(推荐)高二数学试题及答案

高二数学期中测试卷

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设a

A．a2

C．a2

答案 B

2．关于数列3,9，…，2187，…，以下结论正确的是( )

A．此数列不是等差数列，也不是等比数列

B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列

C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列

D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列

解析 记a1＝3，a2＝9，…，an＝2187，…

若该数列为等差数列，则公差d＝9－3＝6，

an＝3＋(n－1)×6＝2187，∴n＝365.

∴{an}可为等差数列．

若{an}为等比数列，则公比q＝93＝3.

an＝3·3n－1＝2187＝37，∴n＝7.

∴{an}也可能为等比数列．

答案 B

3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为( )

A．钝角 B．直角

C．锐角 D．60°

解析 由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2.

即a2＋b2－c2＝c2>0，cosC>0.

答案 C

4．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为( )

A．63 B．64

C．127 D．128

解析 a5＝a1q4＝q4＝16，∴q＝2.

∴S7＝1－271－2＝128－1＝127.

答案 C

5．一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折7次，这时报纸的厚度和面积分别为( )

A．8a，b8 B．64a，b64

C．128a，b128 D．256a，b256

答案 C

6．不等式y≤3x＋b所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b的范围是( )

A．－8≤b≤－5 B．b≤－8或b>－5

C．－8≤b<－5 D．b≤－8或b≥－5

解析 ∵4>3×3＋b，且4≤3×4＋b，

∴－8≤b<－5.

答案 C

7．已知实数m，n满足不等式组 2m＋n≤4，m－n≤2，m＋n≤3，m≥0，则关于x的方程x2－(3m＋2n)x＋6

mn＝0的两根之和的最大值和最小值分别是( )

A．7，－4 B．8，－8

C．4，－7 D．6，－6

解析 两根之和z＝3m＋2n，画出可行域，当m＝1，n＝2时，zmax＝7；当m＝0，n＝－2时，zmin＝－4.

答案 A

8．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c成等差数列，则ax＋cy的值等于( )

A.14 B.12

C．2 D．1

解析 用特殊值法，令a＝b＝c.

答案 C

9．制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是( )

A．4.6m B．4.8m

C．5m D．5.2m

解析 设三角形两直角边长为am，bm，则ab＝2，周长C＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝22＋2≈4.828(m)．

答案 C

10．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1, 则( )

A．an＋1>bn＋1 B．an＋1≥bn＋1

C．an＋1

解析 an＋1＝a1＋a2n＋12≥a1a2n＋1＝b1b2n＋1＝bn＋1.

答案 B

11．下表给出一个“直角三角形数阵”：

14

12，14

34，38，316

……

满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N*)，则a83等于( )

A.18 B.14

C.12 D．1

解析 第1列为14，12＝24，34，…，所以第8行第1个数为84，又每一行都成等比数列且公比为12，所以a83＝84×12×12＝12.

答案 C

12．已知变量x，y满足约束条件 y＋x－1≤0，y－3x－1≤0，y－x＋1≥0，则z＝2x＋y的最大值为( )

A．4 B．2

C．1 D．－4

解析 先作出约束条件满足的平面区域，如图所示．

由图可知，当直线y＋2x＝0，经过点(1,0)时，z有最大值，此时z＝2×1＋0＝2.

答案 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填在题中横线上)

13.在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．

解析 ∵B＝45°，C＝60°，∴A＝180°－B－C＝75°.

∴最短边为b.由正弦定理，得b＝csinBsinC＝1×sin45°sin60°＝63.

答案 63

14．锐角△ABC中，若B＝2A，则ba的取值范围是__________．

解析 ∵△ABC为锐角三角形，

∴ 0

∴A∈(π6，π4)．

∴ba＝sinBsinA＝2cosA.

∴ba∈(2，3)．

答案 (2，3)

15．数列{an}满足a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项公式满足关系式an·bn＝(－1)n(n∈N*)，则bn＝________.

解析 ∵a1＝3，an＋1＝2an，

∴数列{an}为等比数列，且公比q＝2.

∴an＝3·2n－1.

又an·bn＝(－1)n.

∴bn＝(－1)n·1an＝－1n3·2n－1.

答案 －1n3·2n－1

16．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－12ax的解集为________．

解析 由题意，得 a<0，－1＋2＝－ba，－1×2＝ca，则 b＝－a，c＝－2a，a<0.

所求不等式可化为x2＋1－(x－1)＋(－2)<2x，

解得0

答案 {x|0＜x＜3}

三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知全集U＝R，A＝x|－34x2＋x＋1>0，B＝{x|3x2－4x＋1>0}，求∁U(A∩B)．

解 A＝{x|3x2－4x－4<0}＝x|－23

B＝x|x<13，或x>1.

A∩B＝x|－23

∁U(A∩B)＝{x|x≤－23，或13≤x≤1，或x≥2}．

18．(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2B＋C2－2cos2A＝7.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝3，b＋c＝3，求b和c的值．

解 (1)在△ABC中，有B＋C＝π－A，

由条件可得4[1－cos(B＋C)]－4cos2A＋2＝7，

即(2cosA－1)2＝0，

∴cosA＝12.

又0

(2)由cosA＝12，得b2＋c2－a22bc＝12，即(b＋c)2－a2＝3bc，则32－(3)2＝3bc，即bc＝2.

由 b＋c＝3，bc＝2，解得 b＝1，c＝2，或 b＝2，c＝1.

19．(12分)递增等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝an·log12 an，求数列{bn}的前n项和．

解 (1)设等比数列的公比为q(q>1)，

则有 a1q＋a1q2＋a1q3＝28，a1q＋a1q3＝2a1q2＋2，

解得 a1＝2，q＝2，或 a1＝32，q＝12，(舍去)．

所以an＝2·2n－1＝2n.

(2)bn＝an·log12 an＝－n·2n，

Sn＝－(1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)，

2Sn＝－(1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1)．

两式相减，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝21－2n1－2－n·2n＋1＝－(n－1)·2n＋1－2.

20．(12分)配制两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配A种药需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B种药需要甲料5毫克、乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A，B两种药至少各配一剂，问A、B两种药最多能各配几剂？

解 设A、B两种药分别能配x，y剂，x，y∈N*，则 x≥1，y≥1，3x＋5y≤20，5x＋4y≤25，作出可行域，图中阴影部分的整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．

所以，在保证A，B两种药至少各配一剂的条件下，A种药最多配4剂，

B种药最多配3剂．

21．(12分)在△ABC中，已知a＋ba＝sinBsinB－sinA，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.

(1)试确定△ABC的形状；

(2)求a＋cb的范围．

解 (1)由a＋ba＝sinBsinB－sinA，

得a＋ba＝bb－a，即b2－a2＝ab， ①

又cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，

所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C.

sinA·sinB＝sin2C，则ab＝c2. ②

由①②知b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2.所以△ABC为直角三角形．

(2)在△ABC中，a＋c>b，即a＋cb>1.

又a＋cb＝a2＋c2＋2acb2≤ 2a2＋c2b2＝2b2b2＝2，故a＋cb的取值范围为(1，2]．

22．(12分)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7.

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；

(2)试求所有的正整数m，使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项．

解 (1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，(d≠0)．