2013广东高考文科数学试卷及答案
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分. 在每小题给出的四
个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{}{}
22|20,,|20,S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈,则S
T =( )
A. {}0
B. {}0,2
C. {}2,0-
D. {}2,0,2-
【答案】A ;
【解析】由题意知{}0,2S =-,{}0,2T =,故{}0S
T =;
2. 函数()
lg 11
x y x +=
-的定义域是( )
A. ()1,-+∞
B. [)1,-+∞
C. ()()1,11,-+∞
D. [)()1,11,-+∞
【答案】C ; 【解析】由题意知10
10
x x +>??
-≠?,解得1x >-且1x ≠,所以定义域为()()1,11,-+∞;
3. 若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 【答案】D ;
【解析】因为()34i x yi i +=+,所以34xi y i -=+,根据两个复数相等的条件得:3y -=
即3y =-,4x =,所以x yi +43i =-,x yi +的模5==;
4. 已知51
sin 25
πα??+=
???,那么cos α=( ) A. 25-
B. 15-
C. 15
D. 25
【答案】C ; 【解析】51sin sin()cos ()cos()cos 22225ππππααααα????
+=+=-+=-==
???????
;
5. 执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 7 【答案】D ;
【解析】1i =时,1(11)1s =+-=;2i =时,1(21)2s =+-=;3i =时,
2(31)4s =+-=;4i =时,4(41)7s =+-=;
图1 图2
6. 某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是( )
A.
16 B. 13 C. 2
3
D. 1 【答案】B ;
【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形,高为2, 所以该三棱锥的体积111
112323
V =
????=; 7. 垂直于直线1y x =+且与圆2
2
1x y +=相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )
A. 20x y +-=
B. 10x y ++=
C. 10x y +-=
D. 20x y ++= 【答案】A ;
【解析】设所求直线为l ,因为l 垂直直线1y x =+,故l 的斜率为1-,设直线l 的方程为
y x b =-+,化为一般式为0x y b +-=;因为l 与圆相切22
1x y +=相切,所以圆心(0,0)
到直线l 的距离12
b -=
=,所以2b =±,又因为相切与第一象限,所以0b >,故2b =,
所以l 的方程为20x y +-=;
8. 设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A. 若//,//l l αβ,则//αβ
B. 若,l l αβ⊥⊥,则//αβ
C. 若,//l l αβ⊥,则αβ//
D. 若,l αβα⊥//,则l β⊥ 【答案】B ;
【解析】若α与β相交,且l 平行于交线,则也符合A ,显然A 错;若,//l l αβ⊥,则αβ⊥,故C 错;,l αβα⊥//,若l 平行交线,则//l β,故D 错; 9. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ,离心率等于
1
2
,则C 的方程是( ) A.
221
34x y += B. 2214x = C. 22142x y += D. 22
143x y +=
【答案】D ;
【解析】由焦点可知()1,0F 可知椭圆焦点在x 轴上,由题意知1
1,
2
c c a ==,所以
2,a b ==22
143
x y +
=; 10. 设a 是已知的平面向量且0a ≠,关于向量a 的分解,有如下四个命题:
① 给定向量b ,总存在向量c ,使a b c =+;
② 给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+;
③ 给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使a b c λμ=+; ④ 给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使a b c λμ=+.
上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D ;
【解析】因为单位向量(模为1的向量,方向不确定)和一个不为零的实数可以表示任何一个向量,由题意可知A,B,C,D 均正确;
二、 填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
11. 设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234a a a a +++=____________; 【答案】15;
【解析】由题意知11a =,22a =-,34a =,48a =-,所以;1234
a a a a +++
124815=+++=;
12. 若曲线2
ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴,则a =_____________;
【答案】
12
; 【解析】因为2
ln y ax x =-,所以12y ax x
'=-
,因为曲线2
ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴,所以1210x y a ='=-=,所以1
2
a =;
13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥??
-≤≤??≥?
,则z x y =+的最大值是_____________;
【答案】5;
【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1),(1,2),(1,1),(1,4)--,代入可知z 的最大值为145z =+=;
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,以极点为原点,
极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为___________________;
【答案】2
2
(1)1x y -+=;
【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=;所以2
cos 2cos 1cos 2x ρθθθ===+① ,sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②;①可变形得:cos21x θ=-③,②可变形得:
sin 2y θ=;由22sin 2cos 21θθ+=得:22(1)1x y -+=;
15. (几何证明选讲选做题)如图3,在矩形ABCD 中,3AB =,3BC =,BE AC ⊥,
垂足为E ,则ED =___________; 【答案】
212
; 【解析】因为在矩形ABCD 中,3AB =,3BC =,BE AC ⊥,所以0
30BCA ∠=,
所以0
3
cos3032
CE CB =?=
;在CDE 中,因为060ECD ∠=,由余弦定理得: ()
2
2
22203333121
2cos 603
232224
DE CE CD CE CD ??
=+-???=+
-?
??= ? ???
,所以21
CD =
;
三、 解答题:本大题共6小题,满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.
16. (本小题满分12分)
已知函数(),12f x x x R π?
?=
-∈ ??
?.
(1) 求3f π??
???
的值; (2) 若3cos 5θ=,3,22πθπ??∈ ???,求6f πθ?
?- ??
?.
【答案与解析】
(1)133124f ππππ????
=-===
? ?????
;
(2)因为3cos 5θ=,3,22πθπ??
∈ ???,所以4sin 5θ==-;
cos cos sin sin 6612333f ππππππθθθθθ???????-=--=-=+ ? ? ??
