本科毕业设计(论文)
题目线性系统的状态反馈极点配置设计
学院名称电气工程与自动化学院
专业班级自动化08-1
学生姓名
导师姓名李敏
年月日
线性系统的状态反馈极点配置设计
作者姓名
专业自动化
指导教师姓名李敏
专业技术职务讲师
目录
摘要 (1)
第一章绪论 (3)
1.1课题背景及意义 (3)
1.2本论文研究的主要工作 (3)
第二章准备知识 (4)
2.1极点配置简介 (4)
2.2线性矩阵不等式LMI (4)
2.2.1线性矩阵不等式LMI基本变换引理 (5)
2.2.2 LMI工具箱介绍 (6)
第三章线性定常系统精确极点配置 (8)
3.1单输入精确极点配置问题 (9)
3.1.1问题描述 (9)
3.1.2解决方案： (9)
3.2多输入精确极点配置问题 (10)
3.2.1问题描述 (10)
3.2.2解决方案 (10)
3.3实例仿真 (10)
第四章线性定常系统的区域极点配置 (11)
4.1问题描述 (12)
4.2解决方案 (12)
4.3实例仿真 (13)
第五章线性定常系统具有圆域约束的区域极点配置.. 15 5.1问题描述 (15)
5.2解决方案 (15)
5.3实例仿真 (16)
结论 (18)
参考文献 (19)
致谢 (20)
摘要
现代控制理论源于20世纪60年代，以极大值原理、贝尔曼动态规划和卡尔曼滤波技术为形成标志，经典理论中以单一输入变量为研究对象，主要通过频率进行控制，现在控制理论以线性空间理论为基础，在时域中研究系统，能够定量的进行系统的分析和设计，随着计算机运算能力的发展，现代控制也在更多领域得到应用。控制系统是由受控对象和反馈控制器两部分组成的闭环系统，经典控制理论通常采用输出反馈，而现代控制理论多采用状态反馈。闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点所应具备的分布情况，把极点的配置作为系统的动态品质指标。这种把极点配置在某位置的过程称为极点配置。在空间状态法中，一般采用反馈系统状态变量或输出变量的方法，来实现系统的极点配置。本论文对线性定常系统状态反馈的精确极点配置、具有稳定裕度的区域极点配置和具有圆域约束的区域极点配置进行了研究，利用线性矩阵不等式LMI处理方法，编写系统MATLAB仿真程序。结果证明了设计方法的正确性和有效性。
关键词：线性系统状态反馈极点配置线性矩阵不等式
ABSTRACT
Modern control theory from the 1960s to the maximum principle, Bellman's dynamic programming and Kalman filtering techniques for the formation of the flag, the classical theory of a single input variable, mainly through the frequency control, and now control theory linear space theory, in the time domain system, the quantitative system analysis and design, with the development of computing power, modern control is also more areas to be applied. The control system is composed of two parts by the controlled object and the feedback controller closed-loop system, the classical control theory usually used to output feedback, and modern control theory, the use of state feedback. The distribution of the closed-loop system poles are determined by the stability of the system and dynamic quality. Therefore, according to the requirements of the system dynamic quality, the provisions of the poles of the closed-loop system should have the distribution, the configuration of the pole as the dynamic quality indicators. This pole assignment in the course of a location is known as the pole placement. In the space state law, the general feedback system state variables or output variables, to achieve the pole configuration of the system. This thesis is accurate linear time invariant systems state feedback pole placement with stable margin of regional pole placement and regional pole placement with a circular domain constraints have been studied using linear matrix inequality LMI approach, the preparation of the system MATLAB simulation program. The results proved the correctness and validity of the design method.
Keywords: linear systems; state feedback; pole placement; linear matrix inequalities.
