第二十六章 二次函数
第1课时 26.1 二次函数
一、阅读教科书第2—3页上方 二、学习目标：
1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点：
一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 四、基本知识练习
1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3
2 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，
虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________．
2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．
3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对
应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2
（4）y ＝3x 3＋2x 2
（5）y ＝x ＋1
x
五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x
m
m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．
2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋1
2
B ． y ＝3 (x －1)2
C ．y ＝(x ＋1)2－x 2
D ．y ＝1
x
2 －x
3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米
4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之
间的关系式_______________________．
5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．
求：（1）函数y 与x 的函数关系式；
（2）当x ＝4时，y 的值；
（3）当y ＝－1
3
时，x 的值．
6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个
矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
六、目标检测
1．若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ） A ．a ＝1 B ．a ＝±1 C ．a ≠1 D ．a ≠－1
2．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝x 2－1
B ．y ＝x －1
C ．y ＝8
x
D ．y ＝8
x
2
3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．
4．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3．当x ＝2时，y ＝3，求 这个二次函数解析式．
第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质
一、阅读课本：P4—6上方
二、学习目标：
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．
三、探索新知：
画二次函数y＝x2的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
描点，并连线
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．3．自变量x的取值范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．
6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．
四、例题分析
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝1
2 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．
解：列表并填：
y ＝x 2的图象刚画过，再把它画出来．
归纳：抛物线y ＝1
2
x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的二次项系数a_______0；顶点都是
__________；
对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－1
2 x 2， y ＝－2x 2的图象．
列表：
归纳：抛物线y＝－x2，y＝－1
2x
2，y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是
________，
对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）．五、理一理
1
2
2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．
六、课堂训练 1
2．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m____________． 4．如图， ① y ＝ax 2 ② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2
比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接． ___________________________________
七、目标检测
1．函数y ＝3
7 x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x ＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y ＝mx
2
2 m 有最低点，则m ＝___________．
3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值 范围为___________．
4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．
第3课时二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
一、阅读课本：P6—7上方
二、学习目标：
1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；
3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．
三、探索新知：
在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．
解：先列表
描点并画图
观察图象得：
2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；
