概率论公式总结 都琳
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∫ ∫ 3、二维连续型随机变量的分布： F (x, y) = x
y
p(u, v)dudv
−∞ −∞
¾ 联合密度函数性质：
+∞ +∞
∫ ∫ (1) p(x, y) ≥ 0; (2)
p(x, y) d x d y = F (+∞, +∞) = 1;
−∞ −∞
(3)若p( x,
y )在( x,
y)连续,则有 ∂2F (x, y) ∂x∂y
∫ ∫ pZ (z) =
+∞
|
−∞
y
|
p(
yz,
y)dy
；当
X 与Y
独立，pZ
(z)
=
+∞
−∞ | y | pX ( yz) pY ( y)dy
（4）极值分布 M = max{X ,Y}, N = min{X ,Y}的分布.
当X，Y 相互独立,FM (z) = FX (z)FY (z) ； FN (z) = 1− [1− FX (z)][1− FY (z)] 当X，Y 相互独立且同分布,FM (z) = F 2 (z) ； FN (z) = 1− [1− F (z)]2
f ( xk ) pk , X为离散型
k =1
∫⎪ +∞
2、二维随机变量函数的分布 Z = f ( X ,Y )
（1）和的分布 Z = X + Y
∫ ∫ pZ (z) =
+∞
p(z − y, y)dy =
−∞
+∞ p(x, z − x)dx ；
−∞
∫ ∫ 当 X与Y 独立，pZ (z) =
+∞
−∞ pX (z − y)pY ( y)dy =
+∞
−∞ pX (x)pY (z − x)dx
离散型均匀分布： P{X
=
xk } =
1 n
(k = 1, 2,
, n)
(4) 二项分布 B(n, p) ： P{X = k} = Cnk pk (1− p)n−k
(5) 泊松分布 P(λ) ： P{X = k} = λ k e−λ (k = 0,1, ) k!
(6) 几何分布： P{X = k} = (1− p)k−1 p (k = 1, 2, )
j =1
i =1
(2) 连续型随机变量：
{ } ∫ ∫ 边缘分布函数
FX (x) = F (x, +∞) =
x −∞
+∞
p(x, y)dy dx
−∞
∫ ∫ 边缘密度
pX (x) =
+∞
−∞ p(x, y)dy; pY ( y) =
+∞
p(x, y)dx
−∞
(3) 结论：
二元正态分布的边缘分布是一元正态分布．即若
(X ,Y )
~
N
(μ1
,
μ2
,
σ
2 1
,σ
2 2
,
ρ
)，则
X ~ N (μ1,σ12 ),
Y
~
N
(μ2
,σ
2 2
).
5、独立性： X 和 Y 相互独立 ⇔ F ( x, y) = FX (x)FY ( y).
(1)、离散型 : X 与Y 相互独立 ⇔ P{X = xi ,Y = y j} = P{X = xi}P{Y = y j}
3
(1) 离散型随机变量：
概率论与数理统计公式
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ 边缘分布函数 FX (x) = F(x, +∞) =
pij , FY ( y) = F (+∞, y) =
pij .
xi ≤x j =1
y j ≤ y i=1
∞
∞
∑ ∑ 边缘分布律 pi• = pij = P{X = xi}, i = 1, 2, , p• j = pij = P{Y = y j}, j = 1, 2, ,
4
三、 随机变量的函数及其分布
概率论与数理统计公式
1、一维随机变量函数的分布 Y = f ( X )
∑ （1）离散型： P{Y = yk } = P{ f ( X ) = yk } =
pi
yk = f ( xi )
（2）连续型：
方法一：分布函数法：
∫ FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{ f ( X ) ≤ y}= f (x)≤y pX (x)dx
再对FY ( y)求导得到Y的密度函数. 方法二：公式法：
(−∞ < x < ∞)
pY
(
y)
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
pX
[
f −1( 0,
y)]
[
f
−1 (
y)]′
,α < y 其它.
<
β
,
注意条件
常用结论：
(1) 随 机变量 X的分布函数 F(x) ~ U[0,1]
(2) 若 X ~ N (μ, σ 2 ) ，则 Y = aX + b ~~ N (aμ + b, (aσ)2 ).