第一章 绪论
1.1课题背景及意义
20世纪50年代以后，随着航天等技术发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显，它既不能满足实际需要，也不能解决理论本身提出的一些问题，这就推动了线性系统的研究，于是在1960年以后从经典阶段发展到现阶段。美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性两个基本概念。其研究问题的方法主要有时域状态空间分析法，线性二次型最优状态调节器法（Linear Quadratic Regulator ，简记为LQR ），状态观测器控制法，李雅普诺夫（Laypunov ）稳定性分析法以及极点配置法等。近年来，计算机技术的迅速发展给需要大计算量的现代控制提供了更好的发展空间，同时工业生产的高速发展，使得工程界对控制的要求也日益提高，由此也极大地推动了现代控制理论的发展和完善。
在控制理论与实践中的一个基本要求是设计反馈控制律，将闭环系统的极点配置在指定的位置上，从而保证闭环系统具有所要求的动态和稳态特性。由于模型的不确定因素和各种扰动的存在，使得精确极点配置的控制方式不可能得到真正的实现。实际设计中只要将闭环系统的极点配置在指定的区域内，就可以使系统获得满意的性能。近年来，对D 稳定理论的研究十分活跃，利用这一理论研究区域极点配置问题已取得一些成果，包括最优控制、鲁棒性、2H 性能、 H 性能等方面[1]。
在对系统的分析和设计中，首先要考虑的是系统的稳定性问题，而线性系统的稳定性与其极点的位置紧密相关，因此极点配置问题在系统设计中是很重要的。为此，需要根据分析和设计的目的，将系统极点配置在指定区域内或指定某个位置[2]。
1.2本论文研究的主要工作
本论文是对线性定常系统状态反馈区域极点配置的研究。其中，第一章简单说明该课题的背景及其研究意义，同时对本论文进内容行一定的介绍；第二章主要是对本论文研究过程中所涉及的知识的介绍及说明；第三章从单输入和多输入两种情况研究线性定常系统精确极点的配置；第四章研究线性定常系统中具有稳定裕度的区域极点配置；第五章研究线性定常系统具有圆域约束的区域极点配置
第二章 准备知识
2.1极点配置简介
所谓极点配置问题，就是通过反馈矩阵的选择，使闭环系统的极点，即闭环特征方程的特征值恰好处于所希望的一组极点位置上或者是某个区域内。由于希望的极点具有一定的任意性，因此极点的配置也具有一定的任意性。
对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点分布在虚轴上时，系统是临界稳定的；当极点的实部大于零时，系统是不稳定的。同时，系统动态响应的基本特性也依赖于极点的分布，若系统极点是负实数，则系统动态响应时非周期的，按指数规律衰减，衰减的快慢取决于极点的分布；若系统极点是具有负实部的共轭复数，则其动态响应是衰减振荡的，振荡的频率取决于极点的虚部，而振幅衰减的快慢由极点的实部决定。因此将系统极点配置在指定位置（这主要由综合问题中更为直观的性能指标，例如时域形式的过渡过程时间、超调量等和频域形式的增益稳定域度、相位稳定域度等，通过转换和经验估计，而具体地加以给出的），可以使系统满足性能指标的要求，从而改善系统的基本特性，具有实际的理论意义。在现代控制理论中，以状态空间描述和状态空间方法为基础，引入反馈和补偿器将闭环系统的极点配置在指定位置。显然，解决极点配置问题必须给出可配置条件和相应的配置方法。由于在控制理论中，主要的反馈形式有状态反馈和输出反馈两种。传统的输出反馈方法虽然也能改变系统极点的位置，但有很大的局限性，而采用状态反馈方法可以实现极点的任意配置。下面重点对状态反馈形式的极点配置问题行讨论。
