第06讲对数与对数函数 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：对数的运算；高频考点二：换底公式高频考点三：对数函数的概念；高频考点四：对数函数的定义域高频考点五：对数函数的值域①求对数函数在区间上的值域；②求对数型复合函数的值域③根据对数函数的值域求参数值或范围高频考点六：对数函数的图象①判断对数（型）函数的图象②根据对数（型）函数的图象判断参数③对数（型）函数图象过定点问题高频考点七：对数函数的单调性①对数函数（型）函数的单调性②由对数函数（型）函数的单调性求参数③由对数函数（型）函数的单调性解不等式④对数（指数）综合比较大小高频考点八：对数函数的最值①求对数（型）函数的最值②根据对数（型）函数的最值求参数③对数（型）函数的最值与不等式综合应用第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲对数与对数函数（精练）1、对数的概念（1）对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lg N ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数ln N .（3）对数式与指数式的互化：log xa a N x N =⇔=.2、对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数log (0,1)a N a a >≠且具有以下性质： ①负数和零没有对数，即0N >； ②1的对数等于0，即log 10a =； ③底数的对数等于1，即log 1a a =； ④对数恒等式log (0)a N a N N =>. （2）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么： ①log ()log log a a a M N =M +N ⋅； ②log log log aa a M=M N N-； ③log log ()na a M =n M n ∈R . （3）对数的换底公式 对数的换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c bb a ac c b a=>≠>≠>且且. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e 为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： ①log log 01,0()且m na a nb b a a b m=>≠>； ②(1log 01;01log )且且a b b a a b b a=>≠>≠； ③log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=(其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，0d >).3、对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如log xa y =(0a >，且1a ≠)的函数叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞．（2）对数函数的图象与性质定义域：(0,)+∞一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知x y >，则不等式ln ln x y >成立 ( ) 【答案】错误若1,2x y =-=-，则满足x y >，而ln ,ln x y 无意义，所以错误， 故答案为：错误2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）32log 8log 99⨯=( ) 【答案】错误()()3232log 8log 93log 22log 36⨯=⨯=.故答案为：错误3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）21log 3436+=.( ) 【答案】正确22221log 3log 3log 3444424936+=⨯=⨯=⨯=.故正确.4．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）若lg 2,lg3,a b ==则12log 5=12aa b-+ ( ) 【答案】错误因lg 2,lg3a b ==，则122lg51lg 21lg 21log 5lg12lg 2lg32lg 2lg32aa b---====+++， 所以命题不正确. 故答案为：错误 二、单选题1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R 的是（ ） A ．ln y x = B ．x y e =C ．3y x =D ．1y x=【答案】CA. 函数ln y x =的定义域为()0,∞+，值域为R ；B. 函数x y e =的定义域为R ，值域为()0,∞+；C. 函数3y x =的定义域为R ，值域为R ；D. 函数1y x=的定义域为{}|0x x ≠，值域为{}|0y y ≠， 故选：C2．（2022·海南·模拟预测）已知20.70.7log 3,log 0.3,0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【答案】A解:由0.7=log y x 在()0,∞+单调递减，得0.70.7log 3log 10<=，即0a <； 0.70.7log 0.3log 0.71>=，即1b >；由=0.7x y 在R 上单调递减，得200.7100.7<=<，即01c <<； 即b c a >>. 故选:A.3．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．1133x -<<B ．0x <C ．113x -<<D ．103x <<【答案】D由()211log 31133x x +<⇔-<<，由于1110333x x <<⇒-<<，而1133x -<<⇒103x <<，故不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是103x <<，A 选项是充要条件，B 选项是既不充分也不必要条件，C 选项是必要不充分条件. 故选：D.4．（2022·陕西西安·高一期末）函数()ln xf x x=的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()()ln xf x f x x-==--，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以AD 选项错误. ()()ln 210,202f f ==>，所以B 选项错误. 故选：C5．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）函数()1ln 34y x x=-+的定义域是（ ） A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．()3,00,4⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C由题意，340304x x x ->⎧⇒<⎨≠⎩且0x ≠，所以函数的定义域为()3,00,4⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭. 