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有理数与无理数课件

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正 整 数 :10
整数：
0
负 整 数 : 3
分数：正分数:
负分数:
2.5, 5%, 0.618, 16 7
5.6, 3,3.14,6 4
1 4
像这样，整数和分数我们统称为有理数
所以，像刚才上面的数我们给它们一个名字， 它们都是有理数
正 整 数 :10
整
数
0
有
理 数
分
数
负
正
负
整 分 分
3.非负有理数不包括0；
4.0是最小的数
5.一个数如果不是正数，必定就是负数。
A.1 B.2 C.3 D.4
练习3：.把下列各数填入相应的集合内：
-7.33，-3，0，+16，1，
3 7
10.01，+108，-392 ，-0.618
分数集合 -7.33，3 ，10.01，-3 2 ，-0.618 …｝
《数学》( 苏科版.七年级 上册 )
你能把下面的数分分类吗？
-5.6，-3，2.5， 3 ，0，-3.14，
5%，1 6
， 6 1
4 ，10，0.618
7
4
下面大家一起来试试：
第一步：
整数：-3，0，10
第分二数步：：-0.5.661，8，-127 6.5，，
3 64 1
4
，-3.14，5%， ，
3 4
,
3 .1 4 ,
6
1 4
大家可以看到零既不是正数也不是负数，但它是整数！
练习1.下列说法正确的是（ B）
A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数和负分数 C.正数和负数统称为有理数
D.3.14不是有理数

七上数学课件第2章：有理数与无理数-课件

七上数学课件第2章：有理数与无理数-课件

10 10
9
15
1
3 1
456 1151
ሶ
ሶ
ሶ
ሶ
× 3. 5＝ ×（3+0. 5）＝ + × ＝
10
10 10
999
3330
想一想
4、小学里学过的有限小数和循环小数是有理数吗？
如：0.3，－3.11，0.333 …，0.2666.…

0.3＝

－3.11＝−
311
100
有限小数和循环小数都可以
负分数集合∶{
…};
－4.8、
整数集合∶{ 20、0、-13、-2020、…};
分数集合∶ {
…};
－4.8、
有理数集合∶ {

20、－4.8、0、－13、+ 、

86%、-2020. …};
解析：20是正整数，也是整数、有理数;－4.8是负分数，也是分数、有理数;0是
整数，也是有理数;－13，－2020
= . … … =1.2ሶ

=0.81818181…

−
27
11
9
， ， 。
4
9
11
=0. 8ሶ 1ሶ
如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部
分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么
这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，
其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循
环节，例如，0.666…的循环节是“6” ，它可以
典例展示厅
题型二、识别有理数、无理数
无理数
【典例2】⑴若一个边长为a的正方形的面积为8，则数a为___________（填“有理数”
或“无理数” ）;若一个边长为b的正方形的面积为 9，则数b为____________填“有理数”

有理数与无理数

有理数与无理数

40
2.2.4实数集是不可数的
定理6
实数集是不可数的。 证明：1）构造法 2）区间套法 定理7 存在着无理的实数。
41
2.2.5代数数

a0 xn a1xn1 a2 xn2 ... an1x an 0
代数基本定理 n次方程（1）在复数域中有n 个根。 定义 一个实数或复数叫做代数数，如果它 是某一个整系数方程的根。 定义 任何不是代数数的实数叫做超越数。 定理8 代数数的集合是可数的。 定理9 存在超越数。
38
几个对等集的例子：
A
A B
B
A
B
39
2.2.3有理数集是可数的
定义

