最新复旦附中-第二学期高一数学期中考试试卷

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．用∈或∉填空：0φ.2．实数a ，b 满足31a -≤≤，13b -≤≤，则3a b -的取值范围是．3．若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是．4．命题“1x >”是命题“11x <”的条件.5．已知0x >，则812x x --的最大值为.6．已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为．7．已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a b +=．8．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为.9．若函数()f x 满足R x ∀∈，()()11f x f x +=-，且1x ∀，[)21,x ∈+∞，()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是.10．已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--≤>，若A B ⋂中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是．11．已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b++的最小值是.12．如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，90ABO DCO ∠=∠=︒，则x 的取值个数为.二、单选题13．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．2(),()x f x x g x x==B ．()(),()()f x x x R g x x x Z =∈=∈C ．,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩D．2(),()f x x g x ==14．设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（）A ．(x 1+x 2)∈A B ．(x 1﹣x 2)∈A C ．(x 1x 2)∈A D ．12x x ∈A 15．如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（）A．B．C ．D ．16．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()i A ϕ ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③三、解答题17．已知关于x 的不等式122x a -≤的解集为集合A ，40x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭.(1)若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求a 的取值范围.(2)若A B =∅ ，求a 的取值范围.18．已知函数()211y m x mx =+-+．(1)当5m =时，求不等式0y >的解集；(2)若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．19．某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <≤且R a ∈）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112x x x f x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨-⎪∈⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．(1)若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．20．对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.(1)求函数23y x x =--的不动点；(2)若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；(3)若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间0,2上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.21．对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n n n A a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅均为非负整数，且}12n a a a n ++⋅⋅⋅+=，集合(){1212,,,,,,n n n B b b b b b b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅均为非负整数，且}122n b b b n ++⋅⋅⋅+=．设()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，()12,,,n n b b b B β=⋅⋅⋅∈，若对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅都有i i a b ≤，则记αβ ．(1)写出集合2A 和2B ；(2)证明：对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ ；(3)设集合(){},,,n n n S A B αβαβαβ=∈∈ 求证：n S 中的元素个数是完全平方数．。