把抛物线y ＝x 2向_______平移______个单位，就得到抛物线y ＝x 2－1． 3．抛物线y ＝x 2，y ＝x 2－1与y ＝x 2＋1的形状_____________．
四、理一理知识点 1．
2．抛物线y ＝2x 2向上平移
3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线y ＝2x 2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
因此，把抛物线y ＝ax 2向上平移k （k ＞0）个单位，就得到抛物线_______________； 把抛物线y ＝ax 2向下平移m （m ＞0）个单位，就得到抛物线_______________． 3．抛物线y ＝－3x 2与y ＝－3x 2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，
由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的形状__________________．
五、课堂巩固训练
2．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线
解析式为_________________．
3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛
物线解析式____________________________．
4．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．
六、目标检测
2．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－1
3 x 2＋3向___________平移_________个单
位得到的．
3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．
4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．
第4课时 二次函数y ＝a(x-h)2的图象与性质
一、阅读课本：P7—8 二、学习目标：
1．会画二次函数y ＝a （x -h ）2的图象；
2．掌握二次函数y ＝a （x -h ）2的性质，并要会灵活应用； 三、探索新知：
画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y －1
2 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称
轴、顶点以及最值、增减性．
1
2．请在图上把抛物线y ＝－1
2
x 2也画上去（草图）．
①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－1
2 (x －1)2的形状大小____________．
②把抛物线y ＝－12 x 2向左平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－1
2 (x ＋1)2 ；
把抛物线y ＝－12 x 2向右平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－1
2 (x ＋1)2 ．
四、整理知识点
2．对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．
五、课堂训练
2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．
3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
4．将抛物线y＝－1
3(x－1)x
2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为
____________．
5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________________．
六、目标检测
1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
2．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则
m＝__________，n＝___________．
3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．
4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．
第5课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质
一、阅读课本：第9页． 二、学习目标：
1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质；
3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 三、探索新知：
画出函数y ＝－1
2 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增
减性．
由图象归纳：
2．把抛物线y ＝－1
2 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单
位，就得到抛物线y ＝－1
2 (x ＋1)2－1．
2．抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状___________，位置________________． 五、课堂练习
2．y＝6x2＋3与y＝6 (x－1)2＋10_____________相同，而____________不同．
3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝1
2x
2相同的解析式为（）
A．y＝1
2(x－2)
2＋3 B．y＝1
2(x＋2)
2－3
C．y＝1
2(x＋2)
2＋3 D．y＝－1
2(x＋2)
2＋3
4．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．
5．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．
6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．7．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为__________________．
六、目标检测
2．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）
A B C D
4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．
5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）
第6课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
一、阅读课本：第10页．
二、学习目标：
