高中数学知识点总结(zǒngjié) 第六章不等式高中数学知识点总结(zǒngjié) 第六章不等式高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的根本(gēnběn)性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试(kǎoshì)要求：〔1〕理解不等式的性质(xìngzhì)及其证明．〔2〕掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．〔3〕掌握分析法、综合法、比拟法证明简单的不等式．〔4〕掌握简单不等式的解法．〔5〕理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│06.不等式知识要点1.不等式的根本概念〔1〕不等〔等〕号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.〔2〕不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.〔3〕同向不等式与异向不等式.〔4〕同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的根本性质〔1〕abba〔对称性〕〔2〕ab,bcac〔传递性〕〔3〕abacbc〔加法单调性〕〔4〕ab,cdacbd〔同向不等式相加〕〔5〕ab,cdacbd〔异向不等式相减〕〔6〕a.b,c0acbc〔7〕ab,c0acbc〔乘法单调性〕〔8〕ab0,cd0acbd〔同向不等式相乘〕(9)ab0,0cdabcd〔异向不等式相除〕(10)ab,ab011〔倒数关系〕ab〔11〕ab0anbn(nZ,且n1)〔平方法那么〕〔12〕ab0nanb(nZ,且n1)〔开方法那么〕3.几个重要不等式〔1〕假设aR,那么|a|0,a20〔2〕假设a、bR,那么a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)〔当仅当a=b时取等号〕〔3〕如果a,b都是正数，那么abab.〔当仅当a=b时取等号〕2极值定理：假设某,yR,某yS,某yP,那么：1如果P是定值,那么当某=y 时，S的值最小；○2如果S是定值,那么当某=y时，P的值最大.○利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.(4)假设a、b、cR,那么abc3abc〔当仅当a=b=c时取等号〕ba(5)假设ab0,那么2〔当仅当a=b时取等号〕ab(6)a0时，|某|a某2a2某a或某a;|某|a某2a2a某a〔7〕假设a、bR,那么||a||b|||ab||a||b|4.几个著名不等式〔1〕平均不等式：如果a,b都是正数，那么211abababa2b2〔当仅当.22a=b时取等号〕即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均〔a、b为正数〕：2222abababab22特别地，ab(〔当a=b时，())ab〕2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322...an幂平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).常用不等式的放缩法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)〔2〕柯西不等式：假设a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;那么〔a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)〔3〕琴生不等式〔特例〕与凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数f(某),对于定义域中任意两点某1,某2(某1某2),有f(某1某2f(某1)f(某2))或22f(某1某2f(某1)f(某2)).22那么称f(某)为凸〔或凹〕函数.5.不等式证明的几种常用方法比拟法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法〔1〕整式不等式的解法〔根轴法〕.步骤：正化，求根，标轴，穿线〔偶重根打结〕，定解.特例①一元一次不等式a某>b解的讨论；②一元二次不等式a某+b某+c>0(a≠0)解的讨论.〔2〕分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么f(某)0f(某)g(某)0;g(某)f(某)g(某)0f(某)0g(某)g(某)0〔3〕无理不等式：转化为有理不等式求解○1f(某)g(某)g(某)0定义域f(某)g(某)f(某)0○2f(某)0f(某)0○3f(某)g(某)g(某)0或g(某)02f(某)[g(某)]f(某)0f(某)g(某)g(某)02f(某)[g(某)]〔4〕.指数不等式：转化为代数不等式af(某)ag(某)(a1)f(某)g(某);af(某)ag(某)(0a1)f(某)g(某)af(某)b(a0,b0)f(某)lgalgb〔5〕对数不等式：转化为代数不等式f(某)0logaf(某)logag(某)(a1)g(某)0;f(某)g(某)f(某)0logaf(某)logag(某)(0a1)g(某)0f(某)g(某)〔6〕含绝对值不等式1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化○g(某)0|f(某)|g(某)g(某)f(某)g(某)g(某)0|f(某)|g(某)g(某)0(f(某),g(某)不同时为0)或f(某)g(某)或f(某)g(某)注：常用不等式的解法举例〔某为正数〕：①某(1某)(1某)(1某)()2(1某2)(1某2)②y某(1某)y()y类似于ysin某cos某sin某(1sin某)，③|某1||某||1|(某与1同号，故取等)2扩展阅读：高中数学知识点总结_第六章不等式[1]高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的根本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：〔1〕理解不等式的性质及其证明．