状态反馈是控制理论中最基本的反馈形式之一。状态反馈就是采用线性系统的状态变量构成反馈律，进而改变系统矩阵，因此状态反馈具有改变系统结构属性和实现性能指标的功能。首先，状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。其次，由于状态反馈是系统结构信息的一种完全的反馈，因此状态反馈系统可以获得良好的动态性能。最后，当系统状态完全可测时，状态反馈控制器更易于实现。
2.2 线性矩阵不等式LMI
线性矩阵不等式LMI （Linear Matrix Inequality ）的研究最早可以追溯到1892年。李亚普诺夫矩阵不等式0<+PA P A T 实际上就是一个线性矩阵不等式LMI ，任意给定一个对称正定矩阵P ，求解李亚普诺夫方程0=+PA P A T ，即可得到不等式的一个可行解[3]。控制中的很多问题，由于复杂性的增加而不可能直接给出问题求解的解析表达式，但却可以将问题转化为线性矩阵不等式求解。因此，线性矩阵不等式的求解在控制系统的分析、设计中的地位是举足轻重的。1995年，
MathWorks 公司在其软件MATLAB 中推出了求解线性矩阵不等式问题的LMI 工具箱，从而使得人们能够更加方便和有效地处理和求解线性矩阵不等式，进一步推动了LMI 方法在系统和控制领域中的应用。到目前为止，LMI 在控制中应用主要具有以下特点。一是通用性，即一类系统分析与综合的问题可以通过LMI 的形式来解决，并且可以方便的添加约束条件；二是可解性，虽然我们通常不能找找一个系统或控制问题的解析解，但是如果要计算的问题具有凸函数的形式，可以得到有效的解决，大量的系统分析与综合问题都可以用LMI 的形式表示，根据有界实引理，最终转化为可解的凸问题。
在控制工程中，许多控制问题尤其是鲁棒控制问题，都可转化成一种称为线性矩阵不等式或带有线性矩阵不等式限制条件的最优化问题的求解。线性矩阵不等式一般形式如下：
0x )(m
1i i 0<+=∑=i L L x L （2.1）
其中m T m R x x x ∈=),...,(1是变量，m n T
i i R L L ?∈=，i =0，1，...m ，是已知的实对称阵。
实际应用时，通常遇到的LMI 并不呈现式（2.1）的形式，其中变量不是向量而是一个（或多个）实矩阵，但它可以等价地转化成式（2.1）形式。线性矩阵不等式的求解一般可归结为下列三类问题：
一、可行性问题
求p R x ∈使得0)(≤x L （2.2）
二、具有线性矩阵不等式限制条件的线性规划问题
x c T min 满足于0)(≤x L （2.3）
三、具有线性矩阵不等式限制条件的广义特征值最小化问题
λmin 满足于 ?????≥≥≥0)(0)(0)(x A x B x C （2.4）
在控制理论中，大多数控制问题都可以转化成上述三种矩阵不等式问题中一种。
2.2.1 线性矩阵不等式LMI 基本变换引理
在许多系统与控制问题中，我们需要将一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式，这时常常用到矩阵的Schur 补性质。考虑对称矩阵n n T R S S ?∈=，且
??????=22122111S S S S S （2.5）
假定r r R S ?∈11非奇异，则121
111222S S S S T --称为S 11在S 中的Schur 补。以下引理给出了矩阵的Schur 补性质。 引理2.1：（Schur Complement ） 对于给定的对称矩阵??