故选：C高频考点一：对数的运算1．（2022·甘肃平凉·二模（文））27log 7log 8⋅=______． 【答案】33272727log 7log 8log 7log 23log 7log 23⋅=⋅=⋅=．故答案为：3.2．（2022·北京师大附中高一期末）13331()log 5log 1527+-=______________．【答案】23-原式()13335123log 11533-=+=-=-. 故答案为：23-.3．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）计算7log 237log 27lg 25lg 47log 1++++=______.【答案】7解：7log 237log 27lg 25lg 47log 1++++()3lg 2542=+⨯+52=+7=.故答案为：7.4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：(1)()23log 279⨯；(2)101log 1000；(3)7775log 30log 12log 2--． 【答案】(1)7；(2)3-；(3)0. (1)由()()2437333log 279log 33log 37⨯=⨯==.(2) 由310101log log 1031000-==-. (3)由7777777530552log 30log 12log log log log ()log 10212225--=-=⨯==. 高频考点二：换底公式1．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））已知lg 2,lg3a b ==，则4log 75=（ ） A ．22a b a-+ B ．22b a a-+ C ．222b a a-+ D ．222a b a-+ 【答案】C 4lg75lg32lg52(1)22log 75lg 42lg 222b a b a a a++--+====. 故选：C2．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知lg 2a =，lg3b =，用a ，b 表示36log 5，则36log 5=（ ） A ．221a b a+- B ．12aa b-+ C ．22aa b-+ D ．122aa b-+【答案】D 由题意知()36lg51lg21log 5lg362lg2lg322aa b--===++， 故选:D ．3．（2022·山东济南·二模）已知ln 2a =，ln3b =，那么3log 2用含a 、b 的代数式表示为（ ） A ．-a bB ．abC ．b aD ．a b +【答案】B由换底公式，3ln 2log 2ln 3ab==. 故选：B.4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：53611log log 6log 325⋅⋅=________. 【答案】2原式()()11lglglg32lg5lg 6lg 63252lg5lg3lg 6lg5lg3lg 6--=⋅⋅=⋅⋅=.故答案为：2.高频考点三：对数函数的概念1．（2021·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()f x 满足①定义域为()0,∞+；②值域为R ；③()()22f x f x =.写出一个满足上述条件的函数：()f x =___________.【答案】ln x （答案不唯一）因为()ln f x x =满足①定义域为()0,∞+；②值域为R ； ()()22ln 2ln 2f x x x x f ===，所以()ln f x x =符合题意， 故答案为：ln x ，（答案不唯一）.2．（2021·江苏·高一专题练习）对数函数f （x ）的图象过点(3，－2），则f＝________. 【答案】－1设f (x )＝log ax ，则log a 3＝－2，∴a －2＝3， ∴a，∴f （x ）＝x ,∴f＝log1.故答案为：－13．（2021·江苏南通·高三期中）写出满足条件“函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，且()()()f xy f x f y =+”的一个函数()f x =___________. 【答案】2log x()()()f xy f x f y =+是对数函数模型，()2log f x x =满足条件.故答案为：2log x ．4．（2021·全国·高一专题练习）若函数f (x )=(a 2+a -5)log ax 是对数函数，则a =________. 【答案】2因为函数f (x )=(a 2+a -5)log ax 是对数函数，、 所以a 2+a -5=1得3a =-或a =2又a >0且a ≠1，所以a =2. 故答案为：2高频考点四：对数函数的定义域1．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）函数f （x ）的定义域为（ ）A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（-∞，2）D ．（0，12）【答案】B 12log 10x +>，解得(0,2)x ∈故选：B2．（2022·四川·模拟预测（文））函数y =___________. 【答案】13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭由已知可得()lg 340x --≥，即()lg 340x -≤，可得0341x <-≤，解得1324x ≤<.故原函数的定义域为13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.3．（2022·四川宜宾·高一期末）函数y =________. 【答案】[)1,+∞##{}|1x x ≥由题意知()320ln 320x x ->⎧⎨-≥⎩，所以23321x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，所以1≥x ，所以函数y =[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞.4．（2022·上海市控江中学高一期末）函数()2lg 1y x kx =++定义域为R ，则实数k 的取值范围为______.【答案】22k -<<解：因为函数()2lg 1y x kx =++定义域为R ，所以210x kx ++>在R 上恒成立， 所以240k ∆=-<，解得22k -<<. 故答案为：22k -<<.5．（2022·上海浦东新·高一期末）函数1ln 2x y x-=-的定义域为_____________． 【答案】()1,2 【解析】要使函数1ln2x y x-=-有意义，则有102x x ->-，即()()120x x -->，解得12x << 故答案为：()1,2高频考点五：对数函数的值域①求对数函数在区间上的值域1．（2022·全国·高三专题练习）函数()222log log f x x x =+在1,24⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为_______________________．【答案】(–2,3)函数2log y x =在定义域上单调递增.