1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．
三、探索新知：
1．求二次函数y＝1
2x
2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．
解：将函数等号右边配方：y＝1
2x
2－6x＋21
2．画二次函数y＝1
2x
2－6x＋21的图象．
解：y＝1
2x
2－6x＋21配成顶点式为_______________________．
3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．
五、课堂练习
1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．
2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．
3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．
4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x ＝________时，y有_________值是___________．
六、目标检测
1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝1
2x
2－2－1的顶点坐标．
2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．
第7课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质
一、复习知识点：第6课中“理一理知识点”的内容． 二、学习目标：
1．懂得求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴、y 轴的交点的方法； 2．知道二次函数中a ，b ，c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响． 三、基本知识练习
1．求二次函数y ＝x 2＋3x －4与y 轴的交点坐标为_______________，与x 轴的交点坐标____________． 2．二次函数y ＝x 2＋3x －4的顶点坐标为______________，对称轴为______________． 3．一元二次方程x 2＋3x －4＝0的根的判别式△＝______________． 4．二次函数y ＝x 2＋bx 过点（1，4），则b ＝________________． 5．一元二次方程y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________， △＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________． 四、知识点应用
1．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点（含y ＝0时，则在函数值y ＝0时，x 的值是抛物
线与x 轴交点的横坐标）．
例1 求y ＝x 2－2x －3与x 轴交点坐标．
2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点（含x ＝0时，则y 的值是抛物线与y 轴交点的纵
坐标）．
例2 求抛物线y ＝x 2－2x －3与y 轴交点坐标．
3．a 、b 、c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响． （1）a 决定：开口方向、形状
（2）c 决定与y 轴的交点为（0，c ）
（3）b 与－b
2a
共同决定b 的正负性
（4）△＝b 2－4ac ⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000
例3 如图， 由图可得： a_______0 b_______0 c_______0
△______0
例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9．
①当k为何值时，对称轴为y轴；
②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点．
五、课后练习
1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______．
2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________．
3．如图：由图可得：
a_______0
b_______0
c_______0
△＝b2－4ac______0
六、目标检测
1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．
2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．
3．如图：
由图可得：a _________0
b_________0
c_________0
△＝b2－4ac_________0
第8课时二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法
一、阅读课本：第12～13页．
复习教学目标 1． 根据具体情境分析和建立两个变量之间的二次函数关系，能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。 2． 能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。 3． 理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，并能利用二次函数的相关知识解决实际问题。 复习教学过程设计 Ⅰ.【唤醒】 一、 填空 二次函数的知识结构(阅读) ?? ???????????? ?????????? ?????? ?++=+-=+==-==?????一元二次方程的近似根利用二次函数的图象求数的关系一元二次方程和二次函数一元二次方程和二次函点坐标公式二次函数的对称轴和顶 二次函数的图象用多种方式表示二次函数的定义实际问题情境二次函数所描述的关系 二次函数c bx ax y k h x a y c ax y ax y x y x y 2,2)(2,22,2 1．函数22)2(-+=m x m y ，当m_____时，该函数是二次函数；当m_____时，该函数是一次函数。 2．抛物线y ＝2x 2＋1的顶点坐标是______，对称轴是 ，当x ＝ 时，函数取得最 ___值为 ；二次函数y ＝2x 2－8x ＋1的顶点坐标是______,对称轴是___________,它的图象是由函数y ＝2x 2＋1沿着____轴向____平移______个单位，然后再沿着____轴向____平移______个单位得到。 二、 判断下列函数表达式中哪能些是二次函数（是二次函数打“√”若不是则打“×”）。 （1）y ＝3x －2 ( ) (2)y ＝2x 2－3x 3 （ ） （3）y ＝1－2x 2 ( ) (4) y ＝22-x ( ) （5）y ＝31 2-x ( ) (6) c bx ax y ++=2( )
