常见不等式通用解法
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常见不等式通用解法总结
一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式
如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。
当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。
2260x x --<的解为3(,2)2
-
当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。
2210x x -->
的解为(,1(1)-∞-⋃++∞
当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。
如13x +
的范围
又如
讨论a ∆=此不等式的解集为0,{|}20,()x R x ∆=∈≠-⎨⎪
⎪⎪∆>-∞⋃+∞⎩
又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所以只需要判
定2a 和a 的大小即可。
此不等式的解集为22
01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,)
a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠⎧⎪
<<-∞⋃+∞⎨⎪<>-∞⋃+∞⎩
又如不等式22(1)40ax a x -++>，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成
(2)(2)0ax x -->，然后开始判断两根
2
a
和2的大小关系，这样做是有问题的。
事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a 是有可能为0的。
讨论完0a =的情况再讨论0a <和0a >的情况。
所以此不等式的解集应该是： 注意，0a >和0a <时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。
二、数轴标根法（又名穿针引线法）解不等式
这种问题的一般形式是123()()()...()0n x a x a x a x a ----<（或,,>≤≥）
步骤：
①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积
约因式（二次项系数为正）。
③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。
例如，求不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->(4,)⋃+∞
为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式正，说明①四项均正，解集为(4,)+∞4)x -负，此时解集为(2,3)
候同理。
21)(2)(3)(4)0x x x --->，使用数轴标根法得到的解
(1)x - 0，另一边为含x ()
0()
f x
g x <（或,,>≤≥的形式）
，此时解()()0f x g x <就可以解出原不等式的解集。
特别地，若要解
()
0()f x g x ≤，则解()()0()0f x g x g x ≤⎧⎨
≠⎩
即可。
例如228
16
x x x -≤--，移项化简得22
3206x x x x -+≥--，使用穿针引线法得到解集为{|223}x x x x <-≤≤>或1或，一定要注意分母不为零，而分子可以为零。
例：一道比较复杂的题，求(1)1(1)
2
a x
a
x
-
>≠
-
的解集，现写出此题的完整解题过程。
解：原不等式通过移项通分可化为(1)(2)0
2
a x a
x
---
>
-
，由于1
a≠，所以可以进一步化为
2
(1)()
10
2
a
a x
a
x
-
--
->
-
，两根为2
1
a
a
-
-
和2。
当1
a>时，解集为两根的两边，显然有
2
2
1
a
a
-
<
-
，所以此时解集为2
(,)(2,)
1
a
a
-
-∞⋃+∞
-
当1
a<时，解集为两根中间，此时必须根据a的取值判断两根范围。
①当01
a
<<时，
2
2
1
a
a
-
>
-
，此时解集为2
(2,)
1
a
a
-
-
②当0
a=时，
2
2
1
a
a
-
=
-
，此时解集为∅
③当0
a<时，
2
2
1
a
a
-
<
-
，此时解集为2
(,2)
1
a
a
-
-
至此，a
当然，如果这道题不给1
a≠
①求11
x
>的解集
1
1)(0,)
-⋃+∞⑤
11
(,)(,)
32
-∞-⋃+∞，注意①②的区别
(f x()()()()
f x
g x f x g x
><-
或
②构造函数，数形结合
③在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（分类讨论思想随处可见）
④平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用）
例：图形法某经典问题，解不等式1
1a
x
-<，先画出
1
()1
f x
x
=-的图像如下，然后分类讨论a的取值，通过观察()
y f x
=和y a
=的图像，来确定不等式的解集情况。
①当0
a≤时，()
y f x
=的图像在y a
=的图像上方，除了点(1,1)，此时显然不等式无解
②当1a =时，()y f x =的图像与y a =的图像交点为1
(,1)2
，此时的解集为1(,)2
+∞ ③当01a <<时，()y f x =的图像与y a =的图像交点横坐标为11,11a a -+，此时解集为11
(,11a a
+-
④当1a >时，()y f x =的图像与y a =的图像交点横坐标为11,11a a -+，此时解集为11
(,),(,)11a a
-∞+∞-+
当然此题使用()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<也可以做，化成1
1a a x
-<-<，只是在讨论的时候
需要细心，考虑到a 的所有取值。
绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧 例如125x x -++≥，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点分段讨论
①当1x ≥时，原不等式化为215x +≥，解得2x ≥ ②当21x -≤<时，原不等式化为35≥，显然无解 ③当2x <-时，原不等式化为125x --≥，解得3x ≤-
(,3][2,)-∞-⋃+∞
技巧：可以将绝对值看成距离，也就是将x -2x +看成x 到
-2的距离，若画出数轴，发现位于区间[2,1]-3，位于区间[2,1]-5，所以令x 继
[4,4]-
例1成立，则a 的取值范围是？（答案[2,0]-）
例21(,2
-∞）
无理不等式能出的考题较少，主要是要注意偶次根号下式子要非负。
（终于可以用平方法了，但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用）。
对于奇次根号，由于不需考虑根号下式子的正负性，直接打开根号即可。
()0
()()0g x g x f x <⎧>⇔⎨≥⎩或2
()0()[()]
g x f x g x ≥⎧⎨>⎩（注意这里为什么没有写()0f x ≥？）。