〔2〕掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．〔3〕掌握分析法、综合法、比拟法证明简单的不等式．〔4〕掌握简单不等式的解法．〔5〕理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│06.不等式知识要点1.不等式的根本概念〔1〕不等〔等〕号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.〔2〕不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.〔3〕同向不等式与异向不等式.〔4〕同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的根本性质〔1〕abba〔对称性〕〔2〕ab,bcac〔传递性〕〔3〕abacbc〔加法单调性〕〔4〕ab,cdacbd〔同向不等式相加〕〔5〕ab,cdacbd〔异向不等式相减〕〔6〕a.b,c0acbc〔7〕ab,c0acbc〔乘法单调性〕〔8〕ab0,cd0acbd〔同向不等式相乘〕(9)ab0,0cdabcd〔异向不等式相除〕(10)ab,ab011〔倒数关系〕ab〔11〕ab0anbn(nZ,且n1)〔平方法那么〕〔12〕ab0nanb(nZ,且n1)〔开方法那么〕3.几个重要不等式〔1〕假设aR,那么|a|0,a20〔2〕假设a、bR,那么a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)〔当仅当a=b时取等号〕〔3〕如果a,b都是正数，那么abab.〔当仅当a=b时取等号〕2极值定理：假设某,yR,某yS,某yP,那么：1如果P是定值,那么当某=y 时，S的值最小；○2如果S是定值,那么当某=y时，P的值最大.○利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.(4)假设a、b、cR,那么abc3abc〔当仅当a=b=c时取等号〕ba(5)假设ab0,那么2〔当仅当a=b时取等号〕ab(6)a0时，|某|a某2a2某a或某a;|某|a某2a2a某a〔7〕假设a、bR,那么||a||b|||ab||a||b|4.几个著名不等式〔1〕平均不等式：如果a,b都是正数，那么211abababa2b2〔当仅当.22a=b时取等号〕即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均〔a、b为正数〕：2222abababab22特别地，ab(〔当a=b时，())ab〕2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322...an幂平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).常用不等式的放缩法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)〔2〕柯西不等式：假设a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;那么〔a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)〔3〕琴生不等式〔特例〕与凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数f(某),对于定义域中任意两点某1,某2(某1某2),有f(某1某2f(某1)f(某2))或22f(某1某2f(某1)f(某2)).22那么称f(某)为凸〔或凹〕函数.5.不等式证明的几种常用方法比拟法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法〔1〕整式不等式的解法〔根轴法〕.步骤：正化，求根，标轴，穿线〔偶重根打结〕，定解.特例①一元一次不等式a某>b解的讨论；②一元二次不等式a某+b某+c>0(a≠0)解的讨论.〔2〕分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么f(某)0f(某)g(某)0;g(某)f(某)g(某)0f(某)0g(某)g(某)0〔3〕无理不等式：转化为有理不等式求解○1f(某)g(某)g(某)0定义域f(某)g(某)f(某)0○2f(某)0f(某)0○3f(某)g(某)g(某)0或g(某)02f(某)[g(某)]f(某)0f(某)g(某)g(某)02f(某)[g(某)]〔4〕.指数不等式：转化为代数不等式af(某)ag(某)(a1)f(某)g(某);af(某)ag(某)(0a1)f(某)g(某)af(某)b(a0,b0)f(某)lgalgb〔5〕对数不等式：转化为代数不等式f(某)0logaf(某)logag(某)(a1)g(某)0;f(某)g(某)f(某)0logaf(某)logag(某)(0a1)g(某)0f(某)g(某)〔6〕含绝对值不等式1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化○g(某)0|f(某)|g(某)g(某)f(某)g(某)g(某)0|f(某)|g(某)g(某)0(f(某),g(某)不同时为0)或f(某)g(某)或f(某)g(某)注：常用不等式的解法举例〔某为正数〕：①某(1某)(1某)(1某)()2(1某2)(1某2)②y某(1某)y()y类似于ysin某cos某sin某(1sin某)，③|某1||某||1|(某与1同号，故取等)2内容总结（1）○2应用数形思想。