高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，那么x 等于 .2.2lg 3lg 91lg 27lg8lg 1000lg 0.3lg1.2-+-= .3.若21a b a >>>，则log ,log ,log bb a ba b a的大小顺序是 . 4.函数()212log 617y x x =-+的值域是 . 5．函数223y x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是 .6.若方程()22log 222ax x -+=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，则实数a 的取值范围是 .7.已知一个扇形的周长为6，该扇形的中心角为1弧度，则该扇形的面积是 . 8.已知点()sin cos ,tan P θθθ-在第一象限，则在[]0,2π内θ的取值范围是 . 9.已知()1sin 34πθ+=，求()()()()()()cos cos 2cos 2cos cos cos cos 1πθθπθππθθθπθ+-+=+++-+-⎡⎤⎣⎦ .10.已知tan 1tan 1αα=--，则sin 3cos sin cos αααα-=+ .11.求值：4466sin cos 1sin cos 1αααα+-=+- . 12.函数()f x 满足()()1cos 02f x x x π=≤≤，则4sin3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. 13.若()()54cos ,sin ,,,0,13522ππαβααβπ⎛⎫-==-∈-∈ ⎪⎝⎭，则cos β= . 14.若sin sin sin 0,cos cos cos 0αβγαβγ++=++=，则()cos αβ-= .二、选择题：15．已知221,0,0x y x y +=>>，且()1log 1,log 1a ax m n x+==-，则log a y 等于 A. m n + B. m n - C. ()12m n + D.()12m n -16．函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象关于 A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称 D.直线y x =对称 17．已知()()log 10,1a g x x a a =+>≠，在()1,0-上有()0g x >，则()1x f x a+=在A.(),0-∞上递增B.(),0-∞上递减C.(),1-∞-上递增D. (),1-∞-上递减 18=，则α的终边在A. 第一象限B.第二象限C. 第一或第三象限D.第二或第四象限 19．锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，则角α的弧度数为 A. 3π- B. 3π- C. 32π- D.3220．如果θ是第一象限角，那么恒有 A. sin02θ> B. tan12θ< C. sincos22θθ> D.sincos22θθ<三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21.已知1sin cos 3αα+=，其值：（1）sin cos αα； （2）33sin cos αα+ （3）55sin cos αα+.22.已知()()2121x x a f x a R ⋅-=∈+是R 上的奇函数.（1）求a 的值； （2）求()f x 的反函数；（3）对任意()0,k ∈+∞的解不等式()121log xf x k-+>.23.已知α是锐角.（1）如果()tan cot 3log sin 4ααα-=-，求tan log cos αβ的值；（2）如果7sin sin 8αβ=，且1tan tan 4αβ=，求csc α的值.22.已知函数()()()log 30,1a f x x a a a =->≠，当点(),P x y 是函数图象上的点时，点()2,Q x a y --是函数()y g x =的图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；（2）当[]2,3x a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，试确定a 的取值范围.上海市高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 半径为2，圆心角为300°的圆弧长为2. 函数|tan |y x =的对称轴是3. 在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴重合，终边在直 线3y x =上，则sin 2θ=4. 求函数()sin(2)3f x x π=-+的单调递减区间5. 若锐角α、β满足3cos 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β= 6. 已知函数2()lg(tan 1)9f x x x =--()f x 的定义域是7. 若长度为24x +、4x 、26x +的三条线段可以构成一个锐角三角形，则x 的取值范围是8. 若函数()2sin f x x ω=（01ω<<）在区间[0,]3π2，则ω=9. 如图所示，在塔底B 处测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高20AB =米， 则山高DC = 米 10. 函数sin cos 1sin cos x xy x x+=+的值域为11. 已知333()sin cos 4f x a x x x =++（,a b R ∈）， 且(sin10)5f ︒=，则(cos100)f ︒=12. 设a 、b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()cos g x b x =+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=二. 选择题13. 若MP 和OM 分别是角76π的正弦线和余弦线，则（ ） A. 0MP OM << B. 0OM MP >>C. 0OM MP <<D. 0MP OM >>14. 已知,(0,)2παβ∈，则下列不等式一定成立的是（ ）A. sin()sin sin αβαβ+<+B. sin()sin sin αβαβ+>+C. cos()sin sin αβαβ+<+D. cos()cos cos αβαβ+>+ 15. 把函数sin 2y x =的图像沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标 不变）后得到函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =有以下四个判断：① 该函数的解析式为2sin(2)6y x π=+；② 该函数图像关于点(,0)3π对称；③ 该函数在[0,]6π上是增函数；④ 若函数()y f x a =+在[0,]2πa =其中正确的判断有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 定义在区间[3,3]ππ-上的函数sin |2|y x =与cos y x =的图像的交点个数为（ ） A. 12个 B. 14个 C. 16个 D. 18个三. 简答题17. 已知7cos(23)25θπ-=，且θ是第四象限角； （1）求cos θ和sin θ的值；（2）求3cos()sin()22tan [cos()1]tan()cos()ππθθθπθπθθ--++---的值；18. 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =++； （1）若1tan 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；19. 设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，且满足1cos 2a C cb +=；（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围；20. 函数()y f x =满足(3)(1)f x f x +=-，且对于12,(2,)x x ∈+∞，有1212()()f x f x x x ->-成立，若222(cos 22)(sin 32)f m f m m θθ++<+--对R θ∈恒成立； （1）判断()y f x =的单调性和对称性； （2）求m 的取值范围；21. 已知函数()f x 、()g x 满足关系()()()2g x f x f x π=⋅+；（1）设()cos sin f x x x =+，求()g x 的解析式；（2）当()|sin |cos f x x x =+时，存在12,x x R ∈，对任意x R ∈，12()()()g x g x g x ≤≤恒成立，求12||x x -的最小值；参考答案一. 填空题 1. 103π 2. ,2k x k Z π=∈ 3. 35 4. 5[,],1212k k k Z ππππ-+∈5.3365 6. 3(,)(,)4242ππππ--U 7. 1(2 8. 349. 30+[1,1]- `11. 3 12. 4二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. B三. 