活用配方法解题
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题）
（９ ９年 “ 望 杯 ” 二 １９ 希 初
赛题 ） 解 由 巳 知等 式 移 项 配 方 得
●
解
。
由 巳知 条 件 得
＋ｖ ＋ ２ ＝３ 一１ ＋４ ｘ。 ８ １ ＝３ 一３ ＋１ （ ） ４
≥ １ ４
￡ ＝ ４ 一 ． ＝ ５ 一 ｚ ． Ｙ
．
．
（ ０ １年 “ 望 杯 ” 二赛 题 ） ２０ 希 初
题）
分析
该题 难度大 ． 若想 到配方． 则化
分析
难 为易 ． 意 盯住 前 面 两项， 裂 后 面三 注 分
项 进行配方
解
Ｙ ＝ （ 一４ ＋４ ）＋４ —８ ＋５ 。
＝
求 出 ｎ、 、 ｂ ｃ的值 去 考 虑， 一 个 方 程 含 有 而 兰 个 未 知 数 ． 般 情 况 无 法 求 出 未 知 数 的 一 值 ， 猜 想 该 方 程 必 定 特 殊 ． 察 昂 知 式 特 可 观
（ 一 １ ＋ （ ） ） Ｙ一 ＝０ ，
１
。
—
．
．
ｌ ． ＝０ Ｙ一寺 ＝０ ．
－
．
＿ ＝３时， 求的 最小 值为 ｌ ． ｌ 当 所 ４
２ ・ １
即 ＝１ｙ ＿． ． ＝ ！ ｝
四 、 简二次根 式 化
・
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点 ， 想 到完全 平方和 （ ） 联 差 公式 ， 是 利 用 于 配方思 想去尝试 ．
（ —２ ＋２ —２ ）＋１ ｘ） （ ＋
２（ ２—２ ＋１） ｘ ＋２
＝
解
将 巳 知 式变 形 配 方， 得
＝
（ ～ｂ ＋ （ ｎ ） ｂ— ｆ ＋ （ ） ｆ一３ ） ＝０ ．
皂） ０ ：
，
则 此 三 角 形
为—
—
三 角形 ．第 九届 “ （ 五羊杯 ” 题 赛 由已知条件 经过配方 得
ｄ ＝ ５． ＝ １ ｃ ＝ １ ６ ２， ３．
＋
勰
’
√３
解得 １ ５＋伍 ， ＝５ ＝ ２ 一
（ ｄ一 ５ 。 （ ） ＋ ６—１ ） ＋ （ ２ ０ ｃ一１ ） ＝ ０ ３ ，
４ 设 Ｙ＝ ３
例 １ 如 果 ａ ｂ ｆ满 足 ｄ ，， ＋２ ＋２ ６ ｃ
一
２ ｂ一２ ｃ ｃ＋９＝０ 那 么 （ ａ ｂ —ｂ ， ｎ＋ｋ ） ＝
—
．
５ 其 中 为 任 意 实 数 ， Ｙ 的 取 值 范 围 是 ， 则
．
— —
—
（ 十 届 “ 冲之 杯” 学 邀 请 赛 试 第 祖 数 要 求（ ａ＋ｋ ） 值 ， 从 分 别 的 可
２０ ０ ２年第 １期
数 学学 习与 研究
ｆ
。 ’
例 ５
已 知 ０ Ｘ＜ １ 化 衙 ＜ ，
４ ｘ ６ ２
／ 一） ４． ＋ 。４ （ 一（ ） ． ＋ Ｉ ／ 一
（ 第八届“ 冲之杯” 祖 数学邀请赛 试题） 分析 设想把 被开方式 变为完全平方 式 ， 先 打 散原 来 的 平方 结 构 ， 重 新 组 台 需 再
＝０．
配 得 壳 （ 一 ） ， 方 （ ０ 杰 ０ 秀一 ） ３ ３
・
・ ．
七 、 定 三 角 形 的形 状 判
例 ９ 已知三 角形 的三边适合 ａ ＋ｂ ０
＋Ｃ 。＋ ３ ３８ ＝ １ ０ａ ＋ ２４ｂ ＋ ２缸
，
（ ＋ ～ ） 一 隽一 （ ５ ５ ５ 杰一
［ 一２ （ ｘ）＋１ ＋２ 一１ ＋２ ］ （ ） （ 一１ ＋２ 一 １ ＋２ ２ ） （ ） １ ＞
根 据 非 负数 的 性 质 得
口 一 ｂ ＝ ｂ — ｃ ＝ ｃ 一 ３ ＝ ０．
故 的 取 值 范 围是 ≥ ２ ． 三 、 最 值 求 例 ４ 巳 知 Ｘ、 ｚ 为 实 数 ， 满 足 Ｙ、 且
倒 ６ 解 方程
２ ４８ １ ０ ４０
专的 等 ——．０ 年希 杯 值于 （０ “望 ” ２１