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２㊀数学分析中几类证明不等式的方法数学分析中几类证明不等式的方法Һ郭㊀鑫㊀（天津师范大学，天津㊀３００２２２）㊀㊀ʌ摘要ɔ在学习数学分析时我们常会见到一些不等式，当然，其中有一些著名的不等式无论是在解题还是在实际应用中都有重要的作用．笔者认为解决这些不等式的证明应该先找到对应的数学分析知识点，所以，本文中结合数学分析的知识点列举了四种常用的证明不等式的思路．本文中在每一种方法后附加了例题及解答，一些题目是选择了教材上的典型例题，还有一些是考研题目及其改编．不等式的证明往往有多种证明方法，还望读者多思考出更多不同的证明方法．ʌ关键词ɔ不等式；数学分析；积分；证明为了加深对数学分析中不等式证明的理解和掌握，本文在数学分析的基础上研究并整理了几种证明不等式的方法，也节选了典型例题辅助讲解．本文属于综述型论文，归纳总结了前人的理论成果并加上自己的理解与补充，希望本文可以帮助读者对于不等式问题有初步的解题思路，并借此探索更多的关于不等式的证明方法．一㊁几个著名不等式（一）Ｊｅｎｓｅｎ不等式如果ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的凸函数，那么对任何ｘｉɪ［ａ，ｂ］，λｉ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ），ðｎｉ＝１λｉ＝１有ｆ（ðｎｉ＝１λｉｘｉ）ɤðｎｉ＝１λｉｆｘｉ()．证明㊀当ｎ＝１时，结论显然成立；当ｎ＝２时，由凸函数的定义可以知道ｆ（λ１ｘ１＋λ２ｘ２）ɤλ１ｆ（ｘ１）＋λ２ｆ（ｘ２）成立．假设ｎ－１时命题成立，则对任意ｘ１，ｘ２， ，ｘｎɪ［ａ，ｂ］，以及λｉ＞０，ðｎｉ＝１λｉ＝１，令μｉ＝λｉ１－λｎ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ－１），可以得到μ１＋μ２＋ ＋μｎ－１＝１，由归纳假设得ｆðｎ－１ｉ＝１μｉｘｉ()ɤðｎ－１ｉ＝１μｉｆ（ｘｉ），所以ðｎｉ＝１λｉｘｉ()＝ｆ(（１－λｎ）㊃λ１ｘ１＋λ２ｘ２＋ ＋λｎ－１ｘｎ－１１－λｎ＋λｎｘｎ)ɤ（１－λｎ）㊃ｆλ１ｘ１＋λ２ｘ２＋ ＋λｎ－１ｘｎ－１１－λｎæèçöø÷＋λｎｆ（ｘｎ）ɤ（１－λｎ）㊃［μ１ｆ（ｘ１）＋μ２ｆ（ｘ２）＋ ＋μｎ－１ｆ（ｘｎ－１）］＋λｎｆ（ｘｎ）＝λ１ｆ（ｘ１）＋λ２ｆ（ｘ２）＋ ＋λｎｆ（ｘｎ）．由数学归纳法可知原命题成立．例１㊀求证：（ａｂｃ）ａ＋ｂ＋ｃ３ɤａａｂｂｃｃ，其中ａ，ｂ，ｃ均为正数．提示㊀令ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，运用Ｊｅｎｓｅｎ不等式即证．（二）平均值不等式任意ａｉ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ），有ｎ１ａ１＋１ａ２＋ ＋１ａｎɤｎａ１ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ．证明㊀设ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｆᵡ（ｘ）＜０，从而ｆ（ｘ）为凹函数，所以由Ｊｅｎｓｅｎ不等式可得ｆａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎæèçöø÷ȡｆ（ａ１）＋ｆ（ａ２）＋ ＋ｆ（ａｎ）ｎ，即ｌｎｎａ１ａ２ ａｎ＝１ｎ（ｌｎａ１＋ｌｎａ２＋ ＋ｌｎａｎ）ɤｌｎａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ．因为ｆ（ｘ）为增函数，所以ｎａ１ａ２ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ，同理ｎ１ａ１㊃１ａ２㊃ ㊃１ａｎȡ１ａ１＋１ａ２＋ ＋１ａｎｎ，即得结论．注：此题还可运用条件极值证明．（三）Ｓｃｈｗａｒｚ不等式若ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，则ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ()２ɤʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ㊃ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘ．证明㊀因为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，所以ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，从而ʏｂａ（ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ））２ｄｘ＝ʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ＋ʏｂａ２ｔｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂａｔ２ｇ２（ｘ）ｄｘȡ０，（∗）将（∗）式看作自变量ｔ的一元二次函数，则Δ＝４ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ()２－４ʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ㊃ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘɤ０，结论得证．推论㊀（柯西不等式）对任意ａｉ，ｂｉ有ðｎｉ＝１ａｉｂｉ()２ɤðｎｉ＝１ａｉ２㊃ðｎｉ＝１ｂｉ２．例２㊀若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）都在［ａ，ｂ］上可积，则有闵可夫斯基（Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ）不等式：ʏｂａ（ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））２ｄｘ[]１２ɤʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ[]１２＋ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘ[]１２．