概率论公式总结 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
特别地，当A 、B 互斥时，
P(A+B)=P(A)+P(B)
条件概率公式
概率的乘法公式
全概率公式：从原因计算结果
Bayes 公式：从结果找原因
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
泊松分布——X~P(λ)
概率密度函数
怎样计算概率
均匀分布X~U(a,b)
指数分布X~Exp (θ)
分布函数
对离散型随机
变量 对连续型随机变量
分布函数与密度函数的重要关系：
二元随机变量及其边缘分布
分布规律的描述方法
联合密度
函数 联合分布函数
联合密度与边缘密度
)(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x
dt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 1),(0≤≤y x F
离散型随机变量的独立性
连续型随机变量的独立性
第三章
数学期望
离散型随机变量，数学期望定义
连续型随机变量，数学期望定义
E(a)=a ，其中a 为常数
E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数
E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量
随机变量g(X)的数学期望
常用公式
方差
定义式
常用计算
式
常用公式
当X 、Y 相互独立时：
方差的性质
D(a)=0，其中a 为常数
D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数
当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)
协方差与相关系数
协方差的性质
独立与相关
独立必定不相关 ∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=
相关必定不独立
不相关不一定独立
第四章
正态分布
标准正态分布的概率计算
标准正态分布的概率计算公式
一般正态分布的概率计算
一般正态分布的概率计算公式
第五章
卡方分布 t 分布
F 分布 正态总体条件下
样本均值的分布：
样本方差的分布：
两个正态总体的方差之比
第六章
点估计：参数的估计值为一个常数
矩估计
最大似然估计
似然函数 均值的区间估计——大样本结果
正态总体方差的区间估计
两个正态总体均值差的置信区间 ),(~2σμN X )(~)1,0(~212
n X N X n i i χ∑=，则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则
若χχ)
;(1θi n i x f L ∏==);(1θi n i x p L ∏==()22/1222/2)1()1(,ααχχ---S n S n 卡方分布的分位点
—样本方差—22/2αχS
大样本或正态小样本且方差已知
两个正态总体方差比的置信区间
第七章
假设检验的步骤
① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1
② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值
③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
不可避免的两类错误
第1类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设
第2类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设
单个正态总体的显着性检验
单正态总体均值的检验
大样本情形——Z 检验
正态总体小样本、方差已知——Z 检验
正态总体小样本、方差未知—— t 检验
单正态总体方差的检验
正态总体、均值未知——卡方检验
单正态总体均值的显着性检验
统计假设的形式
双边检验
左边检验
右边检验
单正态总体均值的Z 检验
0100::)1(μμμμ≠=H H
拒绝域的代数表示 双边检验 左边检验 右边检验
比例——特殊的均值的Z 检验 单正态总体均值的 t 检验 单正态总体方差的卡方检验 拒绝域 双边检
验 左边检验
右边检验 2
/αZ Z ≥αZ Z ≥2
2
/1222/2ααχχχχ-≤≥或αZ Z -≤