凡与集N对等的集A都叫做可数集, 或称集 A是可数的。 定理1 正有理数的集合是可数的。 定理2 一个有限集和一个可数集如无公共 元素，那么它们的和集是可数的。 定理3 两两不相交的有限个可数集的和集 是可数的。 系1 全体整数的集合是可数的。 系2 全体有理数的集合是可数的。 定理4 两两不相交的可数个有限集的和集 是可数的。 定理5 两两不相交的可数个可数集的和集
17
2.1.5有理数域 数学造型:从0和1出发，通过有理运算可以 造出全部有理数。 有理数域兊服了自然数系的缺陷，相对来说 是比较完美的：对四则运算是封闭的，而且 具有稠密性。 数域是抽象代数的一个基本概念,有理数域 只是数域的一种(最小的数域).
18
2.1.6第一次数学危机
一个正方形的对角线与其 一边的长度是不可公度的 「万物皆数」
书里的著名对话说明远在康托尔 的集合论创始之前，伽利略对 无限已经有了很好的理解。
36
2.2.1一段富有启发性的历史对话

有理数和无理数

有理数和无理数
年级：八年级 学科名称：数学 有理数无理数
授课学校： 授课教师：
复习 你认识下列各数吗？
3
3 5
9 5
11
0.875
0
有理数分类：
正整数
整数 零
有 理
负整数
数 分数 正分数
负分数
正整数
正数
有
正分数
理零
数 负数 负整数
负分数
1.回顾整数与分数的概念：
整数有正整数、0、负整数 如1，2，3，0，-1，-2，-3等 分数有正分数、负分数，
1 1
1 1
a2 2
a
a2 2
a
a是分数吗？
a aa
a是整数吗？
点 击 我 啊
小明根据他的探索过程整理出如下的表格
边长 a 1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415
1.4142<a<1.4143
面积s=a2 1<S<4
1.96<S<2.25 1.9881<S<2.0164 1.999396<S<2.002225
1.99996164<S<2.00024449
讨论
• 还可以继续计算下去么? • a可能是有限小数么?
结论: a=1.41421356……,它是一个无限不循环小数
• 估计面积为5的正方形的边长b的值,（结果精确到十 分位）,并用计算器验证你的估计.
• 探索:b=? 精确到百分位
❖结论： ❖b=2.2360679…它也是一个无限不循环小数
2 3Βιβλιοθήκη -5.232323…..

《有理数与无理数》课件

《有理数与无理数》课件

有理数与无理数的联系
实数之间的关系
有理数和无理数共同构成了实数的集 合，即实数是有理数和无理数的统称 。
极限思想
在数学分析中，有理数可以通过极限 思想“逼近”无理数，即对于任意给 定的无理数，总存在一个有理数序列 ，该序列的极限等于该无理数。
有理数与无理数在实际中的应用
物理测量
在物理测量中，许多量如长度、 时间等都是以有理数的形式表示 的，但在某些精确计算中可能需
无理数的运算
加法运算
无理数的加法运算与有 理数的加法运算类似， 遵循交换律和结合律。
减法运算
无理数的减法可以通过 加法运算进行转化，例 如 a - b = a + (-b)。
乘法运算
无理数的乘法运算具有 封闭性，即两个无理数 的乘积仍然是无理数。
除法运算
无理数的除法运算可以 通过乘法运算进行转化
，例如 a / b = a * (1/b)，其中 b ≠ 0。
习题的解答和解析
选择题：正确的是（） 无理数都是无限小数（√）
有理数都是有限小数（×）
习题的解答和解析
无限小数都是无理数（×） 有限小数都是有理数（√） 填空题：答案见解析。
THANKS
感谢观看
05
CATALOGUE
习题与解答
有理数与无理数的相关习题
判断题
所有的无理数都是无限不循环小数。（）
选择题
下列说法正确的是（）
有理数与无理数的相关习题
无限小数都是无理数 有理数都是有限小数
有限小数都是有理数
有理数与无理数的相关习题
有理数
${3.14, - frac{22}{7}, 0, - sqrt[3]{8},frac{22}{7},pi}$

2.2 有理数与无理数1

2.2 有理数与无理数1
有限小数、无限循环小数都可以化成分数，因此它
们都是 有理数
归纳：
• 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。
• 反之,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
整数和分数统称为有理数．
正整数
整数 零 负整数
有理数
分数