提示㊀不等式两边平方，化简，利用Ｓｃｈｗａｒｚ不等式．（四）Ｈａｄａｍａｒｄ不等式设ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的连续凸函数．求证：ｆａ＋ｂ２()ɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２．提示㊀利用凸函数的性质，证明详细过程见下页．二㊁利用函数单调性与极值解决不等式问题（一）利用单调性解决不等式问题函数的单调性是较为简单直接的证明不等式的方法，对于可导函数ｆ（ｘ）可以通过ｆᶄ（ｘ）的正负判断ｆ（ｘ）的增减性，从而利用具体自变量的取值得到不等式．此类题目的关键在于构建合适的ｆ（ｘ）．（例题中涉及几类常用的构造函数的方法）㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀㊀例３㊀（若尔当不等式）设０＜ｘɤπ２，则２πɤｓｉｎｘｘ＜１．证明㊀设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｘ，则ｆᶄ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘ２；再令ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ，则ｇᶄ（ｘ）＝－ｘｓｉｎｘ＜０，从而ｇ（ｘ）递减．又因为ｇ（０）＝０，所以ｇ（ｘ）＜０，则有ｆᶄ（ｘ）＜０，即ｆ（ｘ）递减．又因为ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）＝１，且ｆπ２()＝π２，所以，由ｆ（ｘ）的单调性可得２πɤｓｉｎｘｘ＜１．（二）利用极值与最值解决不等式问题对于在定义域内不单调的函数，极值和最值是解决这类函数不等式的一个突破口，构造合适的函数利用极值的定义来证明．例４㊀（利用条件极值）任意ａｉ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ），有ｎ１ａ１＋１ａ２＋ ＋１ａｎɤｎａ１ａ２ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ．证明㊀下面只证明ｎａ１ａ２ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ（另一不等号的证明见上一页）．设ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘｎ＝ａ（∗），ｆ（ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ）＝ｘ１ｘ２ ｘｎ，则只需证在条件（∗）下ｆ（ｘ）的最大值为ａｎｎｎ．令Ｌ（ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ，λ）＝ｘ１ｘ２ ｘｎ＋λ（ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－ａ），则Ｌｘｉ＝ｘ１ ｘｉ－１ｘｉ＋１ ｘｎ＋λ＝０，Ｌλ＝ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－ａ＝０，{解得λ＝－ｎａ（ｘ１ｘ２ ｘｎ）；ｘｉ＝ａｎ．又因为ｆ（ｘ）有上界，所以所求点为最大值点，即最大值为ａｎｎｎ，结论得证．三㊁利用微分中值定理和泰勒公式解决不等式问题（一）利用拉格朗日定理解决不等式问题拉格朗日定理可以将函数在区间端点的函数值与导函数在某一点的值联系起来，从而利用单调性或已知条件得到不等式．例５㊀求证：ｂ－ａｂ＜ｌｎｂａ＜ｂ－ａａ，其中０＜ａ＜ｂ．证明㊀原不等式等价于１ｂ＜ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＜１ａ，由拉格朗日定理，得ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＝１ξ，其中ξɪ（ａ，ｂ）．因为１ｂ＜１ξ＜１ａ，所以１ｂ＜ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＜１ａ．（二）利用柯西定理解决不等式问题对于已知两个函数的端点函数值问题可利用柯西定理转换成导数比值形式，从而化简不等式．例６㊀设ｘ＞０，求证：２ａｒｃｔａｎｘ＜３ｌｎ（１＋ｘ）．证明㊀原不等式等价于ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＜３２；∀ｘ＞０，在［０，ｘ］上由柯西中值定理，得∃ξɪ（０，ｘ），使得ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ－ａｒｃｔａｎ０ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）＝１＋ξ１＋ξ２，设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ１＋ｘ２，则ｆᶄ（ｘ）＝１－２ｘ－ｘ２（１＋ｘ２）２，所以ｆ（ｘ）在ｘ＝２－１时取极大值（最大值），２＋１２＜３２，所以１＋ξ１＋ξ２＜３２，即ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＜３２，结论得证．（三）利用泰勒公式解决不等式问题对于一些不等式中涉及高阶导数及其范围的问题，可尝试利用泰勒公式的近似展开式，而利用泰勒公式的重点在于找到一个合适的点展开．四㊁函数凹凸性（一）函数凹凸性的简单推论推论１㊀ｆ（ｘ）为凸函数的充要条件为：对于定义域上，任意ｘ１＜ｘ２＜ｘ３，则有ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）ｘ２－ｘ１ɤｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ１）ｘ３－ｘ１ɤｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）ｘ３－ｘ２．