????=2221
1211S S S S S ，以下三个条件等价：
（1）0
0,01211122211<-
0,012122121122<-<-T S S S S S 在一些控制问题中，经常遇到二次矩阵不等式：
01<+++-Q P B PBR PA P A T T （2.6）
其中，A ，B ，0>=T Q Q ，0>=T R R 是给定的适当维数的常数矩阵，P 是对称矩阵变量，则应用引理2.1上述矩阵不等式的可行性问题可以转化为一个等价的矩阵不等式
0
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P 的线性矩阵不等式。该引理用于矩阵不等式的等价变换。
2.2.2 LMI 工具箱介绍
在 60 年代，已经提出了线性矩阵不等式，但由于求解形如式（2.2）～（2.4）所描述的线性矩阵不等式的算法还不够成熟。再加上求解量大，因而线性矩阵不等式在实际中未得到充分应用。近几年来，由于线性矩阵不等式的理论不断完善，求解算法也不断成熟，加上计算机的广泛应用，线性矩阵不等式的求解变得很方便，因此线性矩阵不等式在实际工程中尤其在控制工程理论中得到广泛的应用。线性矩阵不等式（LMI ）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。
由于用线性矩阵不等式求解控制理论中的问题是当今控制理论发展的一个重要方向，因此出现了许多计算机应用软件，其中以美国MathsWorks Inc 公司用C 语言开发的MATLAB 软件最为流行；到目前为止，已相继推出了几个版本，其中在MATLAB5.3、MATLAB6.0、MATLAB7.0 等版本中，增加了用于求解线性矩阵不等式的线性矩阵不等式控制工具箱。
线性矩阵不等式工具箱提供了在鲁棒控制设计中所遇到的最优化问题的解，同时给出了一个用于求解线性矩阵不等式的集成环境。由于这个工具箱功能强大
和友好的用户界面，因此可以开发自己的应用程序。LMI 工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于：
（1）以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式；
（2）获取关于现有的线性矩阵不等式系统；
（3）修改现有的线性矩阵不等式系统；
（4）求解三个一般的线性矩阵不等式问题；
（5）验证结果。
下面我们介绍LMI 工具箱中的几个重要函数：
（1）setlmis （[ ]）：初始化的LMI 系统。
（2）lmivar （type ，struct ）：增加新的矩阵变量X 到当前的LMI 系统中。其中，type (类型）：根据变量X 的不同类型设置（1~3），1表示矩阵变量X 为对称块对角阵，2表示矩阵变量X 为满秩阵，3表示矩阵变量X 为其它；struct （结构）：若type=1,则struct 的第i 行描述X 的第i 个块对角阵，其中struct （i ，1）代表块的大小，struct （i ，2）代表块的性质，如果是尺度块t *I ，则struct （i ，2）取0，如果是满块，则取1，如果是0块，则取-1。若type=2，假如X 是N M ?矩阵，则struct=[M ，N ]。若type=3,则struct 是一个与X 同维的矩阵，其中，struct （i ，j ）取值为：当X （i ，j ）=0，struct （i ，j ）=0，当X （i ，j ）为第n 个待求变量时，struct （i ，j ）=+n ，当X （i ，j ）为第n 个待求变量乘上（-1）时，struct （i ，j ）=-n 。
（3）lmiterm （termID ，A ，B ，flag ）：给定前描述的LMI 系统中的某个LMI 增加一项。其中，termID 为4输入向量，用来指定项的位置和性质。对于termID
（1）：若该项位于第n 个LMI 的左边，则termID （1）=+n ，若该项位于第n 个LMI 的右边，则termID （1）=-n 。对于termID （2：3）：若该项属于LMI 的第（i ，j ）块，则termID （2：3）=[i ，j ]，若该项属于外部因子，则termID （2：3）=[0 0]。对于termID （4）：若该项属于常数项，则termID （4）=0，若该项属于变量项B X A **，则termID （4）=m ，若该项属于变量项B X A T **：termID （4）=-m ，其中，m 为由函数lmivar 返回的变量X 的标识。A 可以是外部因子，常数项或者变量项B X A **或B X A T **的左系数，B 是变量项B X A **或B X A T **的右系数。flag ：设置flag='s'，在一个lmiterm 函数内快捷定义表达式T T T A X B B X A ****+。
