2013广东高考文科数学试题及答案(完美版)
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1 2013广东高考文科数学试卷及答案
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合22|20,,|20,SxxxxRTxxxxR，则ST（ ）
A. 0 B. 0,2 C. 2,0 D. 2,0,2
【答案】A；
【解析】由题意知0,2S，0,2T，故0ST；
2. 函数lg11xyx的定义域是（ ）
A. 1, B. 1, C. 1,11, D. 1,11,
【答案】C；
【解析】由题意知1010xx，解得1x且1x，所以定义域为1,11,；
3. 若34ixyii，,xyR，则复数xyi的模是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D；
【解析】因为34ixyii，所以34xiyi，根据两个复数相等的条件得：3y即3y，4x，所以xyi43i，xyi的模224(3)5；
4. 已知51sin25，那么cos（ ）
A. 25 B. 15 C. 15 D. 25
【答案】C；
【解析】51sinsin()cos()cos()cos22225；
5. 执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 7
【答案】D；
2 【解析】1i时，1(11)1s；2i时，1(21)2s；3i时，2(31)4s；4i时，4(41)7s；
图1 图2
6. 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A. 16 B.
13 C.
23 D. 1
【答案】B；
【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2，
所以该三棱锥的体积111112323V；
7. 垂直于直线1yx且与圆221xy相切于第Ⅰ象限的直线方程是（ ）
A. 20xy B. 10xy C. 10xy D. 20xy
【答案】A；
【解析】设所求直线为l，因为l垂直直线1yx，故l的斜率为1，设直线l的方程为yxb，化为一般式为0xyb；因为l与圆相切221xy相切，所以圆心(0,0)到直线l的距离12b，所以2b，又因为相切与第一象限，所以0b，故2b，所以l的方程为20xy；
8. 设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若//,//ll，则// B. 若,ll，则//
C. 若,//ll，则// D. 若,l//，则l
【答案】B；
3 【解析】若与相交，且l平行于交线，则也符合A，显然A错；若,//ll，则，故C错；,l//，若l平行交线，则//l，故D错；
9. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为1,0F，离心率等于12，则C的方程是（ ）
A. 22134xy B. 22143xy C. 22142xy D. 22143xy
【答案】D；
【解析】由焦点可知1,0F可知椭圆焦点在x轴上，由题意知11,2cca，所以222,213ab，故椭圆标准方程为22143xy；
10. 设a是已知的平面向量且0a，关于向量a的分解，有如下四个命题：
① 给定向量b，总存在向量c，使abc；
② 给定向量b和c，总存在实数和，使abc；
③ 给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；
④ 给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.
上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D；
【解析】因为单位向量（模为1的向量，方向不确定）和一个不为零的实数可以表示任何一个向量，由题意可知A,B,C,D均正确；
二、 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11~13题）
11. 设数列na是首项为1，公比为2的等比数列，则1234aaaa____________；
【答案】15；
【解析】由题意知11a，22a，34a，48a，所以；1234aaaa
124815；
12. 若曲线2lnyaxx在点1,a处的切线平行于x轴，则a=_____________；
4 【答案】12；
【解析】因为2lnyaxx，所以12yaxx，因为曲线2lnyaxx在点1,a处的切线平行于x轴，所以1210xya，所以12a；
13. 已知变量,xy满足约束条件30111xyxy，则zxy的最大值是_____________；
【答案】5；
【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1),(1,2),(1,1),(1,4)，代入可知z的最大值为145z；
（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）
14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为2cos，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为___________________；
【答案】22(1)1xy；
【解析】因为曲线C的极坐标方程为2cos；所以2cos2cos1cos2x① ，sin2sincossin2y②；①可变形得：cos21x③，②可变形得：sin2y；由22sin2cos21得：22(1)1xy；
15. （几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，3AB，3BC，BEAC，垂足为E，则ED=___________；
【答案】212；
【解析】因为在矩形ABCD中，3AB，3BC，BEAC，所以030BCA，所以03cos3032CECB；在CDE中，因为060ECD，由余弦定理得：
22222033331212cos603232224DECECDCECD，所以212CD；
5 三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.
16. （本小题满分12分）
已知函数2cos,12fxxxR.
（1） 求3f的值；
（2） 若3cos5，3,22，求6f.
【答案与解析】
（1）22cos2cos21331242f；
（2）因为3cos5，3,22，所以234sin155；
2cos2cos2coscossinsin6612333f
314332462525210；
17. （本小题满分12分）
从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量） 80,85 85,90 90,95 95,100
频数（个） 5 10 20 15
（1） 根据频数分布表计算苹果的重量在90,95的频率；
（2） 用分层抽样的方法从重量在80,85和95,100的苹果中共抽取4个，其中重量在80,85的有几个？
（3） 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在80,85和95,100中各有一个的概率；
6 【答案与解析】
（1）重量在90,95的频率200.450；
（2）若采用分层抽样的方法从重量在80,85和95,100的苹果中共抽取4个，则重量在80,85的个数541515；
（3）设在80,85中抽取的一个苹果为x，在95,100中抽取的三个苹果分别为,,abc，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)xaxbxcabacbc6种情况，其中符合“重量在80,85和95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)xaxbxc种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在80,85和95,100中各有一个”为事件A，则事件A的概率31()62PA；
18. （本小题满分14分）
如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，,DE分别是,ABAC上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G. 将ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥ABCF，其中22BC.
（1） 证明：DEBCF//平面；
（2） 证明：CFABF平面；
（3） 当23AD时，求三棱锥FDEG的体积FDEGV.
图4 图5
（1）证明：在图4中，因为ABC是等边三角形，且ADAE，所以ADAEABAC，//DEBC；在图5中，因为//DGBF，//GEFC，所以平面DGE//平面BCF，所以DEBCF//平面；