当[)1,2x ∈时，[)()[)22log 0,1,3log 0,3x f x x ∈=∈; 当1,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()2log 2,0x ∈-，()()2log 2,0f x x =∈-，所以()f x 的值域为(–2,3). 故答案为：(–2,3)2．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数()2122log log f x x x =+．(1)求()f x 在区间[]1,8上的值域； 【答案】(1)[]0,3(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(1)∴()2122222log log 2log log log f x x x x x x =+=-=，∴()f x 在[]1,8上单调递增，∴()[]0,3f x ∈．3．（2022·全国·高一课时练习）求函数2log ,[8,)y x x =∈+∞的值域. 【答案】[3,)+∞2log y x =为增函数，[8,)x ∈+∞，322log 8log 23y ∴==，所以函数的值域为[3,)+∞.②求对数型复合函数的值域1．（2022·贵州·毕节市第一中学高一阶段练习）函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为（ ） A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．[4，＋∞) D ．[3，＋∞)【答案】C 令234t x =+≥，又因为22log y t =+在[4,)+∞上递增，所以22log 44y ≥+=，所以y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为 [4，＋∞)， 故选：C2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）函数()212log 8y x =+的值域是________．【答案】(,3]-∞-##{}|3y y ≤- 288x +≥，而12log y x=在定义域上递减，max 12log 83y ∴==-，无最小值，∴函数的值域为(,3]-∞-．故答案为：(,3]-∞-.3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()()()log 2log 4a a f x x x =++-（a >0且a ≠1）的图象过点()1,2. (1)求a 的值及()f x 的定义域； (2)求()f x 在[]0,3上的最小值.【答案】(1)3a =，定义域()2,4-(2)3log 5 (1)()f x 的图象过点()1,2，可得：()()()1log 21log 412log 32a a a f =++-==解得：3a =则有：()()()33log 2log 4f x x x =++-定义域满足：2040x x +>⎧⎨->⎩解得：24x -<<故()f x 的定义域为()2,4- (2)令()228219t x x x =+-=--+，[]0,3x ∈故当x =3时，min 5t = 可得：()3min log 5f x =4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；【答案】[]4,0-解：()()()()()2444444log 3log 4log 3log 1log 2log 3f x x x x x x x =-⋅=-⋅+--=， 令4log t x =，由1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,2t ∈-，所以有()222314y t t t =--=--，[]1,2t ∈-，所以当1t =时，max 4y =-，当1t =-时，min 0y =所以函数()f x 的值域为[]4,0-.③根据对数函数的值域求参数值或范围1．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．9D ．27【答案】C解：因为函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，所以2y x m =+的最小值为9，所以9m =；故选：C2．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数()log 1a f x x =+在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a 的值是___________.若01a <<，()log 1a f x x =+在[1,3]上单调递减，则3()1log 1a f x ≤≤+，不符合题意；若1a >，()log 1a f x x =+在[1,3]上单调递增，则1log 1()3a f x ≤≤+，当值域为[1,3]时，可知3log 13a +=，解得a =3．（2022·全国·高一阶段练习）函数()()2lg 234f x mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为______．【答案】90,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：由题可知，函数()()2lg 234f x mx x =-+的值域为R ，令2234u mx x =-+，由题意可知()0,∞+为函数34u x =-+的值域的子集. ①当0m =时，34u x =-+，此时()()lg 34f x x =-+， 函数34u x =-+的值域为R ，合乎题意；②当0m ≠时，若()0,∞+为函数2234u mx x =-+的值域的子集，则0Δ9320m m >⎧⎨=-≥⎩，解得9032m <≤.综上所述，实数m 的取值范围是90,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：90,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若函数()2log 5242a y a x ax =--+⎡⎤⎣⎦有最小值，则a 的取值范围为______．【答案】()20,1,25⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭当01a <<时，外层函数log a y u =为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数2(52)42u a x ax =--+，()25202Δ1685205a a a a -<⎧⇒<⎨=-->⎩，又01a <<，所以205a <<； 当1a >时，外层函数log a y u =为增函数，要使函数有最小值，对于内层函数2(52)42u a x ax =--+，则2Δ(4)8(52)01a a a ⎧=---<⎨>⎩，解得12a <<.综上所述，实数a 的取值范围是()2(0,)1,25⋃.故答案为：()2(0,)1,25⋃.5．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数212()log (23)f x x ax =-+ . (1)当1a =-时，求函数()f x 的值域； (2)若函数()f x 的值域为R ，求实数a 取值范围.【答案】(1)(],1-∞-；(2)(),-∞⋃+∞.