（4）LMIs=getlmis ：如果系统已经用lmivar 和lmiterm 进行了完整描述，则返回这个LMI 系统的内部描述LMIs 。内部描述LMIs 能够直接传递到求解工具或者其它LMI-Lab 函数中去。
（5）[min t ，xfeas]=feasp （LMIs ，options ，target ）：求解LMI 系统定义的线性矩阵不等式约束条件问题的可行解。如果问题是可解的，则输出xfeas 将是待求向
量的可行值。给定)()(x R x L <的可解性问题，解决凸优化过程：
对：I t x R x L *)()(+<
求：minimize t
如果LMI 系统可解，则极小化值min t 将是负的。feasp 在每次迭代过程中给出t 的当前最佳值。LMIs ：LMI 约束的描述；options （选择项）：控制参数的5输入向量。Target （选择项）：min t 的目标值（缺省值=100）。一旦t （6）[copt ，xopt]=mincx （LMIs ，c ，options ，xinit ，Target ）：针对约束)()(x R x L <，极小化X c T 。其中，X 是待求变量。LMIs ：LMI 约束的系统描述；c ：与X 同维的向量；options （选择项）：控制参数的5输入向量；xinit （选择项）：X 的初始值。Target （选择项）：目标值，一旦可行的X 找到，即：X c T （7）[min t ，xopt]=gevp （LMIs ，nlfc ，options ，0t ，0x ，target ）：求解广义特征值最小化问题。对LMI 约束0)( 第三章 线性定常系统精确极点配置 对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点分布在虚轴上时，系统是临界稳定的；当极点的实部大于零时，系统是不稳定的。同时，系统动态响应的基本特性也依赖于极点的分布，若系统极点是负实数，则系统动态响应时非周期的，按指数规律衰减，衰减的快慢取决于极点的分布；若系统极点是具有负实部的共轭复数，则其动态响应是衰减振荡的，振荡的频率取决于极点的虚部，而振幅衰减的快慢由极点的实部决定。因此将系统极点配置在指定位置，可以使系统满足性能指标的要求，从而改善系统的基本特性，具有实际的理论意义。 3.1单输入精确极点配置问题 3.1.1问题描述 给定单输入线性定常系统,和一组理想极点，我们需要求取一个反馈增益矩阵K，使得系统的闭环极点恰好配置在这组理想极点上。 3.1.2解决方案： 引理(3.1)：采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是完全能控[5]。 由引理3.1可以得出： 若完全能控，必存在非奇异变换： 可以得出受控系统的传递函数为 加入反馈增益矩阵： 可求得对的闭环状态空间表达式： 然后得出闭环传递函数为： 即： 使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足： 由等式两边s同次幂系数对应相等，可解出反馈阵各项系数： 于是得： 最后把对应于的，通过如下变换得到对应于状态x的K： 算法步骤： 第一步：计算A的特征多项式， 第二步：计算由所决定的多项式，即 第三步：比较和各对应系数可以直接得出反馈增益据阵K 3.2多输入精确极点配置问题 3.2.1问题描述 给定多输入线性定常系统规范形再给定期望的一组特征值，我们需要要确定p×n的反馈增益矩阵K，使成立。 3.2.2解决方案 参见3.1.2 算法步骤： 第一步：计算由所决定的多项式，即 第二步：由可以反求得 第三步：计算 第四步：由于B和BK的值已知，可以求得K 3.3实例仿真 以单输入精确极点配置为例： 给定单输入线性定常系统 试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-2，-1+i, -1-i。 