《6.4 二次函数的应用（1）》讲学案 学习目标: 1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。 2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。 学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。 学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。 学习过程: 一、情景导学： 1、问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?问题1、总利润=×，单件利润=—。 2、在这个问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 3、根据前面的分析我们若设每个降价x元，总利润为y元，此时y与x之间的函数关系式是，化为一般式。这里y是x的函数。现在求最大利润，实质就是求此二次函数的最值，你会求吗？试试看。 二例题 1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？ 2.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是 x（10万 元） 0 1 2 … y 1 1 ．5 1 ．8 … （1）求y与x （2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式； （3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
人教版九年级数学下册第二十六章二次函数课时学案 26．1．二次函数学案一 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次例函数的概念；（2）、能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。二、学习重、难点 1．重点：理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次例函数的概念.。 三、教学过程 （一）、创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）．自主探究、合作交流： 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？ （三）．尝试应用：
例1: 关于x 的函数 m m x m y -+=2)1(是二次函数, 求m 的值. 注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2:已知关于x 的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.(待定系数法) （四）．巩固提高： 1．下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、若函数 为二次函数，求m 的值。 5、已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式. （五）、小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）、作业设计：26、1同步训练一 26.1二次函数学案二 一．学习目标： 1、会用描点法画出y=ax 2与 y=ax 2+k 的图象，理解抛物线的有关概念。 m m 22 1)x (m y --=
教具准 备 坐标小黑板一块课型新授课教学过 程 初备统复备 情境导入 我们已经知道，一次函数1 2+ =x y，反比例 函数 x y 3 = x y 3 =的图象分别是、，那么二次函数2x y=的图象是什么呢？ （1）描点法画函数2x y=的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？ （2）观察函数2x y=的图象，你能得出什么结论？ 实践与探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1）2 2x y=（2）2 2x y- = 共同点：都以y轴为对 称轴，顶点都在坐标原 点． 不同点：2 2x y=的图象 开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升． 2 2x y- =的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 注意点： 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
实践与探索2例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内． 解（1）由题意，得)0 ( 16 1 2> =C C S． 列表： 描点、连线，图象 如图26．2．2． （2）根据图象得 S=1 cm2时，正方 形的周长是4cm． （3）根据图象得， 当C≥8cm时，S≥ 4 cm2． 注意点： （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 2 4 6 8 … … 小结与作业课堂小结： 通过本节课的学习你有哪些收获？课堂作业： 课本P4 习题 1～4 家庭作业： 《数学同步导学九下》P4 随堂演练
第二十六章 二次函数 第1课时 26.1 二次函数 一、阅读教科书第2—3页上方 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3 2 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中， 虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对 应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1 x 五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋1 2 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝1 x 2 －x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之 间的关系式_______________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．
第一课 二次函数的相关概念 初三（ ）班 姓名： 学号： 2011年 月 日 学习目标： 1.通过对实际问题情景的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义。 2.了解二次函数的一般形式。 3.会求函数自变量的取值范围。 学习重点：通过对实际问题情景的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义。 学习过程： 一、试一试 1、正方体的棱长为x (cm),那么它的表面积 y (cm 2)与x 的关系式是___ _ _ 2、长方形的宽是x 厘米，长比宽多5厘米，面积为y 平方厘米，则y 与x 之间 的函数关系式为_____ __ 3、化工厂在一月份生产某种产品200吨，三月份生产y 吨，则y 与月平均增长 率x 的关系是_____ ____ 以上的问题中，函数都是用自变量的 次多项式表示的。 形如 2 y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的函数叫做二次函数。 二、练习： 1、下列函数中，哪些是二次函数？如果是二次函数的说出,,a b c 的值。 （1）34 y x =+ (2) 2 4y x =- (3) 3232y x x =+ (4) 2321y x x =+- (5) 267y x x =- (6) 2(1)y x x x =-+