(1)当1a =-时，212()log (+23)f x x x =+， ∴()2223122x x x ++=++≥，∴()21122log 23log 21x x ++≤=-，∴函数()f x 的值域(],1-∞-； (2)要使函数()f x 的值域为R ，则223y x ax =-+的值域包含()0,∞+， ∴()224130a ∆=--⨯⨯≥，解得a ≤a ≥∴实数a 取值范围为(),-∞⋃+∞.高频考点六：对数函数的图象①判断对数（型）函数的图象1．（2022·广东汕尾·高一期末）当1a >时，在同一平面直角坐标系中，1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()log ay x =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B()log a y x =-的定义域为(,0)-∞，故AD 错误；BC 中，又因为1a >，所以101a<<，故C 错误，B 正确.故选：B2．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）函数3x y -=与()3log y x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C函数133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭为R 上的减函数，排除AB 选项，函数()3log y x =-的定义域为(),0∞-，内层函数u x =-为减函数，外层函数3log y u =为增函数， 故函数()3log y x =-为(),0∞-上的减函数，排除D 选项. 故选：C.3．（2022·浙江·高三专题练习）已知lg lg 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()xf x a =与()1log bg x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B∴lg lg 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠）， ∴1ab =，∴1b a=，∴()1log log ba g x x x ==，函数()xf x a =与函数()1log bg x x =互为反函数，∴函数()xf x a =与()1log bg x x =的图象关于直线y x =对称，且具有相同的单调性.故选：B ．②根据对数（型）函数的图象判断参数1．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【答案】Dy ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∴（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b . 故选：D ．2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知2(0,1)()log ,[1,2)a ax x f x x x ⎧∈=⎨∈⎩，，若()2a f x =有两解，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(1,2]D ．(1,2)【答案】D由条件可知0a >且1a ≠，当()0,1x ∈时，22a ax =，解得：x =，成立， 当[)1,2x ∈时，若01a <<，log 0a x <，02a >，log 2a a x ≠， ∴log 2a ax =有解，则1a >，如图，当log 22a a >时，有交点，a 越大，log 2a 越小，2a 越大，当2a =时，log 22a a =， ()1,2a ∴∈故选：D3．（2022·湖南师大附中高一期末）已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<D ．1101a b --<<<【答案】A由图易得1a >，101a -∴<<；取特殊点01log 0a x y b =⇒-<=<， 11log log log 10aa ab a⇒-=<<=，101a b -∴<<<．选A ． 4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知310()log 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()0f x a -=有四个根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围是______. 【答案】403⎛⎤⎥⎝⎦，由题意，作出函数310()log 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，如图所示， 因为方程()0f x a -=有四个根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<， 由图象可知122x x +=-，3334log log x x -=，可得341x x =，则1234342x x x x x x +++=-++，设3334log ,log x t x t =-=，所以3433t tx x -+=+，因为01t <≤，所以133t <≤，所以102333t t-<+≤， 所以402333t t-<-++≤，即1234403x x x x <+++≤， 即1234x x x x +++的取值范围是403⎛⎤⎥⎝⎦，.故答案为：403⎛⎤⎥⎝⎦，.③对数（型）函数图象过定点问题1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一开学考试）函数()log (1)3,(0,1)a f x x a a =-++>≠且的图象一定过定点__________. 【答案】()0,3 令11x -+=，则0x = 所以()0log 133a f =+= 所以()f x 过定点()0,3 故答案为：()0,32．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图象上，则f （3）＝________. 【答案】27由题意231x -=，2x =，则8y =，定点A 为(2,8)， 设f (x )＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f (x )＝x 3，∴f （3）＝33＝27. 故答案为：273．（2022·四川南充·高一期末）函数log (1)2(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过一定点是___________． 【答案】试题分析：对数函数过定点()1,0，令112x x -=∴=，此时2y =，所以过定点高频考点七：对数函数的单调性①对数函数（型）函数的单调性1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．21y x =-+B ．2log y x =C ．3y x =D ．y =【答案】C解:对于A 选项，函数为偶函数，故错误； 对于B 选项，对数函数为非奇非偶函数，故错误；对于C 选项，由幂函数性质知为在区间(0,)+∞上单调递增，且为奇函数，故正确； 对于D 选项，函数定义域为[)0,∞+，为非奇非偶函数，故错误.故选：C2．（2022·全国·高一课时练习）函数12()log f x x =的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,1C ．