简答题17.（1）3cos 5θ=，4sin 5θ=-；（2）94；18.（1）1710；（2）最小正周期T π=，单调增区间：3[,],88k k k Z ππππ-+∈； 19.（1）3π；（2）(2,3]l ∈； 20.（1）对称轴2x =，单调减区间(,2)-∞，单调增区间(2,)+∞；（2）m ∈； 21.（1）()cos 2g x x =； （2）2π；上海市高一第二学期期中考试数学卷一. 填空题1. 弧度数为3的角的终边落在第 象限2. 2233cos sin 88ππ-= 3. 若函数()sin 3cos f x a x x =+的最大值为5，则常数a =4. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若18a =，460a a +=，则8S =5. 在ABC ∆中，23A π∠=，3a c =，则ab= 6.函数sin 3y x x =-的图像可由函数3cos y x x =+的图像至少向右平移 个单位长度得到7. 方程3sin 1cos2x x =+的解集为8. 已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=-，则tan()4πθ-=9. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成， n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n N ∈，{1,3}n S ∈，则k 的最大值为10. 在锐角ABC ∆中，若sin 3sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是二. 选择题 11. 已知10sin 10α=，5sin()5αβ-=-，,(0,)2παβ∈，则β=（ ） A.512π B. 3π C. 4π D. 6π12. 函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则（ ）A. 2sin(2)6y x π=-B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin(2)6y x π=+D. 2sin(2)3y x π=+13. “sin 0α<”是“α为第三、四象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ≤），4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =的图像的对称轴，且()f x 在5(,)836ππ单调，则ω的最大值为（ ）A. 11B. 9C. 7D. 5三. 简答题15. 在ABC ∆中，222a c b +=； （1）求B ∠的大小；（2）求cos A C +的最大值；16. 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S （*n N ∈），且123112a a a -=，663S =； （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列2{(1)}n n b -的前2n 项和；17.已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]44ππ-上的单调性与最值；18. 已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值；参考答案一. 填空题1. 二2. 2-3. 4±4. 8 6. 2π 7. {|(1)},6k x x k k Z ππ=+-⋅∈ 8. 43 9.4 10. 12二. 选择题11. C 12. A 13. B 14. B三. 简答题 15.（1）4π； （2）1； 16.（1）1*2()n n a n N -=∈； （2）222n T n =； 17.（1）定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，T π=；（2）单调递增：[,]124ππ-，单调递减：[,]412ππ--，最大值为1，最小值为2-； 18.（1）π或3π； （2）[arctan； （3）19；高一年级下学期期中考试数学试卷二、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）3. 若函数()231,3log ,3x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，则()()9f f = .4. 函数()()log 230,1a y x a a =-+>≠的图象恒过一定点_________. 3.若3cos α=，则2tan α= . 4.135o的圆心角所对的弧长为3π，则圆的半径是 . 5．已知11sin ,sin 32αβ==，则()()sin sin αβαβ+⋅-= . 6.已知5sin 13θ=-，且θ是第三象限角，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .7.已知角α的终边在13y x =上，则sin α= . 8.已知1sin cos 2αα+=-，则22tan co t αα+= .9.若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值等于 . 10.若tan 2α=，则222sin sin cos cos αααα-+= . 11.设函数()y f x =存在反函数()1y fx -=，且函数()y x f x =-的图象经过点()2,5，则函数()13y f x -=+的图象一定过点 .12.已知()sin 21,,22f x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，那么()cos10f = . 13.函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为 .14.设,αβ为锐角，且满足()22sinsin sin αβαβ+=+，则αβ+= .15.已知225sin sin 3sin αβα-+=，则函数22sin sin y αβ=+的最小值为 .16．下列4个命题中：（1）存在()0,x ∈+∞，使不等式23xx<成立；（2）不存在()0,1x ∈，使不等式23log log x x <；（3）任意的()0,x ∈+∞，使不等式2log 2x x <成立；（4）任意的()0,x ∈+∞，使不等式21log x x<成立.其中正确的命题个数是（ ） A. （1）（3）B. （1）（4）C. （2）（3）D.（2）（4）17．角α的终边在第三象限，那么3α的终边不可能在的象限是第（ ）象限 A. 一B. 二C. 三D. 四18．tan ,tan αβ是一元二次方程240x ++=的两根，,,02παβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，那么()cos αβ+等于（ ）B. -C. 12- D.1219．若定义在()(),11,-∞+∞U 上的函数()y f x =满足()()11f x f x +=-，且当()1,x ∈+∞时，()231x f x x -=-则下列结论中正确的是（ ） A.存在t R ∈，使()2f x ≥在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立 B. 存在t R ∈，使()02f x ≤≤在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立 C. 存在t R ∈，使()f x 在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数 D. 存在t R +∈，使()f x 在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数 20．设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()1122341x x x x x ++的取值范围是（ ） A. ()3,-+∞ B. (]3,3- C. [)3,3- D. (),3-∞21.已知()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求β的值.22.已知sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两根322πθπ<<，求角θ.23.扇形AOB 的中心角为2,0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆1O 与圆1O 外切，与,OA OB 相切的圆2O ，问sin θ为何值时，圆2O 的面积最大？最大值是多少？24. 设函数()()0,1x x f x ka a a a -=->≠是奇函数. （1）求常k 数的值； （2）若()813f =，且函数()()222x xg x a a mf x -=+-在区间[)1,+∞上的最小值为-2，求实数m 的值.25.若函数()f x 的定义域为R,满足对任意12,x x R ∈，有()()()1212f x x f x f x +≤+,则称()f x 为“V 形函数”.