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常用均值不等式及证明证明
这四种平均数满足Qn An Gn H ≤≤
≤n
+∈R n a a
a 21、、
、Λ,当且仅当n a a a 21===Λ时取“=”号
仅是上述不等式的特殊情形,即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化,有一个简单结论,中学常用
均值不等式的变形:
(1)对实数a,b ,有ab 2b a
22
≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号), ab 20b ,a 2
2>>
(4)对实数a,b ,有
()()b a b b a --a ≥
(5)对非负实数a,b ,有
02a 22≥≥+ab b
(8)对实数a,b,c ,有
ac
bc ab c b a 222++≥++
(10)对实数a,b,c ,有
3
3
a abc c
b ≥++ 均值不等式的证明:
方法很多,数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序
不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。
引理:设A ≥0,B ≥0,则()()B
n n nA A B A 1-n
+≥+
注:引理的正确性较明显,条件A ≥0
,B ≥0可以弱化为A ≥0,A+B ≥0 (用数学归纳法)。
当n=2时易证;
假设当n=k 时命题成立,即
那么当n=k+1时,不妨设1a +k 是
121a ,,a ,a +k Λ中最大者,
则 1211k ka +++++≥k a a a Λ
设
k a a a +++=Λ21s
用归纳假设
下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法
琴生不等式:上凸函数()n x x x x f ,,,,21Λ是函数()x f 在区间(a,b)内的任意n 个点,
设()x x f ln =,()x f
为上凸增函数 所以,
在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)