习题解答
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过（ 1，7）的流线方程为： x 2 y 2 1 49 48 即 y 2 - x 2 48
EXIT的表达式为V x 2 2xy 2y2， y 2 2xy 常数, 求速度分量的表达式。
由流线方程 y 2xy 常数 解：
1 1 j i j 4 2 2 2 2 x 4x y 2xy
3 Vt V t 2
3 1 1 3 3 Vt Vt t i j i j 2 2 2 2 2
EXIT
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3-13 设不可压流动的流函数为 3x 2 y y 3 ，问是否有位函数存在？ 如有，求出位函数。
EXIT
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2-2 直角坐标系中，流场速度分 量的分布为 u 2 xy 2 , v 2 x 2 y ， 试证过点（ 1， 7）的流线方程为 y 2 x 2 48。 解： 由流线微分方程
dx dy u v
dx dy ， xdx ydy 2 2 2xy 2x y 积分后得到 x2 y2 c
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1-1 气瓶容积 0.15m3 ，在３０３Ｋ时，瓶中氧气的压力是 5 106 Pa
，求气瓶中氧气的重量。 解： p RT
R
R 8.315N s/(mol K) 259.84375m2 /(s 2 K) Mr 0.032kg/mol
p 5 106 N / m 2 3 63 . 506kg / m RT 259.84375m2 /(s2 K) 303K
求微分， 2ydy 2xdy 2ydx 2ydx (2x 2y )dy 0
dx dy ， u c( x,y) ( x y)，v c( x, y) y xy y
V u 2 v 2 c 2 ( x, y ) ( x 2 2xy 2y 2 ) x 2 2xy 2y 2
( x, y )
( 0, 0 )
udx vdy
2 2
( x, y )
( 0, 0 )
(3 x 2 3 y 2 )dx 6 xydy
( x, y ) ( x,0)
( x,0)
( 0, 0 ) x
(3x 3 y )dx 6 xydy
2 y 0
(3x 2 3 y 2 )dx 6 xydy
c( x,y) 1
u x y u x y 或 v y v y
EXIT
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2-6 在不可压流中，下列哪几个流动满足质量守恒条件？
(b) u x 3 sin y, v 3x 2 cos y k (d ) V 2 , x 2 y 2 常数 r
切向速度分量 Vt V t t
V
EXIT
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把 x 2，y 1代入，得
2 V i j ( x -2 x-y)i (-x 2 y ) j i 4 j x y
2 x t i 4 2 2 x 4x y
5.25588
ph / ph ' 1.03665
产生差别的主要原因是因为压强梯度与密度成正比，而气体的密度与 温度有关，在本题中的温度与标准大气的温度随高度的变化规律不同。
EXIT
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2-1 什么是流线、流管？ 流线和迹线有什么区别？
解：流场中有一条曲线，线上任何一点的切线方向均与占据该点的流 体质点速 度方向一致，这样曲线称为流线。
dp (gdy) gdy
dp g dy
由气体状态方程， 从而可以得到
p RT
dp gp dp gdy ， dy RT p RT
EXIT
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T=288.15K, R=287 m2 /(s2 · K), g=9.80665m/s2
ph gh dp g h ph ph RT dy ， e ， h 5000m 时， 0.55272 0 p RT p0 p0
解： (b)
u v 3x 2 sin y, 3x 2 sin y x y u v 6 x 2 sin y 0 x y
所以此流动不满足质量守恒条件。
EXIT
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(d ) 2 xdx 2 ydy 0 , dx dy , y x u c( x, y ) y , v c( x, y ) x V u 2 v 2 c ( x, y ) x 2 y 2 c ( x, y )