2、已知函数 2y ax bx c =++ （1）当,,a b c 是怎样的数时，它是正比例函数? 答：__ _ （2）当,,a b c 是怎样的数时，它是一次函数? 答：_ ______ （1）当,,a b c 是怎样的数时，它是二次函数? 答：___ ____ 3、 当 m 时， (2)m y m x =-是二次函数 4、二次函数8)3(2+-=x x y 化为一般形式为 5、二次函数)2)(13(+-=x x y 化为一般形式为 6、如果函数a x x a y ++-=2)1(2是二次函数，那么a 不可以取（ ） Ａ 0 Ｂ 1 Ｃ ２ Ｄ ３ 7、如果函数122++=a x y 的图象经过点（-1,3），则a 的值为（ ） Ａ 0 Ｂ ４ Ｃ ２ Ｄ ６ 8、求不列函数中自变量x 的取值范围。 （1）12 y x =+ （2）y = （3） 2 463y x x =-+- （4） y = 9、n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，则比赛的场次m 与球队数n 之间的关系式是 ． 10、用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，求场地面积S(m 2)与矩形一边长a (m)的函数关系式（要求写出自变量a 的取值范围）。
第二十二章二次函数分析与教学建议 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排
人教版九年级数学专题复习 《二次函数》学习任务单及作业设计 第一课时 【学习目标】 1.会根据问题情境确定二次函数的表达式，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴等. 2.加深对二次函数的轴对称性和增减性的认识. 3.体会数形结合思想，提高分析问题的能力. 【学习准备】 准备好铅笔、直尺等画图工具。边观看边做记录。 【学习方式和环节】 观看视频课学习，适时控制播放，按老师指令完成相应的课上练习，学习环节主要有： 复习引入→知识梳理→例题讲解→跟踪练习→课堂小结。 【作业设计】 1.已知二次函数的图象经过A（0，3），B（2，3）两点.请 你写出一组满足条件的a，b的对应值：a=_______，b=__________. 2. 已知某抛物线上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的求对应值如 下表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为 x=1；③当 x＜1 时，函 数值 y随 x 的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的结论有(填 序号). 3.已知抛物线 （1）若将抛物线向左右移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，求平移后的抛物线的表达式；
（2）若将抛物线绕原点 O 旋转180°，则旋转后的抛物线的表达式. 4.抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，求t的值. 【参考答案】 1.答案不唯一，如 a=1，b=-2，由A（0，3），B（2，3）为对称点可求对称轴为 x=1，得 b=-2a. 2.①③正确 （0,1）和（3,1）为对称点，所以对称轴为 x=1.5，②错误，可求表达式，求出方程的根为，④错误. 3. 4.对称轴为 x=1，得交点为（-1,0）和（3,0），代入得t=-4. 第二课时 【学习目标】 1.会用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，建立知识之间的联系； 2.会利用函数图象解决问题，进一步体会数形结合思想； 3.通过二次函数与其他知识的综合，提高分析和解决问题的能力. 【学习准备】 准备好铅笔、直尺等画图工具。边观看边做记录。 【学习方式和环节】 观看视频课学习，适时控制播放，按老师指令完成相应的课上练习，学习环节主要有： 知识梳理→例题讲解→跟踪练习→课堂小结。
九年级数学下册 26.3 实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数（快乐预习+轻松尝试）导学案（1） 新人教版 学前温故 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条______；(2)对称轴是直线__________，顶点坐标为() ，；(3)①当a＞0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线上的最______点．②当a＜0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线上的最______点． 新课早知 1．因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(高)点，所以当x＝__________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值____________． 2．二次函数y＝2(x－1)2＋3的最大值是( )． A．2 B．1 C．3 D．－1 3．利用二次函数求最大利润时，如果列出的二次函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围内，则二次函数的最______就是所求的最大利润；当求得的二次函数图象的对称轴不在题目限定的自变量的范围内，我们先要搞清自变量的取值在对称轴______侧还是______侧，然后结合二次函数的增减性求出最大利润；当在不同的自变量取值范围内，函数表达式不同时，我们需要分段讨论，求出每种情况下的________，然后综合考虑．4．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多． 答案：学前温故 (1)抛物线(2)x＝－b 2a － b 2a 4ac－b2 4a (3)上低下高 新课早知 1．－b 2a 4ac－b2 4a 2.C 3．大值左右最大值 4．70 二次函数在利润方面的应用 【例题】某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件． (1)假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x 之间的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本) 分析：(1)降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，每件的销售利润为(13.5－x－2.5)， 所以y＝(13.5－x－2.5)(500＋100x)， 整理得y＝－100x2＋600x＋5 500(0≤x≤11)． (2)化成顶点式y＝a(x－h)2＋k时，能直接看出当x等于多少时，最值的大小． 解：(1)降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，y＝－100x2＋600x＋5
