谈谈有理数与无理数
实数通常分为有理数和无理数两类。这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关于有理数，我们知道得较多，其特征有：
1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；
2、每个有理数都可以写成分数的形式，即n
m ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。
我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数n
m 的分母n 能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数n
m 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22
=1。
根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：
1、任何有理数≠任何无理数；
2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ·b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。
下面着重介绍实数无理性的判定方法。
在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。
判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数
的关系，α就是有理数，故α=n
m （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。下面我们介绍几种常见的初等方法，主要适用于前三类无理数的判定。
一、利用整数的性质
整数特别是整数的奇偶性在判定实数的无理性方面起着重要的作用。
例1 求证：6是无理数。 证明：反证法。设6是有理数，则6=n m （n
m 为既约分数）。将两边平方并整理，得
6n 2=m 2， （1）
由于6n 2是偶数，因此m 2是偶数，从而m 是偶数，设m=2k ，代入（1）式，得
6n 2=4k 2， （2）
化简得3n 2=2k 2。同理3n 2也是偶数，而3是奇数，所以n 是偶数。这与原假设n
m 为既约分数矛盾。故6是无理数。 请证明：2+3是无理数。
二、利用算术基本定理
算术基本定理是数论中的重要定理，它不仅在数论而且在其它数学问题中都有着广泛的应用。有时它也被称作整数的唯一分解定理，内容如下：
对于任意的自然数N （N ≠0，1），它总可以唯一地分解成一些质数相乘的形式。即N=p 1p 2…p s ，其中p 1、p 2、…、p s 都是质数，并且p 1≤p 2≤…≤p s 。
例2 求证：2是无理数。 证明：反证法。设2是有理数，则2=n
m （其中m 和n 都是自然数）。将两边平方并整理，得
2n 2=m 2。 （1）
由于m 和n 都是自然数，则根据算术基本定理，它们都可以分解为质数的乘积，设m=p 1p 2…p s ，n=q 1q 2…q t
其中每一个p 和q 都是质数。代入（1）式，得
2（q 1q 2…q t ）2=（p 1p 2…p s ）2， （2）
由于2也是质数，故（2）式的左右两边均是一些质数的乘积，并且结果都是自然数，既然相等，那么左右两边质数个数应该相同。但这是不可能的，因为
（2）式左边共有2t+1个质数，而右边却是2s 个质数，奇数不可能等偶数。说明我们假设2是有理数是错误的。故2是无理数。
从以上的证明过程可以发现，2的作用就在于它是一个质数，这样可以推想：对于任意的质数p ，p 都是无理数。
与根式有关的无理数还有很多，基本上都有可以利用算术基本定理解决。下面的两个问题更具有一般性。
问题1 若n ，N 均是自然数（n ≠0，1），而且n N 不是整数，则n N 是无理数。
问题2 幂函数y=n x （n ＞1的自然数），当x 取无理数时，y 值必为无理数；而仅当x 表成既约正分数的分子和分母均是整数的n 次完全乘方数时，y 值才是有理数。 请证明：10是无理数。
例3 求证：log 221是无理数。
证明：反证法。设log 221是有理数，即log 221=
n
m （其中m 和n 都是自然数）。由对数定义，得
n m
2=21， 两边n 次方，得
2m =21n ，由于21=3·7，则
2m =3n ·7n 。显然这个等式是不能成立的，因为2，3，7都是质数，这样等式左右两边出现的质因数不相同，这与算术基本定理矛盾。故log 221是无理数。
关于对数值的无理性有以下结果：设a ，b 均为正整数，并且其中之一包含的某个质因数不为另一个所包含，则log a b 是无理数。
三、利用整系数方程有理根的性质
在一元多项式方程的理论中，有一个关于整系数一元方程是否有有理根的重要定理，即
设一元k 次方程为
n 0x k +n 1x k-1+…+n k-1x+n k =0 （*）
其中n 0，n 1，…n k-1，n k 均是整数，这样的方程称为整系数方程。如果n
m （n ≠0）是方程（*）的一个有理数根，则
（1）m 一定是n k 的约数；
（2）n 一定是n 0的约数。
在利用这个定理判定实数α的无理性时，需有以下三个步骤：
（1）构造一个整系数多项式方程，使得α是它的根；
（2）求出n 0和n k 的所有因数，只有它们的组合才能是方程的有理根；
（3）检验这些组合是否为方程的根，于是或者方程没有有理数根，而α是方程的根，故α为无理数；或者方程有有理数根，但经比较这些有理根都与α不相等，从而α为无理数。
例4 求证：cos20°是无理数。
证明：讨论三角函数值的无理性时，三角函数公式起着非常重要的作用。 首先注意到余弦函数的三倍角公式，即cos3θ=4cos 3θ-3cos θ，将θ=20°代入公式，有
cos60°=4cos 320°-3cos20°，由于cos60°=2
1，则有 2
1=4cos 320°-3cos20°，整理，得 8cos 320°-6cos20°-1=0， （1）
这说明cos20°是整系数方程8x 3-6x-1=0的根。由定理方程（1）若有有理
