绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A ｝，则A ∩B= （ ） （A ）｛0｝ （B ）｛－1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛－1，,0，1} 【答案】A 【解析】【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. （2）1＋2i(1－i)2＝ （ ） （A ）－1－12i（B ）－1＋12i（C ）1＋12i（D ）1－12i【答案】B 【解析】【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）12（B ）13（C ）14（D ）16【答案】B【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。
在高二数学（文）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2} 【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。
【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i +(-)＝( )．A.B ．11+i 2- C ． D ．【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。
【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。
【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．B ．C ．12y x =±D ．【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。
【解析】∵5e =5c a =2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴渐近线方程为12y x =±.故选C.5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q 【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。
2013年山东省某校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如果命题“￢(p 或q)”为假命题，则（ ）A p 、q 均为真命题B p 、q 均为假命题C p 、q 中至少有一个为真命题D p 、q 中至多有一个为真命题2. 下列函数图象中，正确的是（ ）A B C D3. 不等式|5−2x|<9的解集是（ ）A (−∞, −2)∪(7, +∞)B [−2, 7]C (−2, 7)D [−7, 2]4. 已知向量a →=(√3,1)，b →=(0,1)，c →=(k,√3)若a →+2b →与c →垂直，则k =( ) A −3 B −2 C 1 D −15. 已知倾斜角为α的直线l 与直线x −2y +2=0平行，则tan2α的值为( ) A 45B 34C 43D 236. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3=√2−1,a 5=√2+1，则a 32+2a 2a 6+a 3a 7＝（ ） A 4 B 6 C 8 D 8−4√27. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且2c 2=2a 2+2b 2+ab ，则△ABC 是（ ）A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 等边三角形8. 将函数y =sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y =sin(x −π6)的图象，则φ等于（ ） A π6B 5π6C 7π6D11π69. 设x ，y 满足{2x +y ≥4x −y ≥−1x −2y ≤2，则z ＝x +y( )A 有最小值2，最大值3B 有最小值2，无最大值C 有最大值3，无最小值D 既无最小值，也无最大值 10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的两条渐近线均与圆C:x 2+y 2−6x +5=0相切，则该双曲线离心率等于（ ） A √55 B √62 C 32 D3√5511. 设函数f(x)定义在实数集上，f(2−x)=f(x)，且当x ≥1时，f(x)=lnx ，则有( ) A f(13)<f(2)<f(12) B f(12)<f(2)<f(13) C f(12)<f(13)<f(2) D f(2)<f(12)<f(13)12. 已知点P 为△ABC 内一点，且PA →+2PB →+3PC →=0→，则△APB ，△APC ，△BPC 的面积之比等于（ ）A 9:4:1B 1:4:9C 3:2:1D 1:2:3二、填空题：（本大题共有4小题，每小题4分，共计16分）0≤x≤1 13. 若函数f(x)={(14)x ，−1≤x <04x，0≤x ≤1，则f(log 43)=________．14. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知a =√3，b =√2，B =45∘，则A =________．15. 已知点P 是抛物线y 2=4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4, a)，则当|a|>4时，|PA|+|PM|的最小值是________．16. 数列{a n }满足a 1=3，a n −a n a n+1=1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2013=________．三、解答题：（本大题共有6个小题，共74分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17. 已知集合A ={x|x 2−2x −8≤0}，集合B ={x|x 2−(2m −3)x +m 2−3m ≤0, m ∈R}，（1）若A ∩B =[2, 4]，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．18. 设函数f(x)=a →.b →，其中向量a →=(2cosx,1)，b =(cosx,√3sin2x)，x ∈R （1）求函数f(x)的单调减区间；（2）若x ∈[−π4，0]，求函数f(x)的值域．19. 已知{a n }是公比大于1的等比数列，a 1，a 3是函数f(x)=x +9x −10的两个零点． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =log 3a n +n +2，且b 1+b 2+b 3+...+b n ≥80，求n 的最小值． 20. 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)=13x 2+10x （万元）；当年产量不小于80千件时，C(x)=51x +10000x−1450（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√63，短轴一个端点到右焦点的距离为√3．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为√32，求△AOB 面积的最大值． 22.已知f(x)=x 2+ax −lnx ，(a ∈R )．(1)若a =0时，求函数y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程； (2)若函数f(x)在[1, 2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(3)令g(x)=f(x)−x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0, e]（e 是自然对数的底）时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．2013年山东省某校高考数学一模试卷（文科）答案1. C2. C3. C4. A5. C6. C7. A8. D9. B 10. D 11. C 12. C 13. 314. 60∘或120∘15. √a 2+9−1 16. −1 17. 解：（1）∵ A ={x|(x +2)(x −4)≤0}={x|−2≤x ≤4}=[−2, 4]， B ={x|(x −m)(x −m +3)≤0, m ∈R}={x|m −3≤x ≤m}=[m −3, m] ∵ A ∩B =[2, 4]， ∴ {m ≥4m −3=2，解得m =5( II)由（1）知C R B ={x|x <m −3, 或x >m}，∵ A ⊆C R B ，∴ 4<m −3，或−2>m ，解得m <−2，或m >7． 故实数m 的取值范围为(−∞, −2)∪(7, +∞)18. 解：（1）f(x)=a →.b →=2cos 2x +√3sin2x =√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1令π2+2kπ≤2x +π6≤3π2+2kπ，得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3，k ∈Z ，因此，函数f(x)的单调减区间是[kπ+π6, kπ+2π3]，k ∈Z ，（2）当x ∈[−π4，0]时，2x +π6∈[−π3, π6]．∴ 2sin(2x +π6)∈[−√32, 12]，得y =2sin(2x +π6)+1∈[−√3+1, 2]即函数f(x)在区间[−π4，0]的值域是[−√3+1, 2]．19. 解：（1）由f(x)=x +9x −10=0，得x 2−10x +9=0，解得x 1=1，x 2=9，∵ {a n }是公比q 大于1的等比数列，a 1，a 3是函数f(x)=x +9x −10的两个零点，∴ a 1=1，a 3=9，∴ 1×q 2=9，∴ q =3， ∴ a n =1×3n−1=3n−1． （2）∵ a n =3n−1，∴ b n =log 3a n +n +2=log 33n−1+n +2=2n +1，∴ b 1+b 2+b 3+...+b n =(2×1+1)+(2×2+1)+(2×3+1)+...+(2n +1) =2(1+2+3+...+n)+n =n(n +1)+n =n 2+2n ，∵ b 1+b 2+b 3+...+b n ≥80， ∴ n 2+2n ≥80，解得n ≥8，或n ≤−10（舍）， 故n 的最小值为8． 20. 解：（1）当0<x <80，x ∈N ∗时， L(x)=500×1000x 10000−13x 2−10x −250=−13x 2+40x −250当x ≥80，x ∈N ∗时，L(x)=500×1000x 10000−51x −10000x+1450−250=1200−(x +10000x)∴ L(x)={−13x 2+40x −250，(0<x <80,x ∈N ∗)1200−(x +10000x )，(x ≥80,x ∈N ∗)． （2）当0<x <80，x ∈N ∗时，L(x)=−13(x −60)2+950，当x =60时，L(x)取得最大值L(60)=950 当x ≥80，x ∈N ，∵ L(x)=1200−(x +10000x)≤1200−2√x ⋅10000x=1200−200=1000， ∴ 当x =10000x，即x =100时，L(x)取得最大值L(100)=1000>950．综上所述，当x =100时L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时， 该厂在这一商品的生产中所获利润最大．21. （1）设椭圆的半焦距为c ，依题意{ca =√63a =√3 ∴b =1，∴ 所求椭圆方程为x 23+y 2=1．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．（1）当AB ⊥x 轴时，|AB|=√3．（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =kx +m ． 由已知√1+k2=√32，得m 2=34(k 2+1)．把y =kx +m 代入椭圆方程，整理得(3k 2+1)x 2+6kmx +3m 2−3=0， ∴ x 1+x 2=−6km 3k 2+1，x 1x 2=3(m 2−1)3k 2+1．∴ |AB|2=(1+k 2)(x 2−x 1)2 =(1+k 2)[36k 2m 2(3k 2+1)2−12(m 2−1)3k 2+1]=12(k 2+1)(3k 2+1−m 2)(3k 2+1)2=3(k 2+1)(9k 2+1)(3k 2+1)2=3+12k 29k 4+6k 2+1=3+129k 2+1k2+6(k ≠0)≤3+122×3+6=4．当且仅当9k 2=1k 2，即k =±√33时等号成立．当k =0时，|AB|=√3，综上所述|AB|max =(2)∴ 当|AB|最大时，△AOB 面积取最大值S =12×|AB|max ×√32=√32． 22.解：(1)a =0时，函数y =f(x)=x 2−lnx ， ∴ f′(x)=2x −1x ，∴ f′(1)=1，又f(1)=1函数y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程x −y =0．(2) f ′(x)=2x +a −1x =2x 2+ax−1x≤0在[1, 2]上恒成立，令ℎ(x)=2x 2+ax −1，有 {ℎ(1)≤0ℎ(2)≤0，得 {a ≤−1a ≤−72，得a≤−72.(3)假设存在实数a，使g(x)=ax−lnx(x∈(0, e])有最小值3，g′(x)=a−1x=ax−1x①当a≤0时，在(0, e]上单调递减，g(x)min=g(e)=ae−1=3，a=4e（舍去），②当0<1a<e时，g(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a，e]上单调递增∴ g(x)min=g(1a)=1+lna=3，a=e2，满足条件．③当1a≥e时，g(x)在(0, e]上单调递减，g(x)min=g(e)=ae−1=3，a=4e（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x∈(0, e]时g(x)有最小值3．。