初二 赛题 ） 解 将 原 不 等 式 整 理 得
（ ｑ一３ ＋（ ２—４ ） ） １ 口 ｐ＋（ 口一ｔ ） ０ ４ ２≤ ．
’ ． ’
ｉ一 ≯ 丁 一 ‘ ｉ
（ ９ ８年 宁波市初 中数 学竞赛题 ） １９ 分析 把 分子含有 未知数 的项和 分母 含有 未 知数 的项 分 别 组 合 在 一起 进 行 配
方
ｑ ＞ ３，．． 一 ３＞ ０， ‘口
．
．
Ｐ 一４ ４ Ｏ， ｐ ≤
解
由 原方 程 移 项 得
即（ ｐ一２。 ０ ）≤ ．
又 ’ （ 一２ 。 ０ ． （ 一２ 。 ． ． Ｐ ’ ）≥ ，‘ Ｐ ． ） ＝０
（一 ）‘一 ） ． 譬 一 ８ ＝ ≯ ０ ４
故
配方 可获解 ．
５ ＋ｊ １ 告 ２＋ ： ２ ，问 题 解
例 ８ 已知 Ｐ ｑ为 实数 ， 口 ， 、 且 ＞３ 满
足 ｐ 口＋１ ｐ一１ ￣ ３ 。＋４ ｑ一４ 那 么 ２ ２ ２ ｐ ｐ ｑ．
五 方 程 解
・ ．
３ ，‘ ：２ ｚ ＝一２／ ． ， ５ 经 检 验 ｌ ２ ｚ ， ．都 是 原 方 程 的 ， ， ３ｚ
根 ．
可 知 ｄ ＋６ ＝ｃ， ０ ０ ２
’
．
．
三 角形 为 直 角 三 角 形 ．
所 以 ｎ＝ｂ＝ｃ ． ＝３
故（ 口＋ｋ ） ＝１ ４ ． ２ ＝１４
ｆ 。一 。那么 ＋ ２ ２的 ｌ ２ ｙ＋ 最
Ｘ —Ｙ＋２ ＝３
例 ２ 若 ＋ ＋ ＝２ Ｙ 那 么 ｘ ．
＋ ＝
— — ．
小值 是 — — ．２０ （ ０ １年 “ 望 杯 初 ＝ 赛 希
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２０ ０ ２年 第 １期
数 学 学 习与研 究
配 方 法 是 一 种 重 要 的 解 题 方 法 ， 用 应
－
。
・
非 常广泛， 面举 例说明 ． 下
一
＋
ｌ 寺 号．
一４ 。＋８ ｘ 。一８ ＋
、
求 值
二、 求取 值 范 围
（９ ９年 “ 望 杯 ” 二 １９ 希 初
赛题 ） 解 由 巳 知等 式 移 项 配 方 得
●
解
。
由 巳知 条 件 得
＋ｖ ＋ ２ ＝３ 一１ ＋４ ｘ。 ８ １ ＝３ 一３ ＋１ （ ） ４
≥ １ ４
￡ ＝ ４ 一 ． ＝ ５ 一 ｚ ． Ｙ
．
．
（ ０ １年 “ 望 杯 ” 二赛 题 ） ２０ 希 初
题）
分析
该题 难度大 ． 若想 到配方． 则化
分析
难 为易 ． 意 盯住 前 面 两项， 裂 后 面三 注 分
项 进行配方
解
Ｙ ＝ （ 一４ ＋４ ）＋４ —８ ＋５ 。
＝
求 出 ｎ、 、 ｂ ｃ的值 去 考 虑， 一 个 方 程 含 有 而 兰 个 未 知 数 ． 般 情 况 无 法 求 出 未 知 数 的 一 值 ， 猜 想 该 方 程 必 定 特 殊 ． 察 昂 知 式 特 可 观
（ 一 １ ＋ （ ） ） Ｙ一 ＝０ ，
１
。
—
．
．
ｌ ． ＝０ Ｙ一寺 ＝０ ．
－
．
＿ ＝３时， 求的 最小 值为 ｌ ． ｌ 当 所 ４
２ ・ １
即 ＝１ｙ ＿． ． ＝ ！ ｝
四 、 简二次根 式 化
・
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点 ， 想 到完全 平方和 （ ） 联 差 公式 ， 是 利 用 于 配方思 想去尝试 ．
（ —２ ＋２ —２ ）＋１ ｘ） （ ＋
２（ ２—２ ＋１） ｘ ＋２
＝
解
将 巳 知 式变 形 配 方， 得
＝
（ ～ｂ ＋ （ ｎ ） ｂ— ｆ ＋ （ ） ｆ一３ ） ＝０ ．
皂） ０ ：
，
则 此 三 角 形
为—
—
三 角形 ．第 九届 “ （ 五羊杯 ” 题 赛 由已知条件 经过配方 得
ｄ ＝ ５． ＝ １ ｃ ＝ １ ６ ２， ３．
＋