推论２㊀（此推论及其变形适用于许多涉及一阶导数的不等式证明）可导函数为凸（凹）函数当且仅当任意ｘ１，ｘ２有ｆ（ｘ２）ȡｆ（ｘ１）＋ｆᶄ（ｘ１）（ｘ２－ｘ１）（ｆ（ｘ２）ɤｆ（ｘ１）＋ｆᶄ（ｘ１）（ｘ２－ｘ１））．推论３㊀若ｆ（ｘ）为二阶可导函数，则ｆ（ｘ）是凸函数的充分必要条件为ｆᵡ（ｘ）ȡ０．（此命题适用于涉及二阶导数的不等式证明）推论４㊀ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的凸函数，则ｆ（ｘ）ȡ２ｆａ＋ｂ２()－ｆ（ａ）－ｆ（ｂ）．（二）运用函数凹凸性证明不等式例７㊀证明Ｈａｄａｍａｒｄ不等式．证明㊀设ｘ＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ＝（ｂ－ａ）ｔ＋ａ，则１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔ．同理可得１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔ．因为ｆ（ｘ）为凸函数，所以１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔɤʏ１０（１－ｔ）ｆ（ａ）＋ｔｆ（ｂ）ｄｔ＝ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２，且１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝１２ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔ＋１２ʏ１０ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔ＝ʏ１０１２ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］＋１２ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔȡʏ１０ｆ[１２（１－ｔ）ａ＋ｔ２ｂ＋ｔ２ａ＋１２（１－ｔ）ｂ]ｄｔ＝ｆａ＋ｂ２()，所以ｆａ＋ｂ２()ɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２．不等式的解法有许多，以上几种方法需要在数学分析的基础上研究不等式．在学习过程中抓住每种方法的要点并掌握相应的数学分析的基础知识才是关键．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（上册）：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］陈守信．考研数学分析总复习：精选名校真题：第５版［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０１８．［３］徐利治，王兴华．数学分析的方法及例题选讲：第２版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１５．［４］蒙诗德．数学分析中证明不等式的常用方法［Ｎ］．赤峰学院学报（自然科学版），２００９（０９）：２０－２２．［５］舒斯会．数学分析选讲［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００７．［６］林源渠，方企勤．数学分析解题指南［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００３．。
四、不等式与极值 1. 证明：1111,1,,1pqa b a b p q p q p q⋅≤++=>， 证明：要证 11pqa b a b p q ⋅≤+，即 11ln()ln()p q a ba b p q ⋅≤+，即证l n l n l n ()a b a b p q p q+≤+； 令()ln f x x =，则21'()0f x x =-< 恒成立，故()f x 在(0,)+∞上为上凸函数， 由上凸函数性质可得： 1212l n ()l n l n a b a b λλλλ+≥+，其中121λλ+=； 令1211,p qλλ==，则原不等式得证. 2. 证明：(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1),,0a a b b a b a b a b +++++<++++>证明：要证(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1)a a b b a b a b +++++<++++ 令：t b =则：即证：(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1)0a t a t t t a a ++++-++-++>，(0,)t ∈+∞设()(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1)F t a t a t t t a a =++++-++-++，(0,)t ∈+∞'()ln(1)ln(1)0F t a t t =++-+>，即()F t 在(0,)+∞上单调增加，故()(0)0F t F >=， 即 (1)l n (1)(1)l n (1)(1)l n (1a t a t t t a a ++++-++-++>，(0,)t ∈+∞ 所以 (1)l n (1)(1)l n (1)(1)l n (1a a b b a ba b +++++<++++.3. 证明:11(1)1,(0,1)2p p p x x x -≤+-≤∈证明：设()(1),(0,1)p p f x x x x =+-∈，令11'()[(1)]0p p f x p x x --=--=， 得12x =为唯一驻点，且当12x <时，'()0f x <，当12x >时， '()0f x >，故1()2f 为(0,1)上的最小值，且min 111()22p f f -==；又由(0)(1)1f f ==，知max 1f =，所以11(1)1,(0,1)2p p p x x x -≤+-≤∈4.