???????
314
525210?=?-?=???
;
17. (本小题满分12分)
从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[)90,95的频率;
(2) 用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个,其中重
量在[)80,85的有几个?
(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有
一个的概率;
【答案与解析】
(1)重量在[)90,95的频率20
0.450
=
=; (2)若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个,则重量在
[)80,85的个数5
41515=?=+;
(3)设在[)80,85中抽取的一个苹果为x ,在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c ,从抽出的4个苹果中,任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c a b a c b c 6种情况,其中
符合“重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c 种;设“抽
出的4个苹果中,任取2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ,则事
件A 的概率31
()62
P A =
=; 18. (本小题满分14分)
如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 上的点,AD AE =,
F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点
G . 将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥
A BCF -,其中22
BC =
. (1) 证明:DE BCF //平面; (2) 证明:CF ABF ⊥平面; (3) 当2
3
AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.
图4 图5
(1)证明:在图4中,因为ABC 是等边三角形,且AD AE =,所以
AD AE
AB AC
=,//DE BC ;
在图5中,因为//DG BF ,//GE FC ,所以平面DGE //平面BCF ,所以DE BCF //平面;
(2)证明:在图4中,因为因为ABC 是等边三角形,且F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥; 在图5中,因为在BFC 中
,1,2BF FC BC ==
=,所以222
BF FC BC +=,BF CF ⊥,又因为AF CF ⊥,所以CF ABF ⊥平面;
(3)因为,AF CF AF BF ⊥⊥,所以AF ⊥平面BCF ,又因为平面DGE //平面BCF ,所以AF ⊥平面DGE
;所以
1
1111113
323233F DEG DGE
V S
FG DG GE FG -=??=????=???=; 19. (本小题满分14分)
设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2*
1441,n n S a n n N +=--∈,且
2514,,a a a 构成等比数列;
(1)
证明:2a =
(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有
1223
11111
2
n n a a a a a a ++++
<. (1)证明:因为2*
1441,n n S a n n N +=--∈,令1n =,则212441S a =--,
即22145a a =+,
所以2a =
(2)当2n ≥时,()
()2
21144441411n n n n n a S S a n a n -+??=-=------??2214n n a a +=--, 所以22
1(2)n n a a +=+,因为{}n a 各项均为正数,所以12n n a a +=+;
因为2514,,a a a 构成等比数列,所以2
2145a a a ?=,即2222(24)(6)a
a a +=+,解得23a =,
因为2a =11a =, 212a a =+ ,符合12n n a a +=+,所以12n n a a +=+对
1n =也符合,所以数列{}n a 是一个以11a =为首项,2d =为公差的等差数列,
1(1)221n a n n =+-?=-;
(3)因为
111111
()(21)(21)22121
n n a a n n n n +==-+--+,所以
1223
1111111111111
()()()21323522121
n n a a a a a a n n ++++
=-+-+???+--+ 11111111111
2133521212121212
n n n n n ????=-+-+???-=-=< ? ?-+++????; 所以对一切正整数n ,有
1223
111
11
2
n n a a a a a a ++++
<. 20. (本小题满分14分)
已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为
设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.
(1) 求抛物线C 的方程;
(2) 当点()00,P x y 为直线l
上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l
上移动时,求AF
BF ?的最小值. 【答案与解析】
(1)因为抛物线焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为
2
所以2
d =
=
,又因为0c >,所以解得1c =,抛物线的焦点坐标为(0,1),所以抛物线C 的方程为2
4x y =;
(2)因为抛物线的方程为2
4x y =,即214y x =
,所以1
2
y x '=
,设过()00,P x y 点的切线l '与抛物线的切点坐标为21(,
)4
m m ,所以直线l '的斜率2
001142y m k m x m -==-,解得10m x =
20m x
=
A 点坐标为2111
(,)4
m m ,B 点坐标
为2221(,)
4
m m ==0=>,所以12m m ≠;2212
1201211114
4()42
AB m m k m m x m m -==+=-;
所以直线AB 的方程为210111()42y m x x m -
=-,代入整理得:01
2y x =; (3)A 点坐标为2111(,)4m m ,B 点坐标为2
221(,)4
m m ,F 点坐标为()0,1,因为
0020x y --=;所以100m x x =+=+
200m x x ==,1202m m x +=,12048m m x =-;因此
AF BF ?=
()22222222
12121212121211111111()1()2144164164m m m m m m m m m m m m ??????=++=+++=++-+ ?????????
()2
2220000001139(48)22(48)12692()16422
x x x x x x ??=
-+--+=-+=-+??,
所以当032x =时,AF BF ?取最小值9
2;
21. 设函数()()3
2
f x x kx x k R =-+∈.
(1) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;
(2) 当0k <时,求函数在[,]k k -上的最小值m 和最大值M . 【答案与解析】
(1) 因为()32
f x x kx x =-+,所以2
()321f x x kx '=-+;当1k =时,
2212
()3213()033
f x x x x =-+=-+>,所以()f x 在R 上单调递增;
(2) 因为2
()321f x x kx '=-+,2
2
(2)4314(3)k k ?=--??=-;
① 当0?≤时,即0k ≤<时,()0f x '≥,()f x 在R 上单调递增,此时无最小
值和最大值;
② 当0?>时,即k <令()0f x '=,解得x =
=
或263k k x --==;令()0f x '>,解得3k x -<或
x >;令()0f x '<,解得x <<;因为
033k k k ++<=<-
,2333
k k k
k ->=>
作()f x 的最值表如下: