第八节 对数与对数函数

a log a
2) 对数恒等式 c
(a,c (0,1)
(1,),b 0)
aloga N N (a 0且a 1,N 0)
3) 四个重要推论
①
loga b
lg b lg a
ln ln
b a
;
②
logam
Nn
n m
loga
N
;
③
loga b
1; logb a
④ loga b logb c loga c.
∴x2－2ax＋3＝0的两根为1和3，
∴2a＝1＋3即a＝2
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8.已知函数 f(x)＝loga(8－2x) (a>0 且 a≠1)． (1)若 f(2)＝2，求 a 的值；
(2)当 a>1 时，求函数 y＝f(x)＋f(－x)的最大值．
9.已知函数f(x)＝loga(x＋1) (a>1),若函数y＝g(x)图象上任意一
(2) log 2 (25 47 )
(3) log2 3• log3 7 • log7 8
(4) lg 243 lg 9
(5)(1)log35 3
(6)已知3
a
3 2,则来自log2 3a
2.(1)计算12lg3429－34lg 8＋lg 245；．
(2) 计算 lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (3)若 lga＋lgb＝2lg(a－2b)，求 log4ab之值
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[解] 设 u＝g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2 (1)∵u>0 对 x∈R 恒成立，∴umin＝3－a2>0 ∴－ 3<a< 3 ∴实数 a 的取值范围是(－ 3， 3)． (2)∵f(x)值域为 R∴u＝g(x)的值域为(0，＋∞) ∴Δ＝4a2－12≥0 即 a≥ 3或 a≤－ 3. ∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 3]∪[ 3，＋∞)．

对数与对数函数一、对数及其运算1、对数（1）1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x =⇔=log ；○3 注意对数的书写格式． 2、两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ；○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．3、指数式与对数式的互化幂值 真数例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页）（1）45=625 （2）62-=641 （3）a 3=27 (4) m）（31=5.73例2 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-= （2）2log 128=7； （3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303例3计算：⑴27log 9， （２）2log 161（３）lg 100（４）lg 0.01（2）对数的性质：①负数和零没有对数．（∵在指数式中 N > 0 ）②底数的对数等于1，即1log =a a③1的对数是零，即01log =a（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =N Ma log M a log －N a log ；○3 na M log n =M a log )(R n ∈．注意：对公式容易错误记忆N M MN a a a log log )(log ⋅≠ ，N M N M a a a log log )(log ±≠±3、对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)4、两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a② b mn b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 例4用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log z y x zxy a a例5计算 （1）5log 25 （2）2log （74×52）例6计算：(1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg 说明：此例题可讲练结合.(1)解法一：lg14-2lg 37+lg7-lg18 =lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(23×2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0解法二：lg14-2lg 37+lg7-lg18=lg14-lg 2)37(+lg7-lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯ 例7.求下列各式的值：（１）2log ６－2log ３ （２）lg ５＋lg ２二、对数函数1、定义：形如)10(log ≠>=a a x y a 且的函数叫对数函数例1求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=例2求y=3.0log (2x -2x)的单调递减区间 解：先求定义域：由2x -2x ＞0,得x(x-2)＞0 ∴x ＜0或x ＞2∵函数y=3.0log t 是减函数故所求单调减区间即t=2x -2x 在定义域内的增区间又t=2x -2x 的对称轴为x=1∴所求单调递减区间为（2，+∞） 例3比较下列各组中两个值的大小：⑴6log ,7log 76； ⑵.0log ,log 23π分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数的大小解：⑴16log 7log 66=> ，17log 6log 77=<，log 7log 76>∴⑵01log log 33=>π ，01log 8.0log 22=<，8.0log log 23>∴π；。

1 题目1
已知log35≈1.465，求log325的值。
3 题目2
已知log23≈1.585，求log63的值。
2 解答1
log325=log3((5)2)=2log35≈2×1.465≈2.93。
4 解答2
log63=log23/log26≈1.585/1.585≈1。
例题: 求解对数方程
1 题目1
求解方程log2(3x-2)=3。
3 题目2
求解方程log2x-14=log2(x-1)。
2 解答1
化为指数形式得：23=3x-2，解得x=7/3。
4 解答2
化为指数形式得：(2x-1)log42=x-1，解得x=3。
例题: 理解对数运算的应用
1 题目1
已知ab=c，则logac=?
2 解答1
根据对数的定义得：logac=b。
定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

对数函数的图像特征
随着x的增加而变化
当x>1时，y随x的增加而增加；当x=1时，y=0；当 0<x<1时，y随x的减小而增加；当x<0时，对数函数 无意义。
渐近线
对数函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴的反比 例函数。
对数函数的性质
1
单调性
当a>1时，对数函数单调递增；当0<a<1
3 题目2
已知log23≈1.585，log27≈2.807，求log521 的值。
4 解答2
log221=log2(3×7)=log23+log27≈1.585+2.80 7=4.392。利用换底公式得： log521=log221/log25≈4.392/2.322≈1.892。

对数与对数函数什么是对数？对数是数学中的一个重要概念，在许多领域中都得到了广泛的应用。

对数的概念最早由苏格兰数学家约翰·纳皮尔斯·纳皮尔斯发现并提出。

对数可以帮助我们解决许多数学问题，特别是在指数运算中起到了重要的作用。

在数学中，对数是指一个数与某个给定的正数之间的关系。

具体来说，如果a^x = b，那么x就是以a为底数的对数。

用符号表示就是log_a(b) = x。

在这里，a被称为底数，b被称为真数，x被称为对数。

对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质使得对数在数学中得到了广泛的应用。

1.对数的底数不能为0或1：对数的底数不能为0或1，这是因为0没有正数的幂，而1的任何幂都等于1。

因此，对数函数的底数通常选择大于1的正数。

2.对数的特殊性质：log_a(1) = 0，对数的底数为多少，对应的对数值就是多少。

3.对数的运算律：对数具有一系列的运算律，如log_a(mn) = log_a(m) +log_a(n)，log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)，log_a(m^k) = klog_a(m)等。

对数函数及其图像对数函数是指以对数为自变量的函数。

对数函数的基本形式是y = log_a(x)，其中a为底数，x为真数，y为对数值。

对数函数的图像呈现出一些特点。

当底数a大于1时，对数函数的图像逐渐向右上方倾斜；当底数a在0和1之间时，图像逐渐向右下方倾斜。

对数函数的图像会经过点(1, 0)，并且与x轴和y轴相交。

对数函数的应用对数函数在许多领域中都有广泛的应用，下面我们来介绍一些常见的应用。

1. 倍数增长问题在经济学中，对数函数可以用来描述某个指标的倍数增长。

例如，GDP的增长通常是以指数形式增长的，我们可以用对数函数来表示这种增长。

通过对数函数，我们可以方便地比较不同时间段的经济增长率。

2. 计算器的对数函数对数函数在计算器上得到了广泛的应用。

计算器上的对数函数通常以10为底，可以方便地计算一个数的对数值。