证明：2x ≤-(0,)4x ∈.证明：因为22()(1x f x x ≤-⇔≡≤ 而(0)1f =，所以只须证明32'()(2f x x x =+2[20x =+<同理'()0()2s 20f xg x x x x <⇔≡+< 而(0)0g =，且2'()g x =--当)4x ∈时，()0g x <，即'()0f x <，所以()1f x <得证. 5. 证明当(,)2x ππ∈ln(1sin )x xπ+<-. 证明: 令t x π=-，则(0,)2t π∈，要证不等式变为＜ln(1sin )t t +，即要证c o s 1s i n t tt+＜ln(1sin )t +，而 0c o s l n (1s i n )1s i n tt d t t t =++⎰且cos 11sin 1sin t t t '-⎛⎫= ⎪++⎝⎭＜0， 有[0,]x t ∈时，c o s c o s1s i n 1s i n x t x t >++；于是 0c o s l n (1s i n )1s i n t x t d x x +=+⎰＞0cos 1sin t t dx t +⎰cos 1sin t tt=+； 故原不等式得证. 6. 证明：当π02x <<时，2224(sin )1πx x --≤+-. 证明：设22()(sin )f x x x --=-，则33()2(sin )cos 2f x x x x --'=-+3333sin cos 2sin x x xx x-=； 令13()sin cosx x x x ϕ-=-，则14331()cos cossin cos 13x x x x x ϕ--'=+- 243321cos cos 133x x -=+-10≥=；故13()sin cosx x x x ϕ-=-单调递增，且(0)0ϕ=；于是，当π02x <<时，()0x ϕ>； 从而()0f x '>，即22()(sin )f x x x --=-单调递增，且24()12f ππ=-；所以，当π02x <<时，2224(sin )1πx x --≤+-.7. 证明：当2x >-时，()02e e e2x 222<+----x x x .证明：设()()()22e e e2222->+--=--x ,x x x x x ϕ，()()()02e 2e 4e 2e e 2e 22222222222=++-=+----=--------ϕ，()()x x x x x x x e e e22e2222+--+='--ϕ；又设：()u u u u f e e +=，则()()x f x f x -⎪⎭⎫⎝⎛-='22ϕ，由拉格朗日中值定理知，存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈,x x 22ξ，使()()()2222+'-=⎪⎭⎫⎝⎛--'='x f x x f x ξξϕ， 而()()ξξξ+='2e f ，又0222222>+=+->+x x ξ，故()0>'ξf ；从而，当2x >-时， ()()022<+'-='x f x ξϕ，即()x ϕ单调减少，从而()0<x ϕ，(2)x >-，命题得证.8. 设常数1ln2->k ，证明：当0x >且1x ≠时，2(1)(ln 2ln 1)0x x x k x --+->.证明：设函数()2ln 2ln 1f x x x k x =-+-，故要证2(1)(ln 2ln 1)0x x x k x --+->；只需证：当01x <<时，()0f x <；当1x <时，()0f x >；显然： ()()k x x xx k x x x f 2ln 212ln 21+-=+-=' 命：()k x x x 2ln 2+-=ϕ，则()xx x x 221-=-='ϕ，当2x =时，()0='x ϕ，且2x =为()x ϕ的唯一驻点，又()22xx =''ϕ，()0212>=''ϕ，所以2x =为()x ϕ的唯一极小值点，故 ()()()[]01ln222ln2122>--=+-=k k ϕ为()x ϕ的最小值(0x >)，即当0x >时，()0>'x f ，从而()x f 严格单调递增；又因()01=f ，所以，当01x <<时，()0f x <；当1x <时，()0f x >； 故原不等式得证.9. 求最小的β和最大的α使对n Z +∀∈有11(1)(1)n n e n nαβ+++≤≤+解：要有 11(1)(1)n n e n nαβ+++≤≤+只要 11()ln(1)ln ()ln(1)n e n n n αβ++≤≤++即： 11l n (1)n nαβ≤-≤+；设11()ln(1)f x x x =-+（(0,1]x ∈，由于()()()2211'01ln 1f x x x x =-<++， 所以 m i n 1(1)1l n 2f f ==-，max 0111(0)limln(1)2x f f x x →==-=+； 即 11l n 2α=-，12β=. 10. 设整数1n >，求证：111112nne e n ne⎛⎫<--< ⎪⎝⎭.证 先证不等111(1)n e n n e--<111(1)ln(1)0n n n⇔--+>；设()(1)ln(1)f x x x x =--+，[0,1]x ∈，则()ln(1)0f x x '=-->，(0,1)x ∈ 所以()f x 在[0,1]上单调增加，由(0)0f =,知：当(0,1)x ∈时,()(1)ln(1)0,f x x x x =--+>故 1111()(1)l n (1)0f n n n n =--+>；即111(1)n e n ne--<，(1)n >. 