若函数()g x 定义域为R ，恒大于0，且对任意12,x x R ∈，恒有()()()1212lg lg lg f x x f x f x +≤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则称()g x 为“对数V 形函数”.（1）当()2f x x =时，判断()f x 是否是“V 形函数”并说明理由；（2）当时()52xg x =+判断()g x 是否是“对数V 形函数”，并说明理由；（3）若函数()f x 是“V 形函数”，且满足对任意x R ∈都有()2f x ≥，问()f x 是否是“对数V 形函数”？请加以证明，如果不是，请说明理由.参考答案一、填空题1、52、(3,3)3、24、45、536-6、7、 8、469 9、13 10、75 11、()3,5- 12、217π- 13、27 14、2π 15、0二、选择题16. A 17. B 18. C 19. C 20. B 三、解答题21、3π22、53π23、sin θ为13时，圆2O 的面积最大，最大值是64π 24、（1）1k =；（2）2512m =25、（1）不是，理由略；（2）是，理由略；（3）是，理由略高一年级第二学期数学学科期中考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若43a =，则7S =__________. 2．若34π的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为 ． 3．方程2cos 10x +=的解集是__________．4. 设1cos 9θ=，则sin 2θ的值为__________．5．函数sin y x =233x ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的值域为___________．6．设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()cos f x x =，则当0x <时，()f x 的解析式为_______________.7．若等比数列{}n a 的前n 项和23n n S r =⋅+，则r =___________． 8. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶角是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈26ππα，.将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B .若点A 的横坐标为31，则点B 的横坐标为________. 9．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若将函数()f x 的图像向左平移a ()0a π<<个单位，所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合是__________________．10.已知数列{}n a 满足()*111,2n n n a a a n N +==∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =____________．11．已知数列{}n a 满足511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是 ．12．已知函数()74sin 20,66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的图像与直线y m =的三个交点的横坐标分别为()123123,,x x x x x x <<，那么1232x x x ++的值是__________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足242++=n n S n ，则345a a a ++= （ ） A. 10 B ．11 C ．33 D ．3414．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的 ( ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件15．有下列四个命题：①只有在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，正弦函数()sin f x x =才有反函数；②()()sin arcsin f x x =与()()sin sin g x arc x =是同一函数；③若函数()1tan 3y ax =的最小正周期为π，则1a =；④函数()sin cos 1f x x x =-的最小正周期为π. 其中正确的命题个数为 （ ） A. 0 B ．1 C ．2 D ．316．对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1280111...S S S +++=（ ） A ．2323140 B ．5241280 C ．2603140 D ．5171280三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分14分)设1tan 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知等比数列{}n a 满足：公比()0,1q ∈，且1524257,116a a a a +=⋅=. 三、求数列{}n a 的通项公式；（2）设点(),n n a b 在函数()()2log 01f x x a a =>≠且的图像上，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值，并求出此时的n .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()()()cos 0,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. 5. 求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分. 如图，公路AM AN 、围成的是一块角形耕地，其中顶角A 满足tan 2A =-.在该土地中有一点P ，经测量它到公路AM AN 、的距离分别为3km .现要过点修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业区． （1）用sin ,sin B C 来表示BC ；（2）为尽量减少耕地占用，问AB 等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用部分自然数构造如图的数表：用()ij a i j >表示第i 行第j 个数(),i j N ∈，使得1i ij a a i ==，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第()*n n N ∈行中的各数之和为n b .（1）已知()*1n n b pb q n N +=+∈，求23,,,b b p q 的值；（2）令2n n c b =+，证明：{}n c 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；（3）数列{}n b 中是否存在不同的三项()*,,,,p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列？若存在，求出,,p q r 的关系，若不存在，说明理由.122343477451114115 ......第二学期高一年级数学学科期中考试参考答案 （考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若43a =，则7S =__________.4 2．若34π的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为 ． 21 3．方程2cos 10x +=的解集是__________．22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭4. 设1cos 9θ=，则sin 2θ的值为__________．23±5．函数sin y x =233x ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的值域为___________． 32⎛⎤- ⎥ ⎝⎦6．设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()cos f x x =，则当0x <时，()f x 的解析式为_______________.()()cos 0f x x x =-<7．若等比数列{}n a 的前n 项和23n n S r =⋅+，则r =___________．2- 8. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶角是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈26ππα，.将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B .若点A 的横坐标为31，则点B 的横坐标为________.1266- 9．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若将函数()f x 的图像向左平移a ()0a π<<个单位，所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合是________．