2013年山东省济宁市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合M ={x|x 2+2x −3≤0)，N ={x|−1≤x ≤4}，则M ∩N 等于（ ）A {x|1≤x ≤4}B {x|−1≤x ≤3}C {x|−3≤x ≤4)D {x|−1≤x ≤1} 2. 复数1+i2−i 表示复平面内的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 已知命题p:m 、n 为直线，α为平面，若m // n ，n ⊂α，则m // α；命题q ：若a >b ，则ac >bc ，则下列命题为真命题的是（ ） A p 或q B ¬p 或q C ¬p 且q D p 且q4. 设a ＝30.3，b ＝log π3，c ＝log 0.3e ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A a >b >c B c >b >a C b >a >c D c >a >b5. 将函数f(x)＝sin(2x +π6)的图象向右平移π6个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是（ ）A y ＝sin2xB y ＝cos2xC y ＝sin(2x +2π3) D y ＝sin(2x −π6)6. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V 1．直径为4的球的体积为V 2，则V 1:V 2=( ) A 1:4 B 1:2 C 1:1 D 2:17. 设实数x ，y 满足不等式组{x +y −11≤03x −y +3≤0x ≥0，则z =2x +y 的最大值为（ ）A 13B 19C 24D 298. 如图在程序框图中，若输入n =6，则输出k 的值是（ ）A 2B 3C 4D 59. 设a∈R，则“a=1”是“直线l1:ax+2y−1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件10. 已知函数f(x)=2x−2，则函数y=|f(x)|的图象可能是（）A B C D11. 已知椭圆方程为x24+y23=1，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为（）A √2B √3C 2D 312. 已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，若函数y=f(x+1)的图象关于直线x=−1对称，则f(2013)=()A 0B 2013C 3D −2013二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 已知等差数列{a n}中，a7=π4，则tan(a6+a7+a8)=________．14. 已知不等式|x+2|+|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．15. 圆心在原点，并与直线3x−4y−10=0相切的圆的方程为________．16. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13, 14)；第二组[14, 15)，…，第五组[17, 18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量a →=(cosx,4sinx −2)，b →=(8sinx,2sinx +1)，x ∈R ，设函数f(x)=a →⋅b →（1）求函数f(x)的最大值；（2）在△ABC 中，A 为锐角，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f(A)=6，且△ABC 的面积为3，b +c =2+3√2，求a 的值．18. 某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表示所示：为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人． （1）求三个社团分别抽取了多少同学；（2）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．19. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC ＝BC ，M ，N 分别是CC 1，AB 的中点．(Ⅰ)求证：CN ⊥AB 1；(Ⅱ)求证：CN // 平面AB 1M ．20. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n +1=2a n ，n ∈N ∗． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）在数列{a n }的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列：a n 和a n+1两项之间插入n 个数，使这n +2个数构成等差数列，其公差记为d n ，求数列{1d n}的前n 项的和T n ．21. 已知函数f(x)=lnx −12ax 2−2x ．(1)若函数f(x)在x =2处取得极值，求实数a 的值；(2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a =−12时，关于x 的方程f(x)=−12x +b 在[1, 4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．22. 椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点到直线x −3y ＝0的距离为√105，离心率为2√55，抛物线G:y 2＝2px(p >0)的焦点与椭圆E 的焦点重合；斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于A ，B ，与G 交于C ，D ．