()0,∞+D ．[)1,+∞【答案】D由112211222log ,01log ,01()log log ,1log ,1x x x x f x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪===⎨⎨-≥⎪⎪≥⎩⎩， 而对数函数12log y x=在()0,1上是减函数，2log y x =在[)1,+∞上是增函数，所以函数f (x )单调递增区间为[)1,+∞． 故选：D.3．（2022·北京·高三专题练习）函数()()212log 6f x x x =-++的单调递增区间是（ ）A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A由题意，()2260602,3x x x x x -++>⇒--<⇒∈-，()212125log 24f x x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是1,32⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.4．（2022·河北张家口·高一期末）函数()()22log 65f x x x =-+-的单调递减区间是（ ）A ．(],3-∞B ．(]1,3C ．[)3,+∞D ．[)3,5【答案】D2log y t =，()226534t x x x =-+-=--+，令22650650x x x x -+->⇔-+<，解得：15x <<，根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知()1,3x ∈函数单调递增，在区间[)3,5函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是[)3,5. 故选：D5．（2022·河南新乡·高一期末）函数()217log 2223y x x =--的单调递增区间为（ ）A ．()11,+∞B ．(),11-∞C ．()23,+∞D ．(),1-∞-【答案】D由222230x x -->，得1x <-或23x >．因为函数17log y t=单调递减，且函数22223t x x =--在(),1-∞-上单调递减，所以函数()217log 2223y x x =--在(),1-∞-上单调递增．故选：D6．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）()()23log 28f x x x =--的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞【答案】D 【解析】由题设可得2280x x -->，故2x <-或4x >， 故函数的定义域为()(),24,-∞-+∞， 令()()228,,24,t x x x =--∈-∞-+∞，则()222819t x x x =--=--在(),2-∞-为减函数，在()4,+∞上为增函数， 因为3log y t =在()0,+∞上为增函数，故()f x 的增区间为()4,+∞， 故选：D.②由对数函数（型）函数的单调性求参数1．（2022·陕西西安·高一期末）已知()log log 1a a b b <-，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．01a << C ．a b > D ．0a b <<【答案】B由对数及不等式的性质知：10b b >->，而()log log 1a a b b <-， 所以01a b <<<. 故选：B2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2，3]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[4,)+∞ B ．[6,)+∞C ．10,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C由于函数()()2ln 1f x x ax =-+-在[]2,3上单调递减，ln y x =在定义域内是增函数，所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得： 21y x ax =-+-在[]2,3上单调递减，且0y >，所以22a ≤且9310a -+->，解得：1043a <≤.故a 的取值范围是10,43⎛⎤⎥⎝⎦故选：C.3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C由条件可知，函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，需满足()31001314log 1a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得：1173a ≤<.故选：C4．（2022·湖南岳阳·高一期末）已知函数()2ln 3y x ax a =-+在[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()4,-+∞B ．(]0,4C ．[)4,+∞D ．(]4,4-【答案】D根据复合函数的单调性可知，若函数在区间[)2,+∞上单调递增，需满足2222230aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，解得：44a -<≤.故选：D5．（2022·福建泉州·高一期末）若函数()ln(2)=-f x ax 在(1,)+∞单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(2,)+∞C ．(0,2]D ．[2,)+∞【答案】D函数()ln(2)=-f x ax 中，令2u ax =-，函数ln y u =在(0,)+∞上单调递增，而函数()ln(2)=-f x ax 在(1,)+∞上单调递增，则函数2u ax =-在(1,)+∞上单调递增，且1,20x ax ∀>->，因此，020a a >⎧⎨-≥⎩，解得2a ≥，所以实数a 的取值范围为[2,)+∞. 故选：D6．（2022·重庆·高一期末）已知关于x 的函数2log (2)y ax =-在[]0,1上是单调递减的函数，则a 的取值范围为（ ）A ．()0-，∞ B ．()0,+∞ C ．(]0,2 D ．()02,【答案】D令()20=-≥t ax t ，则2log y t =，因为2log y t =的单调递增函数，函数2log (2)y ax =-在[]0,1上是单调递减的函数 由复合函数的单调性判断方法可得()20=-≥t ax t 是单调递减函数，所以0a >，又2log (2)y ax =-在[]0,1上是单调递减的函数，所以20200->⎧⎨->⎩a ，得02a <<，故选：D.7．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()()217log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C()()217log 45f x x x =-++的定义域为2{|450}{|15}x x x x x -++>=-<<，令245(15)t x x x =-++-<<，则函数为17log y t=，外层函数单调递减，由复合函数的单调性为同增异减，要求函数()f x 的增区间，即求t 的减区间，当(2,5)x ∈，t 单调递减，则()()217log 45f x x x =-++ 在(2,5)x ∈上单调递增，即()32,2m m -+是(2,5)的子集，则423234253233222m m m m m m m m ⎧≤⎪≤-⎧⎪⎪+≤⇒≤⇒≤<⎨⎨⎪⎪-<+<⎩⎪⎩.故选：C.③由对数函数（型）函数的单调性解不等式1．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））不等式()()2ln 1ln 35x x +>+的解集为（ ）A ．()4,+∞B ．()1,4-C ．()5,14,3⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()(),14,-∞-⋃+∞【答案】C原不等式等价于21350x x +>+>，解得，513x -<<-或4x >．故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（ ） A ．（﹣2，1） B ．（0，1） C ．（﹣∞，﹣2）∴（1，+∞） D ．（1，+∞）【答案】C函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，可得x ≥0，()f x 递增；当x ＜0时，()f x 递增；且x =0时函数连续， 所以()f x 在R 上递增，不等式()2f x +<()22f x x +，可化为x +2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2， 则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∴（1，+∞）. 故选：C3．（2022·北京房山·高一期末）设函数21,2()2log (1),2xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，若()1f x >，则x 的取值范围是（ ）A ．(0,3)B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞C ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞D ．(1,2)-【答案】B由题意，函数21,2()2log (1),2xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，且()1f x >，当2x <时，令1()12x>，解得0x <；当2x ≥时，令2log (1)1x ->，可得12x ->，解得3x >， 所以不等式()1f x >的解集为(,0)(3,)-∞⋃+∞. 故选：B.4．（2022·四川绵阳·一模（理））设函数()211,,21log ,,2x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩则满足()()21f x f x -<的x 的取值范围是（ ）A ．13,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D由题意，2log y x =在1[,)2+∞单调递增，且21log 12=-故()()121212f x f x x x -<⇔-<<或1212x x ≤-< 解得：112x << 故选：D5．（2022·江西赣州·一模（文））设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 取值范围是A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞）D ．[0,+∞）【答案】D由1122x x -≤⎧⎨≤⎩，可得01x ≤≤；或211log 2x x >⎧⎨-≤⎩，可得1x >；综上，()2f x ≤的x 取值范围是[0,)+∞. 故选：D④对数（指数）综合比较大小1．（2022·广东中山·高一期末）设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】D 因为35lg 42lg 2lg83lg 2log 4,log 8lg3lg3lg5lg5b c ======， 则2lg 23lg 22lg 2lg53lg 2lg3lg 2(2lg53lg3)lg 2(lg 25lg 27)0lg3lg5lg3lg5lg3lg5lg3lg5b c ⋅-⋅---=-===<⋅⋅⋅，所以b c <，又因为3255553log 5log 8log log 52<<==，所以312c <<，又由322223log 3log log 22a =>=，所以32a >，所以b c a <<. 故选：D.2．（2022·江西·南昌十五中高二阶段练习（理））设292log 3,log 5,15==a b c ，则（ ） A ．2a b < B ．2log 180+>a cC ．24+>a b cD ．21316+<a a 【答案】C因为2443log 3log 9log 82a ==>=，所以99log 27log 252ab >>=，A 错误； 因为函数13()2f x x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭为增函数，所以13213236a a +>+=，所以21316a a +>，D 错误；因为(()1.522222log 3log 315log (45log (454)log 180a c +=⨯<⨯=<⨯=，所以2log 180a c +<，B 错误；因为232110,0,log 3log 5log 5122a b ab >>=⨯=>，所以22415a b c +≥=>>=，所以24+>a b c ，C 正确．故选：C.3．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）设2ln1.01a =，ln1.02b =，0.02c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】C2222ln1.01ln1.01ln(10.01)ln(120.010.01)ln1.02a b ===+=+⨯+>=，令()()()()ln 10,1f x x x x =+-∈，则()1101f x x'=-<+，所以()f x 在()0,1x ∈上递减，则()()00f x f <=，即()()()ln 10,1x x x +<∈， 则()ln1.02ln 10.020.02b c ==+<=，()2ln1.012ln 10.0120.01a c ==+<⨯=， 所以b a c <<， 故选：C4．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））已知 1.12a =，0.64b =，ln 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】C因为0.6 1.2 1.14222a b ==>=>，2ln7lne 2c =<=，所以c a b << 故选：C.5．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知0.2log 0.02a =，3log 30b =，ln 6c =，则（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．c a b << D ．