
θθψψ?
θθψμ?
θ?θ??+??+??-??+??+??-=-=
)]sin 1sin 1()1 1()([2*
****
*m n m
n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n r r r e r r e r r e ie ψ?
ψθψ?ψθψθψψθ
ψψψψψμ?θ??-??+??-??+??-??-
=
m n ψ中的r 和θ部分是实数。
∴ ?ψψθμe im im r ie J m n m n e
)(sin 222---
= ?ψθ
μe r m e m n
2sin -=
可见，0==θe er J J 2
sin m n e r m e J ψθ
μ?-
=
9 如果算符βα
??、满足关系式1????=-αββα，求证 ①βαββα
?2????22=- ②233?3????βαββα
=- 证： ① αβαβαββα
??)??1(????2222-+=- αββαββ
??????22-+= αββαββ
??)??1(??22-++=
β
?2= ②αββαββαββα
???)???2(????3233-+=- αββαββ
??????2322-+= αβαβββ
??)??1(??2322-++= 2?3β
= 10 证明：i z y x =σσσ
??? 证：由对易关系z x y y x i σσσσσ?2????=- 及对易关系0????=+x y y x σσσσ ， 得 z y x i σσσ
???= 上式两边乘z σ
?，得 2????z z y x i σσσσ
= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ
??? 11 证明)
3()2()1(,,S S S χχχ和A χ组成的正交归一系。 证：)]()([)]()([22/112/122/112/1)
1()1(z z z z S S
S S S S χχχχχχ++= )()()()(22/112/112/122/1z z z z S S S S χχχχ++= )()(22/122/1z z S S χχ+= = 1
)]()([)]()([22/112/122/112/1)
2()1(z z z z S S S S S S --++=χχχχχχ
)()()()(22/112/112/122/1z z z z S S S S --++=χχχχ= 0
)]
()()()([)]()([2
1
22/112/122/112/122/112/1)3()1(z z z z z z S S S S S S S S χχχχχχχχ--+++??
=
)]
()()()( )()()()([2
1
22/112/112/122/122/112/112/122/1z z z z z z z z S S S S S S S S χχχχχχχχ-++-++++
= ]0)()([2
1
22/122/1+=
-+z z S S χχ= 0
同理可证其它的正交归一关系。
)]
()()()([)]()()()([2
1
22/112/122/112/122/112/122/112/1)3()3(z z z z z z z z S S S S S S S S S S χχχχχχχχχχ--+--++??
+= )]()([)]()([21
22/112/122/112/1z z z z S S S S -+-=χχχχ
)]()([)]()([21
12/122/122/112/1z z z z S S S S -+-+χχχχ
)]()([)]()([21
12/112/112/122/1z z z z S S S S -+-+χχχχ
)]()([)]()([21
12/122/112/122/1z z z z S S S S -+-+χχχχ
121
0021=+++=
12 对于无限深势阱中运动的粒子（如图所示）证明
2
a
x =
）（）（22226112πn a x x -=- 并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。 [解]写出归一化波函数：
()a
x n a x n πsin 2=
ψ （1） 先计算坐标平均值：
xdx a
x
n a xdx a x n a xdx x a a
a
）（??
?-==ψ=020
2
2cos 11sin 2ππ
利用公式：
2
sin cos sin p px p px x pxdx x +-
=? （2） 得 2
cos sin cos p px p px x pxdx x +-
=? （3） 22cos 22sin 2210
2
2
a
a x n n a a x n x n a x a x a
=??? ??-??? ??-=
ππππ 计算均方根值用()
x x x x x ，）（2
22
-=-以知，可计算2x
dx a
x n x a dx a x n x a dx x x a a
）（???
-==ψ=02222
2
2
2cos 11sin 2ππ 利用公式 px p
px x p px x p pxdx x sin 1
cos 2sin 1cos 3222-+=
? （5） a
a x n x n a a x n n a x n a x a x 0
2
2222
2cos
222sin 22311πππππ???? ??-??????????? ??--= 2
22223πn a a -= ()
2
22222
2
2223??
? ??--=-=-a n a a x
x x x π）（ 2
22
2212πn a a -= （6） 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度a
1=
ω。 2
10
a xdx a xdx x a
a ===?
?ω 3
12
20
2a dx x a x a
==?
()
2
22222
2
2
223??
?
??--=-=-a n a a x
x x x π）（ 故当∞→n 时二者相一致。
13 设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[]
.2)(,2hipf q f p q =
（证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q
[]qf p f qp fq p f qp
f p q 2222
2
,-=-=
f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-=
（2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=
（证明）同前一论题
)(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-= （3）ihfp p q f q 2])(,[2=
[证明]同前一题论据：
fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2
hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)(
hifp hifp p pq qp f 2)(=+-= （4）i
f p i
h q f p p 22)](,[=
[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式
i
f i
h q f p =
)](,[ dq df f i ≡)(
)(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-=
i
f p i
h f p p 22],[=
= （5）p pf i
h p q pf p i
=
])(,[ （证明）论据同（4）：
p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-=
p pf i
h i
=
（6）2
2])(,[p f i
h p q f p i =
（证明）论据同（4）：
2
2222)(],[p f i
h p fp pf fp pfp fp p i =
-=-= 14 设算符A ，B 与它们的对易式[A ，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
重复运算n-1次以后，得
15 证明
是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。 另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式： 前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
16 定义A B B A B A ????]?,?[+≡+
（反对易式）证明： B C A B A C A C B C B A C B A ?]?,?[]?,?[??]?,?[]?,?[?]??,?[+
+++-+-= +
++=]?,?][?,?[2
1]?,?[]?,?[21]??,??[B A b a B A b a B b A a 其中a
?，b ?与A ?，B ?对易。 （证明）第一式等号右方
B A
C B C A A B C B A C A B C A C B B C A C B A
????????????????????????--++--+= ]??,?[??????C B A A C B C B A
=-= ＝第一式等号左方 第二式等号右方)?
???)(????(2
1)????)(????(21A B B A a b b a A B B A a b b a +-+-+=
)????????????????????????????????(2
1A B a b B A a b A B b a B A b a A B a b B A a b A B b a B A b a
--++-+-=
A B a b B A b a
????????-=
因a
?，b ?与A ?，B ?对易，b A A b ????=，a B B a ????= 前式]??,??[????????B b A a A a B b B b A a
=-= 17 证明力学量A
?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2
2
2
H H A A dt
d -= （H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A
? 不显含t ，有
]?
,?[1H A i dt A d
= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量
]?
,?[1H A i
的平均值，则有： ]?
],?,?[[1]?],?,?[1[12
22H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2 即得待证式。
18 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：设1ψ和2ψ是对应于同一能级E 的不同本征态，则=-'12'
21ψψψψ常数。在特例下，令=-'12'
2
1ψψψψ0，即 2
'2
1'1ψψψψ=
??+=C dx dx 2'
2
1'1ψψψψ
由此得：2'1ψψC = 所以1ψ和2ψ描述同一个态。
19 证明泡利矩阵满足关系i z y x =σσσ。
【证】.
20 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。
证明：考虑一维情况
为厄密算符, 为厄密算符,为实数
为厄密算符为厄密算符