正分数
负分数
有限小数和无限循环小数属于分数．
是不是所有的数都是有理数呢？
当希勃索斯提出他的发现之后，毕达哥 拉斯大吃一惊，原来世界上真的有“另类数” 存在。 15世纪意大利著名画家达.芬奇称之 为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普 勒称之为“不可名状”的数。这一发现使该 学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们 在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁， 受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
将两个边长为1的小正方形，沿图中红线剪开，重新拼成 一个大正方形，它的面积为2．
a
a
a
a
如果设它的边长为 a ，那么 a2 2 ． a是有理数吗？
因为 12 1, 22 4 ，所以 a 是大于1而小于2的数．
因为
33 9 2 22 4
，所以
a 不是
3 2
．
因为 4 4 16 2 ，所以 a 不是 4 ．
33 9
3
因所以
a
不是
5 3．
事实上， a 不能化为分数的形式，a是一个无限不循环 小数，它的值是1.414 213 562 373
a
无限不循环小数叫做无理数．
小学学过的圆周率π是无限不循环小数，它的值
是3.141 592 653 589…，π是无理数．
正整数
整数 零 负整数

北师大版八年级数学上册课件 第2章 第1节 认识无理数(共32张PPT)


算一算
1
x
x2 ?
2
问：x是整数（或分数）吗？
剪一剪
把两个边长为1的小正方形通过剪、 拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1 1
1 1
拼一拼
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 11:00:52 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
(2)无限小数都是无理数; （ ╳ ）
(3)无理数都是无限小数; （ √ ）
(4)有理数是有限小数. （ ╳ ）
强调
无理数是无限不循环小数， 有理数是有限小数或无限循环小数.
c 例3 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形；
B.面积为 4 的正方形； 25
C.面积为8的正方形；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8

2.2有理数与无理数


那么a既不是整数又不是分数，那么它肯定不是有理数了，它 是什么数呢？
这个数a有多大呢？ a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？
• 请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究 竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69， 1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5 小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位 上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的 数字.请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格 的形式反映出来。计算a.xls
3.把下列各数填在相应的大括号内
• 3/5，0，π/3 ，3.14，-2/3,22/7,4/9, • －0.55，8，1.121 221 222 1…(相邻两个１ 之间依次多一个２)，0.211 1，999
六、体验收获
能说出你这节课的收获和 体验让大家与你分享吗？
试一试
• 现在我们把小数进行分类
• 小数

有限小数
——
有理数
——
无限小数

无限循环小数
有理数 有理数？
无限不循环小数
——
第一次数学危机
• 公元前五世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物 皆是数”——任何数都可以表示为整数或整数的 比（即有理数）.他的学生希伯索斯发现一个反 例：当正方形边长为整数1时，对角线的长就无 法用有理数表示！从而引发第一次数学危机.希 伯索斯因为没有按毕达哥拉斯“保持沉默”的要 求，把这个问题公之于众，结果被投尸大海，葬 身鱼腹，造成历史上震惊数学界的无理数发现惨 案.
• 例3.、你还能写出一个无理数吗？
3π 0.2020020002…

有理数与无理数最新版


例1 下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理 数? 3.14 , -4/3, 0.57, 0.101000100 0001…(相 邻两个1之间0的个数逐次加2）
解：有理数有： 3.14 , -4/3, 0.57
无理数有： 0.101000100 0001…
随堂练习
哪些是有理数？哪些是无理数？
0.351
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
3 ， 4/5， 5/9， -8/45， 2/11
4/5=0.8 5/9=0.555555555555555… -8/45=-0.177777777777… 2/11=0.18181818181818…
0.8 有限小数 0.555555555555555… 无限循环小数 -0.177777777777… 无限循环小数 0.18181818181818… 无限循环小数
结论：
C=1.25992105…它也是一个无限不循环小数
定义
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。 反之,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
无限不循环小数叫做无理数
更多无理数
a=1.41421356… b=2.2360679…
π=3.14159265…
0.58588588858888…（相邻两个5之间8的 个数逐次加1）
2.2有理数无理数
1.回顾整数与分数的概念：
整数有正整数、0、负整数 如1，2，3，0，-1，-2，-3等 分数有正分数、负分数，
分数的形式为
m （m、n是整数且 n0）
n
2.整数也可以表示成分数的形
式：
5 5 1
44 10 0ຫໍສະໝຸດ 1m我们把能够写成分数形式