clear all; close all; A=[0,1,0;0,0,1;0,-2,-3] ; B=[0;0;1]; if rank(ctrb(A,B))==3 P=[-2,-1+j,-1-+j]; K=acker(A,B,P); else message('This system not controllable,can not pole allocation') end 运行结果如下： 状态反馈矩阵K=[4 4 1] 对应的控制律为 各状态下系统的零输入响应曲线如下图3-1所示[6]。 图3-1变量x下系统的零输入响应曲线 第四章线性定常系统的区域极点配置 在对系统的分析和设计中，首先要考虑的是系统的稳定性问题，而线性系统的稳定性与其极点的位置紧密相关。在综合考虑系统的各种性能时，如果系统极点配置在指定位置，则不能满足系统综合的要求，将系统极点配置在指定区域内。因此，D—极点配置问题是一个具有实际意义和吸引力的研究领域。 事实上，只要将闭环系统的极点配置在复平面上的一个适当的区域中，就可以保证系统具有一定的动态和稳态特性。对控制系统的设计，一些感兴趣的区域 有:保证状态响应具有衰减度α的半平面{}αα-≤?=)Re(:s C s D （0>α）、垂直条状区域、圆盘、扇形区域等。Gutman 和Jury （1981）针对一类相当一般的区域和一个给定的正方矩阵，用含有一个矩阵变量的矩阵方程的可行性给出了该矩阵的所有特征值均在所考虑的区域中的充分必要条件。 下面介绍一类可以用一个线性矩阵不等式刻画的区域，称为LMI 区域。可以证明，一个矩阵的特征值均在这样一个LMI 区域中的充分必要条件是一个适当的线性矩阵不等式是可行的，从而可以借助求解线性矩阵不等式的有效方法来方便地求解系统极点的分析和区域极点配置问题[8]。 4.1问题描述 对于已知线性定常系统 ，希望闭环极点均配置在s=-1线的左侧，试设计状态反馈矩阵K ，当给定一个系统初始条件0x 时，将系统的极点配 置在指定区域内。 4.2解决方案 我们需要设计这样一个控制器，使其闭环系统的极点均位于s 平面的s α-=线左侧，其中0>α。 引理4.1：矩阵A 的所有特征值均在区域αD 中的充分必要条件是存在一个对称正定矩阵 0>X 使得下式成立： 02<++X XA AX T α 对于系统，我们希望寻求一个状态反馈控制 )()(t Kx t u -= （4.2） 将闭环系统的极点配置在区域αD 内，由定理4.1不难得出如下推论： 定理：系统在状态反馈（4.2）控制下，其闭环系统所有极点在复平面区域αD 内，当且仅当以下LMI ： 0)()(<--+++T T Q B BQ I A X X I A αα （4.3） 有矩阵解0>=T X X 和Q 。其中KX Q =，K 为状态反馈增益矩阵。 证明：将式（4.1）中的矩阵A 替换成BK A -得 02)()(<+-+-X BK A X X BK A T α 整理得 0)()()(<--+++T T BKX BKX I A X X I A αα 令KX Q =，则上式为： 0)()(<--+++T T T Q B BQ I A X X I A αα 故推论成立。 算法步骤： （1）根据对系统性能的要求，选取适当的参数，即确定区域αD ； （2）应用MATLAB 工具箱求解推论中的线性矩阵不等式（4.3），得到X 和Q ； （3）利用公式1-=QX K ，求出状态反馈增益矩阵； （4）得出控制律Kx u -=，作用于系统。 4.3实例仿真 对于已知线性定常系统 假设其参数分别为： ??????????--=320100010A ，???? ??????=100B ，[]001=C 。 希望闭环极点均配置在s=-2线的左侧，试设计状态反馈矩阵K ，当系统初始条件为[]2.0;3.0;5.00=x 时，画出其零输入响应曲线及系统的极点分布图。 根据4.2小节中提出的设计方法，下面利用MATLAB 的LMI 工具箱为上述系统进行仿真，程序如下： clear all; close all; A=[0,1,0;0,0,1;0,-2,-3] B=[0;0;1]; C=[1,0,0] a=2; setlmis([]); X=lmivar(1,[length(A),1]); Y=lmivar(2,[1,3]); lmiterm([1,1,1,1],2*a,1); lmiterm([1,1,1,1],A,1,'s'); lmiterm([1,1,1,2],-B,1,'s'); lmiterm([2,1,1,1],-1,1); lmis=getlmis; [tmin,xfeas]=feasp(lmis); X=dec2mat(lmis,xfeas,1) Y=dec2mat(lmis,xfeas,2) K=Y*inv(X) 通过以上程序得出： 状态反馈矩阵： K=[97.8377 58.1864 7.9723] 对应的控制律为： 3219723.71864.588377.97x x x u ---= 各状态下系统的零输入响应曲线如图4-1所示，系统的极点分布如图4-2所示[7]。 