2,36ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭10.已知数列{}n a 满足()*111,2n n n a a a n N +==∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =____________．1009323⨯-11．已知数列{}n a 满足511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是 ．17,212⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数()74sin 20,66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的图像与直线y m =的三个交点的横坐标分别为()123123,,x x x x x x <<，那么1232x x x ++的值是__________.53π二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足242++=n n S n ，则345a a a ++= （ C ） A. 10 B ．11 C ．33 D ．3414．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的 ( A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．有下列四个命题：①只有在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，正弦函数()sin f x x =才有反函数；②()()sin arcsin f x x =与()()sin sin g x arc x =是同一函数；③若函数()1tan 3y ax =的最小正周期为π，则1a =；④函数()sin cos 1f x x x =-的最小正周期为π. 其中正确的命题个数为 （ A ） A. 0 B ．1 C ．2 D ．316．对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1280111...S S S +++=（ B ） A ．2323140 B ．5241280 C ．2603140 D ．5171280三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分14分)设1tan 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.解：1tan 1tan tan 241tan 3παααα+⎛⎫+==-⇒=- ⎪-⎝⎭Q . 2222tan 41tan 3sin 2,cos 1tan 51tan 5αααααα-∴==-==-++1sin 22sin 232πααα⎛⎫∴-=-=⎪⎝⎭18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知等比数列{}n a 满足：公比()0,1q ∈，且1524257,116a a a a +=⋅=. 四、求数列{}n a 的通项公式；（2）设点(),n n a b 在函数()()2log 01f x x a a =>≠且的图像上，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值，并求出此时的n .解：（1）由11511551552425712571161616111116a a a a a a a a a a a a =⎧⎧⎧⎧+==+=⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎪⋅==⋅=⎩⎩⎩⎩或 又()110,1,16,4q a q ∈∴==Q ()1*1164n n a n N -⎛⎫∴=⋅∈ ⎪⎝⎭（2）由题意，()()()162*2221log log 16log 2624n n n n b a n n N --⎡⎤⎛⎫==⋅==-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦{}n b ∴是等差数列，且()()22*4625255224n n n T n n n n N ⋅+-⎛⎫==-+=--+∈ ⎪⎝⎭()23max 6n T T T ∴===.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()()()cos 0,0f x x x ωϕωϕϕπω+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （1）求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.解：（1）化简得：()2sin 6f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x Q 为偶函数，62k ππϕπ∴-=+又0ϕπ<<Q ，23πϕ∴=又函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π，2,222T T πππωω∴=∴==⇒=()2cos2f x x ∴=，因此2cos 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由题意得()2cos 23x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令2223x k k ππππ≤-≤+，即()g x 的单调递减区间为284,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分. 如图，公路AM AN 、围成的是一块角形耕地，其中顶角A 满足tan 2A =-.在该土地中有一点P ，经测量它到公路AM AN 、的距离分别为3km .现要过点修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业区． （1）用sin ,sin B C 来表示BC ；（2）为尽量减少耕地占用，问AB 等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.解：（1）35,sin sin BP CP B C ==∴， 35sin sin BC BP CP B C=+=+∴. （2）由正弦定理sin sin sin BC AB ACA C B==，得3sin 53sin 5,sin sin sin sin C B C B AB AC B A C A +== ()23sin 5113sin 5sin 3sin 5sin sin sin 222sin sin sin C B C B C BS AB AC A A B C A++∴=⋅⋅==229sin 5sin 65sin 59sin 5sin 651524sin sin 2sin sin 5C B B C C B B C B C ++⎫==+≥⎪⎝⎭ 当且仅当9sin 5sin sin sin C BB C=，即sin 5sin 3C B =时等号成立. 解得5AB =. 答：当5AB =时，该工业区的面积最小值为15.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用部分自然数构造如图的数表：用()ij a i j >表示第i 行第j 个数(),i j N ∈，使得1i ij a a i ==，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第()*n n N ∈行中的各数之和为n b .（4）已知()*1n n b pb q n N +=+∈，求23,,,b b p q 的值；（5）令2n n c b =+，证明：{}n c 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；（6）数列{}n b 中是否存在不同的三项()*,,,,p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列？若存在，求出,,p q r 的关系，若不存在，说明理由.122343477451114115 ......解：（1）234,10,2b b p q ====. （2）证明：()112222222n n n n n n b c b c b b +++++===++（常数） 又112123c b =+=+={}n c ∴是以3为首项，2为公比的等比数列. 故()1*32n n c n N -=⋅∈ ()1*2322n n n b c n N -∴=-=⋅-∈.（3）不妨设数列{}n b 中存在不同的三项()*,,,,,p q r b b b p q r p q r N >>∈其中恰好成等差数列. 即2q p r b b b =+()()()1112322322322q p r ---∴⨯⋅-=⋅-+⋅- 化简得：()22211,2q r p r q r p r --⨯=--≥-≥其中显然上式左边为偶数，右边为奇数，方程不成立. 故数列{}n b 中不存在不同的三项()*,,,,p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列.。