（1）求椭圆E 及抛物线G 的方程；（2）是否存在学常数λ，使1|AB|+λ|CD|为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．2013年山东省济宁市高考数学一模试卷（文科）答案1. D2. A3. B4. A5. D6. B7. A8. B9. A 10. B 11. C 12. A 13. −114. {a|a ≥2} 15. x 2+y 2=4 16. 2717. 解：（1）∵ 函数f(x)=a →⋅b →=8sinxcosx +(4sinx −2)(2sinx +1)=4sin2x −4cos2x +2=4√2sin(2x −π4)+2，∴ 函数f(x)的最大值为 4√2+2．（2）在△ABC 中，∵ A 为锐角，f(A)=6，∴ 4√2sin(2A −π4)+2=6，解得 sin(2A −π4)=√22， ∴ A =π4．∴ △ABC 的面积为3=12⋅bc ⋅sinA =√24bc ，∴ bc =6√2．再根据 b +c =2+3√2，可得 a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA =(b +c)2−2bc −2bc ×√22=10，∴ a =√10．18. 解：（1）设出抽样比为x ，则“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为：320x ，240x ，200x∵ 从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人∴ 320x−240x=2解得x=140故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为：8人，6人，5人（2）由（1）知，从“剪纸”社团抽取的同学共有6人，其中有两名女生，则从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，共有C62=15种不同情况；其中至少有1名女同学被选为监督职务的情况有C41⋅C21+C22=9种故至少有1名女同学被选为监督职务的概率P=915=3519. 证明：(Ⅰ)因为三棱柱ABC−A1B1C1中CC1⊥底面ABC，所以BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥CN．因为AC＝BC，N是AB的中点，所以CN⊥AB．因为AB∩BB1＝B，所以CN⊥平面AB B1A1．所以CN⊥AB1．（2）证法一：连接A1B交AB1于P．因为三棱柱ABC−A1B1C1，所以P是A1B的中点．因为M，N分别是CC1，AB的中点，所以NP // CM，且NP＝CM，所以四边形MCNP是平行四边形，所以CN // MP．因为CN⊄平面AB1M，MP⊂平面AB1M，所以CN // 平面AB1M．证法二：取BB1中点P，连接NP，CP．因为N，P分别是AB，BB1的中点，所以NP // AB1．因为NP⊄平面AB1M，AB1⊂平面AB1M，所以NP // 平面AB1M．同理CP // 平面AB1M．因为CP∩NP＝P，所以平面CNP // 平面AB1M．因为CN⊂平面CNP，所以CN // 平面AB1M．20. 解：（1）n =1时，s 1+1=2a 1，∴ a 1=1，… n ≥2时，又s n−1+1=2a n−1，相减得a n =2a n−1， ∵ {a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， 故a n =2n−1…（2）由（1）得a n+1=2n ， ∴ 2n =2n−1+(n +1)d n ，∴ d n =2n−1n+1，∴ 1d n=n+12n−1… ∴ T n =220+321+⋯+n 2n−2+n+12n−1，12T n =22+322+⋯+n 2n−1+n+12n，两式相减得：12T n =2+121+122+⋯+12n−1−n+12n=2+12(1−12n−1)1−12−n +12n=2+1−12n−1−n+12n，…∴ T n =6−n+32n−1．…21. 解：(1)f ′(x)=1x −ax −2=−ax 2+2x−1x(x >0)，∵ f(x)在x =2处取得极值，∴ f ′(2)=0， 即−a×22+2×2−12=0，解之得a =−34（经检验符合题意）.(2)由题意，得f ′(x)≥0在(0, +∞)内恒成立， 即ax 2+2x −1≤0在(0, +∞)内恒成立，∵ x 2>0，可得a ≤1−2x x 2在(0, +∞)内恒成立，∴ 由1−2x x 2=(1x−1)2−1，当x =1时有最小值为−1，可得a ≤−1， 因此满足条件的a 的取值范围为(−∞, −1]. (3)a =−12，f(x)=−12x +b ，即14x 2−32x +lnx −b =0.设g(x)=14x 2−32x +lnx −b(x >0)，可得g ′(x)=(x−2)(x−1)2x，列表可得：∴ g(x)min =g(2)=ln2−b −2，g(x)max =g(1)=−b −54.∵ 方程g(x)=0在[1, 4]上恰有两个不相等的实数根，且g(4)=2ln2−b −2，∴ {g(1)≥0，g(2)<0，g(4)≥0，解之得ln2−2<b ≤−54.22. 设E 、G 的公共焦点为F(c, 0)，由题意得√1+32=√105，ca=2√55． 联立解得c =2,a =√5,b =1． 所以椭圆E:x 25+y 2=1，抛物线G:y 2＝8x ．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)，D(x 4, y 4)．直线l 的方程为y ＝k(x −2)，与椭圆E 的方程联立{x 25+y 2=1y =k(x −2)，得(1+5k 2)x 2−20k 2x +20k 2−5＝0△＝400k 4−20(5k 2+1)(4k 2−1)＝20(k 2+1)>0． x 1+x 2=20k 21+5k 2,x 1x 2=20k 2−51+5k 2|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√5(k 2+1)1+5k 2． 直线l 的方程为y ＝k(x −2)，与抛物线G 的方程联立{y 2=8xy =k(x −2) ，得k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2＝0．x 3+x 4=4k 2+8k 2．|CD|=x 3+x 4+4=8(k 2+1)k 2．1|AB|+λ|CD|=22√5(k 2+1)+λk 28(k 2+1)=√5λ)k 28√5(k 2+1)．要使1|AB|+λ|CD|为常数，则20+√5λ=4，得λ=−16√55．故存在λ=−16√55，使1|AB|+λ|CD|为常数．。
