2023年全国中学生数学奥林匹克(贵州赛区)预赛试题
一、 填空题：本大题共8
小题，每小题8
分，满分64
分.
1.
设集合R = ｛(x,y)|x + y = l｝, B = ｛(x,y)|x' + *2 = 2｝,
C = 则集合C
的子集的个数
是.
2.
己知z
为虚数，且z1 =z ,则z'=.
3.
已知a, 3
是单位向量，|3a+4d|=|4a-3d|,
若|c|=2,
则\a+b-c\的最大值是,
4.
己知三棱锥P-ABC的三条侧"4, PB. PC
两两垂宜，设二面角P-AB-C, P-BC-A,
P-&-B
的大小分别为a,
们丫,则血？
三血/+血：乙=_____
cos'a+cos* 0 + cos"
5. MBC
的三边分别为a, b, c,
记BC,
CA , XB
边上的中线长分别为叫,虬,则
m： nC Q , 土口
-r+Tr+-f
的最小值是_______・
a' b" c
6.
设a, fteN*,
且满足」-?= 一二，则所有正整数对(a,
方)的个数为
a b 2023
7.
已知函数f(x) = xi-2x1-3x+4,若/(a)=/(/>)=/(c),
其中a
a2+b2+c2 =.
8.
己知5
名同学分则报长的学科为语文、数学、物理、化学、历史.现有5
份试卷(语文、数学、物
理、化学、历史各一份)，老师随机分发给每名同学一份试卷，则至少有4
名同学得到的试卷与自
己擅长的学科不符的概率是.
二、 解答题：本大题共3
小题，满分S6
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
9.
(本题滴分16
分)设｛%｝是正项等差数列，公差为d(d>0)
，前〃项和为S“，
m, 〃，p, q
均为正整数.若n< p
= p+g,
证明：
⑴财,
⑵ S.+S.Sp+Sq.
10.
(本题满分20
分)如图1,
设P
是四边形ABCD内…点，满足\ \\----- D
ABPC = 2/.BAC , ZPCA = /.PAD . /.PDA = APAC . \ /
2021年第5期39
缴
f奥.剜餘龜(263)
中图分类号:
G424.79 文献标识码
:A 文章编号：1005 - 6416(2021)05 - 0039 - 07
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.记^]表示不超过实数*的最大整数.
设为满足
■x^O
,
< r
^〇,
,x
+y
+ [«] + [y
] ^7
的点(U
)构成的区域.则区域《的面积为
2.将一张三边长分别为6、8、10的纸片沿三条中位线折起，使得三个顶点交于一点.
所得的四面体外接球的表面积为_____•
3•已知 a
:、y
、2 6 R
+且 x
+y+z
= l
.则
x
+ s/lxy
+3^/^"的最大值为______.
4.
设〜、x
2为关于6 C)
的方程
X2 -3sin
0'X + sin
20 + 1 = 0(0 ^[〇,
tt))
的两个根，且丨A
丨+丨工2丨=2•则0 =______.
5. 已知双曲线厂V
-y
2= 1上第一象限
内一点M
,过M
作厂的切线/，与厂的渐近
线交于两点（P
在第•象限），/?与
这表明，数列是递增的.
由式①，得 rs
+ s
- rmr
+ m
s.
因此，题目要证的结论成立.
3.注意到，
4x
4 +y
4 -z
+4xyz
=(4x
4 +y
4 +4rt
2y
2)- {Ax
2y
2 +z
2 -4xyz
)
=(2x
2 +y
2)2 - (2xy
-z
)2
= (2x
2+y
2 -2xy
+z
) (2x
2 -hy
2 +2xy
-z
).
A
= 2x
2 +y
2 - 2xy
+ z
,
B
= 2x
2 +y
2 + 2xy
- z
.
贝丨J
4 B
= 4尤2 + 2y
2.
若选取x
、y
的值，使得
A
- Ax
2 =4 x
52n
+ 2 ,B
= 2y
2 = 2 x
2ln,
则仙=2 x
102n+2
，其各位数字之和必等于2.
从而，取整数=5n
+
1，y
=22n，则
A
= Ax
2 <^> 2x
2 + y
2 - 2xy
+ z
= 4x
2
=> z
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叶军/编著
初升高数学（初级篇）
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第一册
湖南省高中理科实验班招生考试数学模拟试卷
学奥数会让你的孩子大脑变得更聪明
学奥数是为了提升孩子的学习战斗力
学奥数是为了提高孩子的未来竞争力
长沙天问培训学校 叶军/编著
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作者简介
叶军：男，1963年4月出生于湖南益阳，从事大学、中小学数学教育教学研究30余年。现任湖南师范大学数学课程教学论、数学奥林匹克教学方向硕士研究生导师，长沙天问培训学校校长。1994年被中国数学会数学奥林匹克委员会授予“中国数学奥林匹克高级教练员”荣誉称号，同年被湖南师范大学破格提升为数学副教授；1991-1994年任首届湖南省高中理科实验班总教练、省队总领队。在《数学通报》等省级刊物上发表论文100余篇，已出版的专著有《数学奥林匹克教程》、《初中数学奥林匹克实用教程》（共四册）等10多部；是湖南师范大学附中第34届IMO金牌获得者，第32届IMO银牌获得者的主要教练之一。在1988-2013年里，他培养的学生考入北京大学、清华大学的有80余人，特别是2010年全国高中联赛中，从长沙天问培训学校叶老师奥数精英班毕业的学生中，获省一等奖的有12人，获省二等奖的有7人，获省三等奖的有5人，其中徐楠同学以290分的成绩获全国第一名。在2011年中国数学奥林匹克冬令营中，徐楠、张天翼、欧阳盛以优异的成绩入选国家集训队；徐楠保送北京大学，欧阳盛、张天翼、屠节、徐长吉保送清华大学；在2012年高考中胡亚威同学以705分的优异成绩荣获湖南省高考理科状元。在2013年中国数学奥林匹克冬令营中，刘志暄、谌澜天、王若谷以湖南省前三名的成绩入选国家集训队。在2014年3月的国家队选拔考试中，谌澜天以全国第四名的成绩入选国家队，代表中国参加了2014年7月在南非举行的第55届世界中学生数学竞赛，并获得本届IMO数学金牌。