二次函数y ax2 的图像和性质 一、明确学习目标 1、会用描点法画出二次函数y ax 2 的图像，掌握二次函数y ax 2 性质。 2、经历研究二次函数y ax2 的图像与性质的过程，能运用二次函数y ax 2 的图像及性质解决简单的实 际问题，掌握数形联合的数学思想方法。 3、经过数学学习活动，领会数学与实质生活的联系，感觉数学的实质意义，激发学习兴趣。 二、自主预习 预习教材，填表绘图，并初步达成自主预习区。 三、合作研究 活动 1 研究y ax 2 ( a 0) 的图像 1、用描点法画y x2 的图像。 （1）用描点法绘图像往常有哪些步骤？（2）列表时，应注意什么问题？ x 3 21 0 1 2 3 y x2 （3）描点时应以哪些数值作为点的坐标？（4）连线时应注意什么？ 2、思虑与概括 让学生察看师生所画的图像，给出抛物线的观点。并说明：二次函数y x 2 的图像是一条抛物线，实质上， 二次函数的图像都是抛物线。 思虑：（1）思虑表格中的数据能否反应了一种规律？ （2）察看图像，这条抛物线有什么特点？请把你的发现说出来。
教师指引：任取一个x 的值，计算出相应y 的值，考证一下这个点对于y 轴的对称点能否也在这条抛物线上，进而给出抛物线的对称轴、极点等观点。 学生察看、研究、沟通、总结。 活动 2 y 1 x 2 ， y 2x 2 y x 2 在同一坐标系中画出函数 2 的图像与 的图像对比，有什么共同点和不一 样 点，学生议论后回答，教师点拨。 猜想：二次函数的张口方向是由什么决定的？张口大小的程度又是由谁决定的？ ，y 1 2 活动 3 研究：在同一坐标系中画出函数y x 2 2 x 和 y 2x 2 的图像，并考虑这些抛物线有 什么共同点和不一样点。 活动 4 进一步研究，抛物线y x 2 与y x 2 有什么关系？由此猜想y ax 2 与 y ax 2 的关系。 活动 5 小组议论 例 1 填空：①函数y ( 2x) 2 的图像是 _________，极点坐标是 _______，对称轴是 __________，张口方 向__________ 。 ②函数 y x 2 、y 1 x 2 2x 2 2 和 y 的图像如下图，请指出三条抛物线的分析式。 小组议论合作达成。 【教师小结】分析式需化为一般式，再依据图像特点解答，防止发生错误，抛物线y ax 2 中，当 a 0 时， __________ ；当 x=__________时，函数有最 __________ 值，值为 __________. 当a 0，__________，当x=__________时，函数有最 __________ 值，值为 __________. |a| 越大，张口越小，极点坐标为__________ ，对称轴是 __________。 m 2 m 4 例 2 已知函数y ( m 2)x 是对于 x 的二次函数。 ①求知足条件的m的值。 ②m为什么值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为什么值时， y 随 x 的增大而增大？
22．3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积 1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题． 一、情境导入 孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值． 二、合作探究 探究点：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化． (1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？ 解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x 2 ，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标． 解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2 ·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30. (2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2 ＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米． 方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系． 【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件
26章《第3课时 y=ax2+c 的图像与性质》教学案 教学目标： 1.知识与技能：掌握二次函数y=ax 2 +c 的图像与性质，能利用性质解决相关问题. 2.过程与方法：经历探究二次函数 y=ax 2+c 的图像做法和性质的过程，理解y=ax 2 与 y=ax 2 +c 的区别和联系，学会运用相关性质解决问题的方法. 3.情感态度与价值观：感受数学的严密和严谨性. 教学重点：理解并掌握二次函数y=ax 2 +c 的图像与性质. 教学难点：y=ax 2 与y=ax 2 +c 的图像变换. 教学过程 一、回顾复习： y=ax 2 的图像与性质. 二、探究新知： 1.在同一坐标系内作出y=21x 2，y=21x 2+1，y=2 1x 2 -2的图像，并观察三个图像的同异之 和不同点. 3.总结y=ax 2 与y=ax 2 +c 之间的平移规律. 三、应用新知 例1．（1）的顶点坐标是 ，对称轴是，开口方向 ，当x= 时，y 有最 值为 ，这是由y=2x 2 得到的。 （4）与抛物线 y=－15 42 -x 形状相同，开口方向相同，而顶点在抛 物线y=－15 4 2-x 的顶点 上方3个单位的抛物线所对 应 的 函 数 是： 。 函数y=－ 2 3 2x +c 的图象（5）已知函数y=ax 2 与 y=ax 2 沿对称轴平移2个 形状相同，且将抛物线2 3 2x +c 完全重合，则单位就得到与抛物线y=－a= ，c= 。 例2．如图，一次函数b ax y +=与二次函数b ax y -=2 在同一坐标系中的图象是（ ）. B C D 四、练一练
1．在平面直角坐标系中，抛物线2 ax y =与直线32+=x y 相交于B A ,两点，已知点A 的坐标是()m ,1-，则B 点坐标是（ ）. A 、()5,1 B 、()9,3 C 、()3,3-- D 、()1,1- 2．若抛物线()1214 4-+=-k kx y k 顶点位于x 轴上方，则=k . 3．把函数232 +-=x y 的图象沿x 轴对折，得到图象的函数解析式为 . 4．函数()042 ≠+=a ax y 与直线23+=x y 的图象交于点()b ,2，求：（1）a 和b 的 值； （2）求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标. 课堂小结 1.y=ax 2 +c 的图像与性质；2.平移规律.
