便捷的函数方法——运用函数法解答条件不等式

姆鼯　
解题技巧与方法　
便捷　数　蠢浚　
运用函数法解答条件不等式　
◎姚晓华　（邢台县皇寺中学　河北省　邢台县０５４００８）　
函数思想和方法重在揭示问题的数量关系的本质特　
征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联　系和发展角度进行思维．　在中学数学中，函数思想方法，主要体现在根据问题的　需要．构造函数模型，从而将所给问题转化为函数问题，利　用函数的性质（如单调性、奇偶性、同期性、图像、最值等）使　问题得以解决．下面就利用函数思想方法解决不等式问题　举出两例：　例１　设不等式ｍ　一２ｘ—ｍ＋１＜０对于满足ｌ　ｍ　ｌ≤２　的一切ｍ的值都成立，求　的取值范围．　从表面看，这是一个含参数ｍ（一２≤ｍ≤２）的关于　的一元二次不等式问题，实质上，本题通过变形化为关于ｍ　的一元一次不等式，且已知它的解集为［一２，２］，求参数　的取值范同．用分类讨论思想解法如下：　解原不等式可化为（　一１）ｍ＜２ｘ一１　①　（１）当　一１＝０即　＝±１时，式①成立的条件是２　一　１＞０，所以只有　＝１．　（２）当　一１＞０，即　＜一１或　＞１时，由式①得　２　一ｌ　，ｎ＜—：——一．　一１　它对一切Ｉ　ｍ　ｌ≤２都成立的充要条件是等　＞２．　，Ｘ２—１＞０　一　由此得不等式组｛　２解得１　ｃＬ　．　（３）当　一１＜０，即一１＜　＜１时，　由式①得，　＞　．　它对一切ｍ≤２都成立的充要条件是　＜一２．　ｒ　一１＜０，　由此得不等式组：｛　２解得二　ｔ　ｃ１．　Ｉ—　—一＜一Ｚ．　‘　综合（１）（２）（３）得　＜　＜Ｌ　．　从以上解法看比较繁琐，利用函数思想可非常容易得　出结论：　解设，（　）＝（　一１）ｍ一２　＋１（一２≤ｍ≤２）．　当一２≤ｍ≤２时，，（ｍ）＝（　一１）ｍ一２　＋１＜０恒成　立，依一次函数的单调性，当且仅当　｛　０’　１［　２ｘ　２．　一＋２ｘ　－一３　＞　０。．，　解得　＜　＜　．　．・．　的取值范围是（　，　）．　孽　。　．　．１＿　，０　●　两种解法对照，显而易见，构造函数法要简明得多．　构造函数法，揭示了两个变量之间的本质联系．即函数　
厂（　）＝（　一１）ｍ一２　＋１当自变量ｍ在［一２，２］上取值时　
对应的函数值＿厂（ｍ）都小于零（函数图像在　轴下方）．依据　

一
次函数的单调性，只要ｍ取两端点值时函数值，（２）和　
＿厂（一２）小于零，即满足题意，所以解不等式组　
即得出结论．　

例２　不等式　一÷　一２ｘ＋ｃ＜ｃ　对任意　∈［一ｌ，　

２］恒成立，求实数Ｃ的取值范围．　
这是一个求不等式中参系数问题，我们可通过构造函　
数，利用函数性质，将不等式转化得出结论．　
解原不等式即为　

３
一
÷　２—２　＜Ｃ２－Ｃ．　

设，（　）＝　３一÷　２—２　
题目即为当　ｅ［一１，２］时，，（　）＝　３一÷　２—２　＜　
ｃ　一ｃ恒成立，　
厂（　）＝３ｘ　一　一２＝（　一１）（３ｘ＋２）．　

由厂（ｘ）＝０得　＝１或　＝一寺・　
当　变化时，Ｙ　，Ｙ的变化情况如下表　
一
１　（　丁２）　２　／　２　１、　１　（１，２）　２　３　Ｉ　３　’‘／　

Ｙ　＋　Ｏ　０　＋　
Ｙ极值　１　２２　３　
单调性　２　２　２７　２　

从表中可知－厂（　）在［一１，２］上最大值为２．　
１　
使得ｆ（　）＝　。一÷　一２ｘ＜ｃ　一ｃ在　∈［一１，２］上恒　

‘　

成立的充要条件为Ｃ　一ｃ＞２解得ｃ＜一１或ｃ＞２．　

．
‘
．

ｃ的取值范围是（一。。，一１）ｕ（２，＋　）．　

两个例题，从表面看是两个不同题型，但均可采用函数　
思想解答．因为两个问题都反映两个变量间关系．例１是已　
知不等式中参系数ｍ的取值范围，求变量　的取值范围，将　
问题转化为已知函数定义域与函数值域，求待定系数　，不　
等式化归为关于ｍ的一次函数，利用一次函数单调性得解；　
例２是给定不等式中变量　的取值范围，求参系数Ｃ的取值　
范围，化归为函数后，求出函数在定义域内的最大值得关于　
ｃ的不等式，使问题得到解决．　
函数思想方法的应用十分广泛，在此只列举了两个含　
参数的条件不等式．利用函数思想将不等式化归为函数，然　
后利用函数的单调性，最值来处理，使问题解得简洁、明快、　
易懂．函数的伟大就在于此．　

数学学习与研究２０１５．１１