勰
’
√３
解得 １ ５＋伍 ， ＝５ ＝ ２ 一
（ ｄ一 ５ 。 （ ） ＋ ６—１ ） ＋ （ ２ ０ ｃ一１ ） ＝ ０ ３ ，
４ 设 Ｙ＝ ３
例 １ 如 果 ａ ｂ ｆ满 足 ｄ ，， ＋２ ＋２ ６ ｃ
一
２ ｂ一２ ｃ ｃ＋９＝０ 那 么 （ ａ ｂ —ｂ ， ｎ＋ｋ ） ＝
—
．
５ 其 中 为 任 意 实 数 ， Ｙ 的 取 值 范 围 是 ， 则
．
— —
—
（ 十 届 “ 冲之 杯” 学 邀 请 赛 试 第 祖 数 要 求（ ａ＋ｋ ） 值 ， 从 分 别 的 可
２０ ０ ２年第 １期
数 学学 习与 研究
ｆ
。 ’
例 ５
已 知 ０ Ｘ＜ １ 化 衙 ＜ ，
４ ｘ ６ ２
／ 一） ４． ＋ 。４ （ 一（ ） ． ＋ Ｉ ／ 一
（ 第八届“ 冲之杯” 祖 数学邀请赛 试题） 分析 设想把 被开方式 变为完全平方 式 ， 先 打 散原 来 的 平方 结 构 ， 重 新 组 台 需 再
＝０．
配 得 壳 （ 一 ） ， 方 （ ０ 杰 ０ 秀一 ） ３ ３
・
・ ．
七 、 定 三 角 形 的形 状 判
例 ９ 已知三 角形 的三边适合 ａ ＋ｂ ０
＋Ｃ 。＋ ３ ３８ ＝ １ ０ａ ＋ ２４ｂ ＋ ２缸
，
（ ＋ ～ ） 一 隽一 （ ５ ５ ５ 杰一
［ 一２ （ ｘ）＋１ ＋２ 一１ ＋２ ］ （ ） （ 一１ ＋２ 一 １ ＋２ ２ ） （ ） １ ＞
根 据 非 负数 的 性 质 得
口 一 ｂ ＝ ｂ — ｃ ＝ ｃ 一 ３ ＝ ０．
故 的 取 值 范 围是 ≥ ２ ． 三 、 最 值 求 例 ４ 巳 知 Ｘ、 ｚ 为 实 数 ， 满 足 Ｙ、 且
倒 ６ 解 方程
２ ４８ １ ０ ４０
专的 等 ——．０ 年希 杯 值于 （０ “望 ” ２１
初二 赛题 ） 解 将 原 不 等 式 整 理 得
（ ｑ一３ ＋（ ２—４ ） ） １ 口 ｐ＋（ 口一ｔ ） ０ ４ ２≤ ．
’ ． ’
ｉ一 ≯ 丁 一 ‘ ｉ
（ ９ ８年 宁波市初 中数 学竞赛题 ） １９ 分析 把 分子含有 未知数 的项和 分母 含有 未 知数 的项 分 别 组 合 在 一起 进 行 配
方
ｑ ＞ ３，．． 一 ３＞ ０， ‘口
．
．
Ｐ 一４ ４ Ｏ， ｐ ≤
解
由 原方 程 移 项 得
即（ ｐ一２。 ０ ）≤ ．
又 ’ （ 一２ 。 ０ ． （ 一２ 。 ． ． Ｐ ’ ）≥ ，‘ Ｐ ． ） ＝０
（一 ）‘一 ） ． 譬 一 ８ ＝ ≯ ０ ４
故
配方 可获解 ．
５ ＋ｊ １ 告 ２＋ ： ２ ，问 题 解
例 ８ 已知 Ｐ ｑ为 实数 ， 口 ， 、 且 ＞３ 满
足 ｐ 口＋１ ｐ一１ ￣ ３ 。＋４ ｑ一４ 那 么 ２ ２ ２ ｐ ｐ ｑ．
五 方 程 解
・ ．
３ ，‘ ：２ ｚ ＝一２／ ． ， ５ 经 检 验 ｌ ２ ｚ ， ．都 是 原 方 程 的 ， ， ３ｚ
根 ．
可 知 ｄ ＋６ ＝ｃ， ０ ０ ２
’
．
．
三 角形 为 直 角 三 角 形 ．
所 以 ｎ＝ｂ＝ｃ ． ＝３
故（ 口＋ｋ ） ＝１ ４ ． ２ ＝１４
ｆ 。一 。那么 ＋ ２ ２的 ｌ ２ ｙ＋ 最
Ｘ —Ｙ＋２ ＝３
例 ２ 若 ＋ ＋ ＝２ Ｙ 那 么 ｘ ．
＋ ＝
— — ．
小值 是 — — ．２０ （ ０ １年 “ 望 杯 初 ＝ 赛 希
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２０ ０ ２年 第 １期
数 学 学 习与研 究
配 方 法 是 一 种 重 要 的 解 题 方 法 ， 用 应
－
。
・
非 常广泛， 面举 例说明 ． 下
一
＋
ｌ 寺 号．
一４ 。＋８ ｘ 。一８ ＋
、
求 值
二、 求取 值 范 围
