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(整理)基本求导积分公式

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f'(c) = 0f'(x^n) = nx^(x-1)f'(1/x) = -1/x^2f'(√x) = 1/2√xf'(㏑x) = 1/xf'(㏒ax) = 1/x㏑a （a为底）f'(a^x) = a^x * ㏑af'(e^x) = e^xf'(sinx) = cosxf'(cosx) = -sinxf'(tanx) = (sec^2)x = 1/(cos^2)xf'(cotx) = -(csc^2)x = -1/(sin^2)xf'(secx) = cesx * tanxf'(cscx) = -cscx * cotxf'(arcsinx) = 1/√(1-x^2)f'(arccosx) = -1/√(1-x^2)f'(arctanx) = 1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。

用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。

在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。

由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。

所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。

而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

4.y=logax⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。

可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。

这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。

因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。

5.y=sinx⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx6.类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。

7.y=tanx=sinx/cosxy'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x8.y=cotx=cosx/sinxy'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9.y=arcsinx x=siny x'=cosyy'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10.y=arccosx x=cosy x'=-sinyy'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11.y=arctanx x=tany x'=1/cos^2yy'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12.y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2yy'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2另外在对双曲函数shx,chx,thx 等以及反双曲函数arshx,archx,arthx 等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4.y=u 土v,y'=u'土v' 5.y=uv,y=u'v+uv' 1．基本求导公式⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n nnxx ；一般地，1)(-='αααxx 。

特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21)1(x x -='，xx 21)(='。

⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a xx 。

⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a ax x a 。

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()()()()g x g x g x ''=-。

3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式（1） ⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 11433221αααα； （2） C x dx x+=⎰||ln 1； C e dx e xx +=⎰； )1,0( ln ≠>+=⎰a a C a a dx a x x ； （3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰⑴⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121⑵ 分部积分法设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则⎰⎰-=baba bax du x v x v x u x dv x u )()()()()()(6、线性代数特殊矩阵的概念（1）、零矩阵 ,000022⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯O （2）、单位矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 n I 二阶,100122⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯I (3)、对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (4)、对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==752531212,A a a ji ij(5)、上三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 000022211211 下三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (6)、矩阵转置⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211转置后⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n T a a a a a a a a a A 2122212121116、矩阵运算 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+h d g c f b e a h g f ed c b a B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dh cf dg ce bh af bg ae h gf ed c b a AB 7、MATLAB 软件计算题例6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。

解：>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2)例：试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(xx y +=的一阶导数y '的命令语句。

>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x)+exp(x)); >>dy=diff(y)例11 试写出用MATLAB 软件计算定积分⎰21d e 13x xx 的命令语句。

解：>>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y,1,2) 例 试写出用MATLAB 软件计算定积分⎰x xx d e 13的命令语句。

解：>>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y)MATLAB 软件的函数命令表1 MATLAB 软件中的函数命令运算符号 典型例题例1 设某物资要从产地A 1，A 2，A 3调往销地B 1，B 2，B 3，B 4，运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：运输平衡表与运价表（1）用最小元素法编制的初始调运方案，（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。

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常用的求导和定积分公式

常用的求导和定积分公式

基本初等函数求导公式时间: 2021.03. 11 创作：欧阳音(2) (卫7 =刖(1) (C)' = 0(3) (sin x)f= cosx (4) (cos・x)‘ = -sinx(5) (tan x\=sec2x(6) (cot x)f = -esc2X(7) (8)(secx)'= sec x tan x (cscx)r = -cscxcotx(9) a x In a(10) (e r X = e v(11) 1(log“ X)'1xln a仃2〉■(14)(arcsine = 仏心审一亠(15) (16)(arctan x)9 = —(arc cot x)r = -—1 +2 1 + f函数的和、差、积、商的求导法设y 心），八咻）都可导，则(1)(u ±v\ = u ±v f(3)(MV)' =UV + UV 9反函数求导法则若函数2心）在某区间人内可导、 单调且0（刃丸,则它的反函数y=fM 在对应区间人内也可导，且dy _ 1 dx dx dy复合函数求导法则设 y = /（"）,而"=0（切 且 /（w ）及?（“） 都可导，则复合函数尸/［处）1的导数 为dy dudu dx 或 y = /'(")・0(x)dy dx （C 是常数） （4）二、基本积分表（k 是常数）f CX =arcsinx + C(2) 严-—+C,“+1（心 一1）(3) (4)冶"nx + C(6) cosx6Zr = sinx + C (7) sin xdx = 一 cos x +C(8) f —\—dx = tan x + C J cos"x(9)f —\―lx =-cot x + C J sin- x(10) | sec A tan xdx = sec x + C (11)esc xcot xdx = -esc x + C(1)(5)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24) 注：1、J shxdx = chx+C(a > 0,且a H1)^chxdx = shx+Cf - ----- ? dx = — arc tan — +CJ cC +x^ a ax-ax + al+Cf —f=dx = arc sin —+ CJ \/a2-x2 af —j====clx = ln(x + y/a2 +x2) + C y]a2+X2=In I x + yjx2 -a2 l+Cj tanA^v = -ln Icosxl+CJ cot xdx = In I sin x I+CJ secxdx = In I sec x +tan x I+CJ esc xdx = In I esc x-cotxl +C从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。