2 2 解： 6 y 6 y 0, 2 2 x y
有位函数存在
d udx vdy dx dy (3x 2 3 y 2 )dx 6 xydy y x 3x 2 dx 3d ( xy 2 )
积分得
x3 3xy 2
u ax
a为常数。求：
w 2az
（ 1）线变形率、角变形率； （ 2）流场是否有旋； （ 3）是否有速度位函数存在。
u v w 解： (1) x a, y a, z 2a x y z 1 w v 1 u w 1 v u 0 , 0 , y z x y 0 2 y z 2 z x 2 1 w v 1 u w 1 v u (2) x 0 , 0 , y z x y 0 2 y z 2 z x 2 0， 这是一个无旋流场，存 在速度位 (3) d udx vdy wdz axdx aydy - 2azdz 1 1 ax 2 ay 2 az 2 此处积分常数取0 2 2
v w k k 0 0 y z v w k k 2k 0 y z
所以在上面五种情况中，（1）、（ 2）和（4）可以代表不可压流动。
EXIT
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2-13 二维点涡诱导的无旋流场是否满足连续条件？ 解： 设点涡强度为Г，点涡的诱导速度为 Γ Vθ 2πr y u V cos 2 x 2 y 2 x v V sin 2 x 2 y 2
x
EXIT
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3 x 2-9 二维位流流场为 x 2 xy y 2 ，求曲线 3
x 2 y 4 上点（2，-1）处的切向速度分量。
解： 曲线 x 2 y -4, f ( x,y) x 2 y 4 0 切向单位向量
t fy f x2 f y2 i fx f x2 f y2 j x2 x4 4x2 y2 i 2xy x4 4x2 y2 j
3x dx 6 xydy x 3 3 xy 2
0
EXIT
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2-11 设下列几种函数分别代表流动的三个分速度：
(1) u kx, v ky , w 0； (2) u kx, v ky , w kx； (3) u kx, v ky , w kz； (4) u kx, v ky , w 2kz； (5) u kx, v ky , w kz。
p0
ph 0.55272p0 0.55272 1.013252 10 5 5.600 10 4 pa
相同高度下标准大气的压强为
288.15 0.0065 5000 ph ' p0 288.15 0.53313 1.013252 10 5 5.402 10 4 pa
2
k r2
k
3 2 2
(x y ) u c 3kxy y 5 x x 2 2 2 (x y ) v c 3kxy x 5 y y 2 2 2 (x y ) u v 0 x y
所以此流动满足质量守恒条件。
EXIT
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2-8 有不可压流作定常运动，其速度场为 v ay 式中
流管是在流场中通过一任意的非流线的封闭曲线上每一点作流线所
围成的管状面。 迹线是流体质点在空间运动的轨迹线。 迹线：同一质点不同时刻的轨迹线。迹线是流场中实际存在的。 流线：同一时刻，由不同流体质点组成的反映流场瞬时流速方向的 曲线。流线是假想的线。 在定常流中流线与迹线重合；不定常流中流线与迹线不重合。
其中 k是常数。问哪几种情况可以代表不可压 流动？ 解：(1) u v w k k 0 0 x y z
u x u v w u (3) k k k k (4) x y z x u v w (5) k k k 3k x y z (2)
p1 p 0 E
所以，
1 0 e
故，注入水的体积
V
P P 1 v 0 v V (e E 1) 0
1 0
带入相关数据（E=2100000，000 pa），得，
V 0.5m3
？0.3？
EXIT
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1-9 假设大气的温度是个常数，其值为288.15K，试求5000m高度处 的压强为多少？请将该压强值和相同高度下标准大气的对应值相 比 较，并解释产生差别的主要原因。 解：单位质量的彻体力是 f x 0，f y g，f z 0 由欧拉方程的综合形式有 所以
u 2 xy , x 2 ( x 2 y 2 ) 2 u v 0 x y v 2 xy y 2 ( x 2 y 2 ) 2
y
0
V
r
x
所以二维点涡诱导的无旋流场满足连续条件。
u(r, h) r
因为两盘之间液体的速度分布呈线性 关系，所以两盘之间液体的周向速度 分布为： n 摩擦应力 为：