二次函数与一元二次方程教案、学案一体化设计
联系实际，复习巩固(5分钟) （从现实情境和已有知识经验出发，加深对概念的理解.）自主探究1： 上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的 横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知 道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的 解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的 根. 自主探究2： 利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根 投影片是函数y=x2+2x-10的图象. 从图象上来看,二次函数y=x2+2x-10的图 x轴交点的横坐标一个在-5 象与 与-4之间,另一个在2与3之间,所以方程 x2+2x-10=0的两个根一个在-5 与 -4之间,另一个在2与3之间.这只是大概范围, 更接近于哪一个数呢?请大家 究竟 讨论解决. 题我们在前面已学习过了,即是用试 有关估算问 一试的方法进行的.既然一个根在 -5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分 位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把x=-4.1,-4.2,…,-4.9代入方程 进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是 方程的根(或近似根). 由于计算比较烦琐,所以大家可以用计算器进行计算. 从图象上看,x的取值应大于-4.5,所以可以只代入-4.1,-4.2,-4.3,-4.4这四个 数进行计算,利用计算器计算。 x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 学生复习为下面的探究打好基础。 探究2由学生自主探究后小组交流，对有困难 的学生教师可适当点拨。
22．1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质教案1 1．会用描点法画出y ＝ax 2 的图象，理解抛物线的概念． 2．掌握形如y ＝ax 2的二次函数图象和性质，并会应用． 一、情境导入 自由落体公式h ＝12 gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y ＝ax 2的图象 【类型一】图象的识别 已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( ) 解析：本题进行分类讨论：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2 的图象开口向上，函数y ＝ax 图象经过一、三象限，故排除选项B ；(2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2的图象开口向下，函数y ＝ax 图象经过二、四象限，故排除选项D ；又因为在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C. 方法总结：分a ＞0与a ＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”． 【类型二】实际问题中图象的识别 已知h 关于t 的函数关系式为h ＝12 gt 2(g 为正常数，t 为时间)，则函数图象为( )
解析：根据h 关于t 的函数关系式为h ＝12 gt 2，其中g 为正常数，t 为时间，因此函数h ＝12 gt 2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A. 方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义． 探究点二：二次函数y ＝ax 2的性质 【类型一】利用图象判断二次函数的增减性 作出函数y ＝－x 的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题： (1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2 九年级数学下册 26.1.1 二次函数（快乐预习+轻松尝 试）导学案 新人教版 学前温故 1．函数的基本概念：在一个变化过程中，有______变量x 和y ，并且对于x 每一个确定的值，y 都有__________的值与其对应，那么我们就说y 是x 的______，也可以说x 是________，y 是________． 2．一般地，形如y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 均为常数)的函数，叫做__________，当b ＝0时称y 为x 的________函数，正比例函数是一次函数中的______情况，可表示为________． 新课早知 1．二次函数的概念：一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函 数叫做二次函数，其中ax 2是二次项，______是一次项，c 是常数项，______是二次项系数， ______是一次项系数． 2．圆面积公式S ＝πR 2，S 与R 之间的关系是( )． A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．二次函数 D ．以上答案都不对 3．二次函数的三个特征：(1)函数关系式必须是______；(2)化简后二次函数的最高次数必须是______次；(3)二次项系数必须不为______． 4．函数y ＝(n －3)xn 2－7＋2x －1是二次函数，则n ＝__________. 答案：学前温故 1．两个 唯一确定 函数 自变量 因变量 2．一次函数 正比例 特殊 y ＝kx 新课早知 1．bx a b 2．C 因为系数是π≠0，次数是2次，所以为二次函数，故选C. 3．(1)整式 (2)2 (3)0 4．－3 函数是二次函数应满足⎩⎪⎨⎪⎧ n －3≠0，n 2－7＝2，解得n ＝－3，故填－3. 1．二次函数的概念 【例1】已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4＋2x ＋6是关于x 的二次函数，求满足条件的m 的值． 分析：由二次函数的概念，可以得到m 2＋m －4＝2，且m ＋2≠0，解得m ＝－3，或m ＝ 2. 解：根据题意可得，m 2＋m －4＝2，且m ＋2≠0， 解得m ＝－3，或m ＝2. 即满足条件的m 的值为m ＝－3，或m ＝2. 点拨：判断一个函数是否为二次函数，应根据二次函数的三个特征作出判断，缺一不可． 2．列二次函数关系式 【例2】某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量．但是如果多种树，树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)若设增种x 棵橙子树，果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． (2)y 与x 的函数关系式是几次函数，自变量x 的取值范围有何限制？ 