a c b <<【答案】C∴0.020.04<，∴0.2log 0.042a >=，∴26e <，∴2ln e 2c <=，∴c a <， 又lg 0.02lg 2211lg 0.2lg 211lg 2a -===+--，lg301lg311lg3lg3lg3b +===+，∴lg 2lg3lg 61+=<，∴1lg 2lg3->，∴a b <. 故选：C.高频考点八：对数函数的最值①求对数（型）函数的最值1．（2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）已知函数()21f x ax =-在区间[]0,2上的最大值为7，则()log a g x x =在区间[]1,4上的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【答案】C由()log a g x x =可知：0a >且1a ≠，所以函数()21f x ax =-是实数集上单调递增函数， 因为函数()21f x ax =-在区间[]0,2上的最大值为7，所以有()24172f a a =-=⇒=，因为函数()2log g x x =是[]1,4上的增函数 所以()log a g x x =在区间[]1,4上的最大值为()24log 42g ==， 故选：C2．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中（理））已知函数()420.5()log 46f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 有最小值，且最小值为-2B ．()f x 有最小值，且最小值为-1C ．()f x 有最大值，且最大值为-2D ．()f x 有最大值，且最大值为-1 【答案】D解： ()()24220.50.50.5()log 46log 22log 21f x x x x ⎡⎤=-+=-+≤=-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 有最大值，且最大值为1-，但无最小值. 故选：D3．（2022·上海金山·高一期末）函数()12log 2y x =+，[]2,6x ∈的最大值为______. 【答案】-2因为[]26x ∈，，则()[]248x +∈，， 由于12log y x = 是减函数，所以max 12log 42y ==-，故答案为：-24．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三阶段练习）函数()()224log log 44xf x x =⋅的最小值为___________. 【答案】94-##124-函数定义域是(0,)+∞，2log R x ∈，()()224log log 44xf x x =⋅22422(log 2)(1log )(log 2)(1log )x x x x =-+=-+ 2222219log log 2(log )24x x =--=--，所以x =min 9()4f x =-．故答案为：94-．5．（2021·全国·高一课时练习）函数()23()log 9f x x =-的最大值是_______．【答案】2设29t x =-，则09t <≤，即求3log y t =在(]0,9上的最大值， 由3log y t =在(]0,9上是单调递增函数， 所以当9t =，即0x =时，函数有最大值2. 故答案为：2.②根据对数（型）函数的最值求参数1．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数()21log ,a f x x x a ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值与最小值的差为2，则=a （ ）A ．4B ．3C ．2D 【答案】C由题意得()f x 在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单调递增函数，所以min 211()log f x f a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()max 2()log f x f a a ==，所以22221log log log 2a a a-==，解得24a =，2a =± 又0a >，所以2a =. 故选：C2．（2022·贵州·六盘水市第一中学模拟预测）若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．12a <<B ．02,1a a <<≠C ．01a <<D ．2a ≥【答案】A令2()1u x x ax =-+，函数()2log 1a y x ax =-+有最小值， 1a ∴>，且2min ()0,40,12u x a a >∴∆=-<∴<<，所以a 的取值范围是12a <<. 故选：A.3．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数()22,4,log ,4,x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-【答案】D∴函数()22,4,log ,4,x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩∴当4x <时，()2x f x a =-的范围是(,16)a a --；当4x ≥时，2()log f x x =，min ()2f x =， 由题意()f x 存在最小值，则2-≥a ， 解得2a ≤-. 故选：D ．4．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()log (1)a f x x ax =-+(01)a a >≠且没有最小值，则a 的取值范围是____________. 【答案】[)(0,1)2,+∞分类讨论：当01a <<时，()2lim 1x x ax →+∞-+=+∞，函数没有最小值， 当1a >时，应满足210x ax -+≤有解，故2402a a ∆=-≥⇒≥， 综上可得，a 的取值范围是(0,1)[2,)+∞.5．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.(1)求a 的值；(2)当函数()f x 在定义域内是增函数时，令()1122g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并证明，并求出()g x 的值域.【答案】(1)2或13(2)()g x 为偶函数，证明见解析，(],2-∞-. (1)当1a >时，()f x 为增函数，()()max 2log 21a f x f ∴===，解得：2a =； 当01a <<时，()f x 为减函数，()max 11log 133a f x f ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭，解得：13a =；综上所述：2a =或13.(2)当函数()f x 在定义域内是增函数时，1a >，由（1）知：()2log f x x =； ()221111log log 2222g x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由102102x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩得：1122x -<<，即()g x 定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；又()()2211log log 22g x x x g x ⎛⎫⎛⎫-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴是定义在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数；()2222111log log log 224g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴当1122x -<<时，2110,44x ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，()(],2g x ∴∈-∞-，即()g x 的值域为(],2-∞-.6．