积分与求导公式大全_--最终排版(吐血推荐)

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一、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2uu v uv vv '''-⎛⎫=⎪⎝⎭-------------------------------------------------------------二、基本导数公式⑴ ()0c '= ⑵ 1x x μμμ-= ⑶ ()sin cos x x '=⑷ ()cos sin x x '=- ⑸ ()2tan sec x x '= ⑹ ()2cot csc x x '=-⑺ ()sec sec tan x x x'=⋅ ⑻()csc csc cot x x x'=-⋅ ⑼()xxe e '=⑽ ()ln xx a a a'= ⑾()1ln x x'= ⑿()1log lnx ax a'= ⒀ ()arcsin x '=⒁()arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+ ⒄ ()1x '= ⒅'=-------------------------------------------------------------三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦（2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nx n = （2）()()n ax bn ax be a e++=⋅ (3)()()ln n xx n a a a=(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+(7)()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+-------------------------------------------------------五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dxμμμ-= ⑶()sin cos d x xdx=⑷ ()cos sin d x xdx=-⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx=-⑺()sec sec tan d x x xdx=⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx=-⋅⑼()x x d e e dx= ⑽()ln x x d a a adx= ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln x a d dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x dx=-⒂()21arctan 1d x dx x =+⒃()21arc cot 1d x dx x =-+六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu=⑶()d uv vdu udv=+⑷2u vdu udv d v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭-------------------------------------------------------七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a =+⎰ ⑸x xe dx e c =+⎰⑹cos sin xdx x c =+⎰⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x =++⎰⑾arcsin x c=+⎰tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a =++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a -=+-+⎰arcsin x dx c a =+⎰ln dx x c =++⎰八、下列常用凑微分公式九、分部积分法公式⑴、形如n axx e dx⎰，令nu x=，axdv e dx=形如sinnx xdx⎰令nu x=，sindv xdx=形如cosnx xdx⎰令nu x=，cosdv xdx=⑵、形如arctannx xdx⎰，令arctanu x=，ndv x dx=形如lnnx xdx⎰，令lnu x=，ndv x dx=⑶、形如sinaxe xdx⎰，cosaxe xdx⎰令,sin,cosaxu e x x=。

常用的求导和定积分公式(完美)

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一．根本初等函数求导公式之五兆芳芳创作(1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a xx ln )(=' (10) (e )e x x'=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -='(14)211)(arccos x x --='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法例 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法例若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'='或dy dxdx dy 1=复合函数求导法例 设)(u f y =，并且)(x u ϕ=)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、根本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰(1)u ≠-（3）1ln ||dx x C x=+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰（7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x=+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰（11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且（14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a=++⎰（17）2211ln ||2x a dx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+（19）ln(x C =+（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数根本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证.2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数.3、温习三角函数公式：2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2xx +=，21cos 2sin 2xx -=. 注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分进程，所以第一类换元法也叫凑微分法.此办法是很是重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记根本积分表，并掌握罕有的凑微分形式及“凑”的技能. 小结：1经常使用凑微分公式。

常用的求导和定积分公式完美)

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一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '=(11) a x x a ln 1)(log =' (12) x x 1)(ln ='，(13) 211)(arcsin x x -='(14) 211)(arccos x x --=' (15) 21(arctan )1x x '=+ (16)21(arccot )1x x '=-+ 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)(（2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则 若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x=+⎰ （4）2tan 1dx arl x C x=++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰（7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x=+⎰（9）21cot sin dx x C x =-+⎰ （10）sec tan sec x xdx x C =+⎰（11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰（12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a =+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰（15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan x dx arc C a x a a=++⎰（17）2211ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+⎰ （18）sin x arc C a =+（19）ln(x C =++（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰（22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰（23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰（24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。