22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 1．会用描点法画出y＝ax2＋k的图象． 2．掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用． 3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系． 一、情境导入 在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质 【类型一】y＝ax2＋k的图象与性质的识别 若二次函数y＝ax＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( ) A．a＝2 B．当x＜0，y随x的增大而减小 C．顶点坐标为(2，0) D．图象有最低点 解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，而顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C. 方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)，对称轴是y轴． 【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断 已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( ) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 解析：如图所示，选项A ：若y 1＝y 2，则x 1＝－x 2，所以选项A 是错误的；选项B ：若x 1＝－x 2，则y 1＝y 2，所以选项B 是错误的；选项C ：若0＜x 1＜x 2，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，则y 1＜y 2，所以选项C 是错误的；选项D ：若x 1＜x 2＜0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，则y 1＞y 2，所以选项D 是正确的． 方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线． 【类型三】识别y ＝ax 2 ＋k 的图象与一次函数图象 在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 与二次函数y ＝ax 2 ＋c 的图象大致为 ( ) 解析：当a ＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a ＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A ，C ，D ，故选B. 【类型四】确定y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2 的关系 抛物线y ＝ax ＋c 与y ＝－5x 的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0， 3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y ＝－5x 2 怎样得到的？ 解：抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－5x 2 的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a ＝－5.又 ∵其顶点坐标为(0，3)．∴c ＝3.∴y ＝－5x 2＋3.它是由抛物线y ＝－5x 2 向上平移3个单位得到的． 方法总结：抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2 开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到． 探究点二：二次函数y ＝ax 2 ＋k 的应用 【类型一】y ＝ax 2 ＋k 的图象与几何图形的综合应用 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2 ＋c (a ＜0)的图象过正方形ABOC 的 三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是________． 解析：二次函数y ＝ax 2 ＋c 与y 轴的交点为(0，c )，因此OA ＝c ，根据正方形对角线互 相垂直平分且相等，不难求得B (－c 2，c 2)、C (c 2，c 2)，因为C (c 2，c 2)在函数y ＝ax 2 ＋c 的图象 上，将点C 坐标代入关系式即可求出ac 的值． 解：∵y ＝ax 2 ＋c 与y 轴的交点为(0，c )，四边形ABOC 为正方形，∴C 点坐标为(c 2，c 2 )．∵ 九年级数学《二次函数》教案【优秀9篇】 备课是上好一堂课的前提。高水平的课，一定要靠课前认真备课。那么，老师备课要准备什么，才能上好一堂水平高的课呢？下面是整理的9篇《九年级数学《二次函数》教案》，希望朋友们参阅后能够文思泉涌。 二次函数教学教案参考篇一教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。 (二)能力训练要求 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。 2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。 3.通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。 (三)情感与价值观要求 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 2.具有初步的创新精神和实践能力。 教学重点 1.体会方程与函数之间的联系。 2.理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。 教学难点 1.探索方程与函数之间的联系的过程。 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 教学方法 讨论探索法。 教具准备 投影片二张 第一张：(记作§2.8.1A) 第二张：(记作§2.8.1B) 教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系。当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。 现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。 初中数学二次函数教案篇二教学准备 教学目标 1、知识与技能 (1)进一步理解表达式y=Asin(ωx+φ)，掌握A、φ、ωx+φ的含义；(2)熟练掌握由的图象得到函数的图象的方法；(3)会由函数y=Asin(ωx+φ)的图像讨论其性质；(4)能解决一些综合性的九年级数学下册 26.1.1 二次函数(快乐预习+轻松尝试)导学案 新人教版
人教版九年级数学下册精品教案1 二次函数y=ax2+k的图象和性质3个课时
2023最新-九年级数学《二次函数》教案【优秀9篇】
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