再证不等式111(1)2n ne e n<-- 1111ln(1)ln(1)02n n n n⇔----> 设()ln(1)ln(1)2x f x x x x =----，[0,1)x ∈，1()ln(1)1221x x f x x x'=--+--- 22222121(55)()0,(0,1),2(2)(1)(2)(1)x x x f x x x x x x x ++''=--+=>∈----- 所以()f x '在[0,1)上单调增加，由(0)0f '=,知：当(0,1)x ∈时,1()ln(1)10221x x f x x x'=--+->--；所以()f x 在[0,1]上单调增加，由(0)0f =,知：当(0,1)x ∈时,()ln(1)ln(1)02xf x x x x =---->故 11111()l n (1)l n (1)02f n n n n n=---->，即111(1)2n ne e n <--，(1)n >. 综合上述两方面，即证明了当整数1n >时，111112nne e n ne ⎛⎫<--< ⎪⎝⎭.11. 已知()f x 二阶可导，且()0f x >，[]2''()()'()0f x f x f x -≥，x R ∈；（1）证明： 21212()()()2x x f x f x f +≥， 12,x x R ∀∈， （2）若(0)1f =，证明：'(0)(),f x f x e x R ≥∈，证明：⑴设()ln ()g x f x =，则'()'()()f x g x f x =，22''(')''()0ff f g x f -=>，故曲线()ln ()g x f x =的图形是相上凹的，于是1212()()()22g x g x x xg ++≥；即 21212()()()2x x f x f x f +≥. ⑵将()ln ()g x f x =在0x =处泰勒展开，得：2''()()(0)'(0)2g g x g g x x ξ=++222'(0)''(')ln (0)|(0)2x f ff f f x x f fξ=-=++ '(0)f x ≥即 '(0)()f x f x e ≥.12. 设()f x 是二次可微的函数，满足(0)1,(0)0f f '==，且对任意的0x ≥有()5()6()0f x f x f x '''-+≥，证明：对每个0x ≥，都有23()32x x f x e e ≥-.证明：首先，由题设有：[()2()]3[()2()]0f x f x f x f x ''''---≥，令()()2()g x f x f x '=-，则 ()3()0g x g x '-≥，因此 3(())0x g x e -'≥，（0x ≥）所以()3()02x g x e g -≥=-，或者 3()2()2xf x f x e '-≥-； 进一步有 2(())2x x f x e e -'≥- 即 2(()2)0x x f x e e -'+≥，所以 200()2(0)23x x f x e e f e e -+≥+=，即 23()32x x f x e e ≥-.13. 设(),()f x g x 在[,)a +∞上有一阶连续导数，且当x a ≥时,有'()'()f x g x ≤， 证明：()()()()f x f a g x g a -≤-证明：（1）先证()()()()f x f a g x g a -≤-，即证()()()()f x g x f a g a -≤-， 令()()()F x f x g x =-，由于'()'()'()0F x f x g x =-≤，所以()()F x F a ≤， 故有 ()()()()f x g x f a g a -≤-，即原式得证.（2）再证()()()()f x f a g a g x -≥-，即证()()()()f x g x g a f a +≥+， 令()()()G x f x g x =+，由于'()'()'()0G x f x g x =+≥，所以()()G x G a ≥，故有 ()()()()f x g x g a f a +≥+，即原式得证.综合（1）（2）得：()()()()f x f a g x g a -≤-.14. 在区间(0,)2π内，试比较函数tan(sin )x 与sin(tan )x 的大小，并证明你的结论.证明：设()tan(sin )sin(tan )f x x x =-，则22()sec (sin )cos cos(tan )sec f x x x x x '=-3222cos cos(tan )cos (sin )cos (sin )cos x x x x x-= ⑴当0arctan2x π<<时，0tan 2x π<<，0sin 2x π<<，一方面，有：1[cos(tan )2cos(sin )]3x x ≤+；①另一方面：由余弦函数在(0,)2π上的凸性，有：0arctan 22x ππ<<<，1tan 2sin [cos(tan )2cos(sin )]cos 33x x x x ++≤；② 设()tan 2sin 3x x x x ϕ=+-，则222tan 4sin ()sec 2cos 32x x x xx ϕ'=+-=-，有(0)0ϕ'=，232tan sec 4sin cos 2sin (sec 1)02()2xx x x x x x ϕ''=-=->，故()0x ϕ'>，而(0)0ϕ=，所以()0x ϕ>，于是tan 2sin 3x x x +>，tan 2sin 23x x x π+>>，tan 2sin cos cos 3x xx +<，③综合①②③式，即得： 23cos(tan )cos (sin )cos x x x <；于是，当(0,arctan )2x π∈时，()0f x '>，又(0)0f =，所以()0f x >；即t a n (s i n )x大于sin(tan )x .⑵当ππ[arctan ,)22x ∈时，πsin(arctan )sin 12x <<，且ππtan (arctan )ππsin(arctan )24===>， 即sin 14x π<<，于是，有tan(sin )tan1sin(tan )4x x π>=≥；亦即tan(sin )x 大于sin(tan )x .综和上述⑴⑵可得，在区间(0,)2π内，函数tan(sin )x 大于sin(tan )x .15. 求函数2sin e)(2x x f x -=的值域.解：要求2sin e )(2x x f x -=的值域，只需求出函数的最大值与最小值即可，注意到：函数2sin e )(2x x f x -=为偶函数，故只需考虑0x ≥的情况；为计算方便，设2t x =，得到0,sin e )(>=-t t t g t ，显然，)(t g 与)(x f 有相同的值域.