（2）差的分布 Z = X − Y
∫ ∫ pZ (z) =
+∞
p(z + y, y)dy =
−∞
+∞ p(x, x − z)dx ；
−∞
∫ ∫ 当 X与Y 独立，pZ (z) =
+∞
−∞ pX (z + y) pY ( y)dy =
+∞
−∞ pX (x) pY (x − z)dx
（3）商的分布 Z = X Y
∫ φ(x) =
1
− x2
e 2;
x
Φ(x) =
1
−t2
e 2 d t.
2π
−∞ 2π
∫ 性质：(1)Φ(−x) = 1− Φ(x), Φ(0) = 0.5； (2)
+∞ − x2
e 2 dx =
2π
−∞
(4) 指数分布 X ~ Exp(λ )
p(
x)
=
⎧ ⎨
λe−
λ
x
,
⎩0,
x > 0, ;
x ≤ 0.
)
⎡ ⎢ ⎢⎣
(
x
− μ1 σ12
)2
−
2
ρ( x− μ1 )( σ1σ2
y− μ2
)
+
(
y− μ2 σ22
)2
⎤ ⎥ ⎥⎦
2πσ1σ2 1− ρ2
4、边缘分布：
FX (x) = F ( x, +∞) = P{X < x,Y ≤ +∞} = P{X ≤ x} ； FY ( y) = F (+∞, y) = P{X < +∞,Y ≤ y} = P{Y ≤ y}
第二章 随机变量及其分布
一、一维随机变量及其分布
1、分布函数: F (x) = P{X ≤ x}
分布函数性质:
(1) 0 ≤ F (x) ≤ 1, x ∈ R; (2) F(x)是单调不减的；(3) F (−∞) = lim F (x) = 0; F (+∞) = lim F (x) = 1;
x→−∞
F
(
x)
=
⎧1 ⎨ ⎩ 0,
−
e
−λ
x
,
x
> 0, x ≤ 0.
二、 二维随机变量及分布：
1、联合分布函数： F (x, y) = P{X ≤ x,Y ≤ y}
∑ ∑ 2、二维离散型随机变量的分布： P{X = xi ,Y = y j} = pij , F (x, y) =
pij ,
xi ≤ x y j ≤ y
x→+∞
1
概率论与数理统计公式
(4)
F
( x)为右连续，即
lim
x→ x0+
F
(
x)
=
F
(x0 ),
x0 ∈ R.
分布函数重要公式:
(1) P{X ≤ b} = F(b); (2) P{a < X ≤ b} = F (b) − F (a); (3) P{X > a} = 1− F (a);
(4) P{X < b} = F (b− ); (5) P( X = b) = F (b) − F (b− ), b ∈ R.
概率论与数理统计公式
第一章 随机事件及其概率
随机事件 A ，样本空间 Ω ，概率空间 F ， A ⊂ Ω，A∈ F 一、随机事件间的关系和运算 1、 包含：A ⊂ B，表示 A 发生必有事件 B 发生 2、 相等： 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。 3、 互不相容（或互斥）：A ∩ B=Ф，表示 A 与 B 不可能同时发生。对立一定互斥。 4、 对立（或互逆）: A=Ω-A。 表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。 5、和事件/并：A ∪ B，或者 A+B（A ∩ B=Ø），表示 A、B 中至少有一个发生的事件。 6、 差事件： A − B = A − AB = AB ,表示 A 发生而 B 不发生的事件。 7、 积事件/交：A ∩ B 或者 AB，表示 A、B 同时发生的事件。 二、运算定律 1、交换律：A ∪ B=B ∪ A；A ∩ B =B ∩ A。 2、 结合律：A ∪ （B ∪ C）=（A ∪ B） ∪ C；A ∩ （B ∩ C）=（A ∩ B ∩ C 3、分配律：A ∪ （B ∩ C）=（A ∪ B） ∩ （A ∪ C）；
(2)、连续型 : X 与Y 相互独立 ⇔ p(x, y) = pX (x) pY ( y) 常用结论：