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）. (1)求函数()f x 的定义域；(2)是否存在实数a ，使函数()f x 在区间31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)4,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(2)2a =(1)由题意可得40ax ->，即4ax <， 因为0a >，所以解得4x a<. 故()f x 的定义域为4,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.(2)假设存在实数a ，使函数()f x 在区间31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且最大值为1.设函数()4g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数且()0g x >恒成立，因为()f x 在区间31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以1a >且3402a ->，即813a <<.又因为()f x 在区间31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，所以()()()max 1log 41a f x f a ==-=， 整理得4a a =-，解得2a =. 因为8123<<，所以32,81a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以存在实数2a =，使函数()f x 在区间31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且最大值为17．（2022·天津河北·高一期末）已知函数()()log 1a f x x =-（0a >，且1a ≠） (1)求()2f 的值及函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 在[]2,9上的最大值与最小值之差为3，求实数a 的值． 【答案】(1)0；(1,)+∞；(2)12或2. (1)函数()()log 1a f x x =-，则()2log 10a f ==，由10x ->解得：1x >， 所以()2f 的值是0，()f x 的定义域是(1,)+∞. (2)当01a <<时，()()log 1a f x x =-在[]2,9上单调递减，()max (2)0f x f ==，()min (9)log 8a f x f ==， 于是得0log 83a -=，即38a -=，解得12a =，则12a =， 当1a >时，()()log 1a f x x =-在[]2,9上单调递增，()min (2)0f x f ==，()max (9)log 8a f x f ==， 于是得log 803a -=，即38a =，解得2a =，则2a =， 所以实数a 的值为12或2.③对数（型）函数的最值与不等式综合应用1．（2022·湖北·武汉中学高一阶段练习）已知函数()1lg 43x x f x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若对任意的[]1,1x ∈-使得()1f x ≤成立，则实数m 的取值范围为 A ．19,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭-C ．1911,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．1911,34⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】D若对任意的[]1,1x ∈-使得()1f x ≤成立，即1lg 413x x m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，得104103xx m <--≤，14314103xx x x m m ⎧<-⎪⎪∴⎨⎪≥--⎪⎩，由于函数14xy =在[]1,1-上为增函数，函数213xy =在[]1,1-上为减函数， 所以，函数143xx y =-在[]1,1-上为增函数，min 111344y ∴=-=-，max111433y =-=， 11111034m ∴-≤<-，即191134m -≤<-， 因此，实数m 的取值范围是1911,34⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.故选：D.2．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数()4412log 2log 2y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)当[1,16]x ∈时，求该函数的值域；(2)若()4441log 2log log 2x x m x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，对于[4,16]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)5m >(1)令4log t x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈， 函数转化为()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2t ∈，则二次函数()2119222248y t t t ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]0,2t ∈，当14t =时，min 98y =-，当2t =时，max 5y =， 故当[]1,16x ∈时，函数的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．(2)由于()4441log 2log log 2x x m x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立，令4log t x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()122t t mt ⎛⎫++< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立，所以152m t t >++在[]1,2t ∈上恒成立，由对勾函数的性质知15()2h t t t =++在[]1,2上单调递增，所以当2t =时，max ()5h t =，。