复旦附中自招数学试卷一、在复旦附中自招数学考试中，若题目给出数列1，3，5，7...，问此数列的第10项是多少？A. 10B. 17C. 19D. 21（答案）C解析：此数列为等差数列，首项为1，公差为2，根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入n=10，a1=1，d=2，计算得第10项为19。

二、若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边的长度可能为？A. 2B. 3C. 12D. 14（答案）C解析：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，第三边的长度应在3（8-5）和13（5+8）之间，所以只有12符合条件。

三、在复旦附中自招数学中，若题目要求解方程x2-5x+6=0，其解应为？A. x=1, x=6B. x=2, x=3C. x=-2, x=-3D. x=1, x=5（答案）B解析：此方程为二次方程，可通过因式分解法求解，分解为(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。

四、若一个正方体的表面积为24平方米，则其体积为？A. 4立方米B. 6立方米C. 8立方米D. 12立方米（答案）C解析：正方体的表面积公式为6a2，体积公式为a3。

由题意知6a2=24，解得a=2，所以体积为23=8立方米。

五、在复旦附中自招数学考试中，若题目给出函数y=2x+1，当x=3时，y的值为？A. 5B. 6C. 7D. 8（答案）C解析：将x=3代入函数y=2x+1中，得y=2*3+1=7。

六、若一个圆的半径为r，则其面积与周长的比为？A. r/2B. 1/2C. r/2πD. π/2（答案）C解析：圆的面积公式为πr2，周长公式为2πr，所以面积与周长的比为πr2/(2πr)=r/2π。

七、在复旦附中自招数学中，若题目要求求解不等式2x-5>3，其解集为？A. x>1B. x>2C. x>3D. x>4（答案）D解析：将不等式2x-5>3移项得2x>8，再除以2得x>4。

上海市高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______4、若要将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____ 5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫ ⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____ 8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。

其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______ 二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分）解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知7174tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ （1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值 （2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分） 已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π （1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里（1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈3,2,ππαα （1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值。