求)(t g 的驻点：)sin (cos e cos e sin e )(t t t t t g t t t -=+-='---， 令0)(='t g ，得到驻点),2,1,0k (4=+=ππk t k ，其对应的函数值为()⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππk k k k k t g 44e2214sin e)(， 显然，当2,(1,2,)k m m ==时，0)(2>m t g ，其中最大值为40e 22)(π-=t g ；当21,(1,2,)k m m =+=时，21()0m g t +<，其中最小值为451e 22)(π--=t g ；于是得到函数)(t g 的值域，亦即函数)(x f 的值域为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---445e22,e 22ππ. 16. 求由方程032=-+xy y x 所确定的函数()y y x =在(0,)+∞内的极值，并判断是极大值还是极小值.解：对032=-+xy y x 两边求导，得 ()2230x y y y x y ''+-+=， 223y xy y x-'=- 令0y '=，得2y x =，代入原方程解得11,84x y ==.()()()()()2111122,,,08484232613203x y x y y y y x y x yy y y x '=====''-----''==-<-. 故当18x =时，y 取极大值14.17. 设()f x 满足方程，()2()3sin x x e f x e f x x ππ-+-=，x R ∈，求()f x 的极值.解：由条件x ∀，()2()3sin x x e f x e f x x ππ-+-=，将x 代换成x π-，有 ()2()3s i nx x e f x e f x x ππ--+= 解上述方程组，得()sin x e f x x =，()sin x f x e x -=，'()(cos sin )x f x e x x -=-，令'()0f x =得可能极值点4k nx k π=+，（k 为整数），''()2c o s xf x e x -=-，所以，当24x k ππ=+时有极大值(2)42k eππ-+， 当(21)4x k ππ=++时有极小值(242k eπππ-++-. 18.设2,0()1,0x x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，求()f x 的极值.解：因为20lim ()lim 1xx x f x x ++→→==，0lim ()1x f x -→=，所以()f x 在0x =处连续； 且22(ln 1),0()1,0x x x x f x x ⎧+>'=⎨<⎩，得唯一驻点1x e -=.当10x e -<<时，()0f x '<；当1x e ->时，()0f x '>；所以1x e -=是极小值点. 当0x <时，()0f x '>，所以0x =是极大值点. 故()f x 的极小值为112()e f e e ---=，极大值为(0)1f =.19. 设1y ≤，求11() xF y x y e dx -=-⎰的最大值.解：由于11()()()y xx yF y y x e dx x y e dx -=-+-⎰⎰,1111,y y x x x x y yy e dx xe dx xe dx y e dx --=-+-⎰⎰⎰⎰111()d d 2yyx x y F y e x e x e e e-'=+=--⎰⎰ ()2y F y e ''=令()0F y '=得01+ln 2e e y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为惟一驻点，且0()0F y ''>，所以0()F y 为()F y 在[1,1]-上的最小值，而最大值只能在端点1,1y y =-=取得：1111111(1)d d ()|x x x x x F xe x e x xe e e e e -----=+=-+=+⎰⎰1111111(1)d d ()|3x x x x x F xe x xe x e xe e e e ----=-=-+=-⎰⎰所以(1)F -为11() xF y x y e dx -=-⎰在[1,1]-上的最大值，最大值1(1)+I e e --=.。
基本不等式的最值求法
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目录
1.引言
2.基本不等式的概念和形式
3.基本不等式的最值求法
4.结论
正文
一、引言
基本不等式是数学中的一个重要概念，它在各个领域的数学问题中都有广泛的应用。
基本不等式最值求法是解决这类问题的关键，通过掌握最值求法，我们可以更好地理解和解决相关问题。
本文将从基本不等式的概念和形式入手，重点介绍基本不等式的最值求法。
二、基本不等式的概念和形式
基本不等式，又称柯西不等式，是指对于任意实数 a1, a2,..., an 和b1, b2,..., bn，都有 (a1^2 + a2^2 +...+ an^2)(b1^2 + b2^2 +...+ bn^2) >= (a1b1 + a2b2 +...+ anbn)^2。
其中，等号成立的条件是存在常数 k，使得 aibj = k(ai + bj)，k >= 0。
三、基本不等式的最值求法
求解基本不等式的最值问题，通常采用以下步骤：
1.验证等式成立的条件：检查是否存在常数 k，使得 aibj = k(ai + bj)，k >= 0。
2.确定变量的取值范围：根据题目要求，确定变量 a1, a2,..., an 和
b1, b2,..., bn 的取值范围。
3.利用参数分离法求解：将变量分为两组，一组为正数，一组为负数，然后通过参数分离法求解最值。
4.结论
基本不等式的最值求法是解决相关问题的关键，通过掌握最值求法，我们可以更好地理解和解决基本不等式相关的问题。
