高中数学立体几何方法题型总结

1 立体几何 重要定理： 1）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个

平面. 2）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 3）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 4）两个平面垂直性质判定：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. 5）推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于21,ll， 因为OBPMOAPM,,,则OBPMOAPM,.

一：夹角问题 ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.

② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是． 异面直线所成角：范围：]90,0( （1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。(常用

到余弦定理abcba2cos222) （2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

(3)向量法。转化为向量的夹角ACABACABcos (计算结果可能是其补角)

直线与平面所成的角 ＝时，∥或0bob 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；

向量法：设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为，则有

sincoslnln的求法

二面角l的平面角， （1）定义法：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则

P

θMAB

O

θcba 2

射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。 （2）三垂线法：（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

向量法：设1n，2n是二面角l的两个面，的法向量，则向量1n，2n的夹角（或其补角）

就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则1212cosnnnn． 二、空间距离问题 两异面直线间的距离 方法一：转化为线面距离。如图，m和n为两条异面直线，n且//m，则异面直m

和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。 方法二：高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算,直接计算公垂线段的长度。

点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解； 向量法：点到直线距离：在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距

离为cos,ndnn 点到平面的距离 方法一：几何法。步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。 步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)

等体积法步骤：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=31S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.

方法二：坐标法。 APnAPdcosn

APn



线面距、面面距均可转化为点面距 三、平行与垂直问题 证明直线与平面的平行：（1）转化为线线平行；（2）转化为面面平行. 证明平面与平面平行：（1）转化为线面平行；（2）转化为线面垂直.

证明线线垂直：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； 方法（2）：用线面垂直实现。 方法（3）：三垂线定理及其逆定理。

nm

θα

P

OA

n

OAP 3

mlml







POlOAlPAl





证明线面垂直：（1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（2）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（3）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（4）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

方法（1）：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。

l

ABACAABACABlACl,

llmlm,

面面垂直： 







ll

方法一：用线面垂直实现。

方法二：计算所成二面角为直角。 高中数学之立体几何 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对正、高平齐、宽相等 3直观图：斜二测画法（角度等于45度或者135度） 4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积：1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积：2Srlr

4 圆台的表面积22SrlrRlR 5 球的表面积24SR 6扇形的面积公式213602nRSlr扇形（其中l表示弧长，r表示半径） 注：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长 （二）空间几何体的体积

1柱体的体积 VSh底 2锥体的体积 13VSh底

3台体的体积 1)3VSSSSh下下上上（ 4球体的体积343VR 平面的基本性质

mα

l

lAOP

α

lβαm

lβα

222rrlS 4

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面 平行—没有公共点 (1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法；有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定 1.定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直. 2.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c 3.一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b. 4.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α, 则a⊥b. 5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a. 5

(3)直线与平面平行的判定 ①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若 aα,bα，a∥b,则a∥α. ③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β. ④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若 α⊥β,l⊥β，lα，则l∥α. ⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若Aα，Bα，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α. ⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,aα，aβ，a∥α，则α∥β. ⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若 a⊥α,bα，b⊥a，则b∥α. ⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα) (4)直线与平面垂直的判定 ①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α. ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a, a⊥α,则l⊥α. ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β, l⊥β，则l⊥α. ⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α. ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ. (5)两平面平行的判定 ①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β. ②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β. ③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β. ④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. ⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b

α,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β. (6)两平面垂直的判定 ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a