图4-1变量的零输入响应曲线 图4-2 系统的极点分布图 从图4-2可以看出，闭环系统的极点都位于左复半平面α=-2左侧。仿真结果验证了设计方法的有效性。 第五章 线性定常系统具有圆域约束的区域极点配置 用满意控制思想解决实际工程问题时，常常要将系统的闭环极点配置到期望的区域内，以使系统有着满意的动态性能。圆域极点配置是指将一个系统的所有闭环极点配置在一个给定的圆域内。众所周知，线性系统的瞬时响应与其极点的位置密切相关，只有将闭环系统的极点配置在一个合适的圆域内，就能保证系统具有一定的动态性能和稳态性能[9]。 5.1 问题描述 对于已知线性定常系统 ，我们希望把系统的闭环极点配置在以一个指定的圆形区域中，试设计状态反馈矩阵K ，当给定系统的初始条件时， 将系统的极点配置在指定圆形区域内。 5.2解决方案 引理5.1：设A 是任一方阵，),()(r q D A ?σ当且仅当存在矩阵0>=T X X ，使得 0 成立，其中)(A σ表示矩阵的特征值。 对于系统，我们希望寻求一个状态反馈控制 )()(t Kx t u -= 将闭环系统的极点配置在区域D （q ，r ）内，由该定理不难得出如下推论： 定理：系统在状态反馈（5.1）控制下，其闭环系统所有极点在复平面区域D （q ，r ）内，当且仅当以下LMI ： 0)()( ????--+-+-rX B Y qI A X BY X qI A rX T T T （5.2） 有矩阵解0>=T X X 和Y 。其中KX Y =，K 为状态反馈增益矩阵。 证明：将式（5.1）中的矩阵A 替换成BK A -得 0)()( BK A X qX X BK A rX T 整理并引入一个新的变量KX Y =，可知推论成立。 算法步骤： （1）根据对系统性能的要求，选取适当的参数，即确定区域D （q ，r ）； （2）应用MATLAB 工具箱求解推论中的线性矩阵不等式（5.2），得到X 和Y ； （3）利用公式1-=YX K ，求出状态反馈增益矩阵； （4）得出控制律Kx u -=，作用于系统。 5.3实例仿真 对于已知线性定常系统 假设其参数分别为： ??????????--=320100010A ，??????????=100B ，[]001=C 。 希望的闭环极点配置在以-2为圆心，半径为2的圆内，试设计状态反馈矩阵K ，当系统初始条件为[]2.0;3.0;5.00=x 时，画出其零输入响应曲线及系统的极点分布图。 根据5.2小节中提出的具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计方法，下面利用MATLAB 的LMI 工具箱为上述系统进行仿真，程序如下： clear all; close all; A=[0,1,0;0,0,1;0,-2,-3] B=[0;0;1]; C=[1,0,0] r=2; q=2; setlmis([]); X=lmivar(1,[length(A),1]); Y=lmivar(2,[1,3]); lmiterm([1,1,1,1],-r,1); lmiterm([1,2,2,1],-r,1); lmiterm([1,1,2,1],A+q*eye(3),1); lmiterm([1,1,2,2],-B,1); lmis=getlmis; [tmin,xfeas]=feasp(lmis); X=dec2mat(lmis,xfeas,1) Y=dec2mat(lmis,xfeas,2) K=Y*inv(X) 通过以上程序得出： 状态反馈矩阵： K=[1.0503 1.3608 0.1784] 对应的控制律为： 3211784.03608.10503.1x x x u ---= 各状态下系统的零输入响应曲线如图5-1所示，系统的极点分布如图5-2所示。
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