认识无理数课件


其他生活场景中无理数现象
在金融领域，无理数也经常出 现。例如，股票价格、汇率等 金融数据经常以小数形式表示 ，并且可能包含无限不循环的 小数部分，因此是无理数。
在音乐中，音高和音程可以用 频率来表示。这些频率值往往 是无理数，因为音乐的和谐性 要求精确的音高比例。
在物理学中，许多常数和公式 涉及到无理数。例如，圆周率π 是一个典型的无理数，它在计 算圆的周长、面积等时经常出 现。
03
忽视无理数的运算 规则
在进行无理数的运算时，需要注 意运算顺序和运算法则，避免出 现计算错误。
拓展延伸：无理数在数学领域更深层次应用
无理数与几何学
在几何学中，无理数常常出现在与 长度、面积和体积相关的计算中，
如勾股定理中的斜边长度等。
无理数与数学分析
在数学分析中，无理数的存在 对于极限、连续性和可微性等 概念的研究具有重要影响。
无理数与代数学
在代数学中，无理数是实数域的一 个重要组成部分，对于方程的求解 和函数的性质研究具有重要意义。
无理数与概率论
在概率论中，无理数可以作为 随机变量的取值，参与概率分
布和期望等统计量的计算。
THANK YOU
感谢聆听
无理数的判别方法
通过开方、求根、三角函数等特殊运算产生的数 ，若无法化简为有理数形式，则可判定为无理数 。
易错难点剖析指导
01
误将无限循环小数 当作无理数
无限循环小数是有理数的一种形 式，可以表示为两个整数的比值， 因此不是无理数。
02
误将带根号的数当 作无理数
带根号的数不一定是无理数，例 如√4=2是有理数。需要判断开 方后是否能得到有理数。
在几何图形中，通过构造符合黄金分割比例的线段或图形，可以创造出
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更多无理数
a=1.41421356… b=2.2360679…

π=3.14159265…

0.58588588858888…（相邻两个5之间8的 个数逐次加1）
例1 下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理 数? 3.14 , -4/3, 0.57, 0.101000100 0001…(相 邻两个1之间0的个数逐次加2） 解：有理数有： 3.14 , -4/3, 0.57 无理数有： 0.101000100 0001…
初中数学七年级上册
苏科版
2.2有理数无理数
1.回顾整数与分数的概念： 整数有正整数、0、负整数 如1，2，3，0，-1，-2，-3等 分数有正分数、负分数， 分数的形式为
m （m、n是整数且 n 0 ） n
2.整数也可以表示成分数的形 式：
5 5 1
4 4 1
0
0 1
我们把能够写成分数形式

结论： b=2.2360679…它也是一个无限不循环小数
同样，对于体积为2的立方体，借助计算器， 求它的棱长

结论：
C=1.25992105…它也是一个无限不循环小数
定义

有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。

反之,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

无限不循环小数叫做无理数

0.8
有限小数 无限循环小数 无限循环小数 无限循环小数
0.555555555555555… -0.177777777777… 0.18181818181818…
有限小数、无限循环小数都可以化成分数，因此它 们都是 有理数
面积为2的正方形，边长a究竟是多少？ 即a2=2时，a是多少？


随堂练习

哪些是有理数？哪些是无理数？
0.351
2 3
4. 96
π 3
..
3.14159…
-5.232323…
0.1234567891011…(由相继的正整数组成)

判断对错

(1)有限小数是有理数;
(2)无限小数都是无理数; (3)无理数都是无限小数; (4)有理数是有限小数.
（√）
（ ╳） （√） （ ╳）
m n
（m、n是整数且
n0
的数叫
有理数

把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3 ， 4/5， 5/9， -8/45， 2/11

4/5= 0.8 5/9= 0.555555555555555… -8/45= -0.177777777777… 2/11= 0.18181818181818…
3个正方形的边长之间有怎样的大小关系?

边长a的整数部分是几? 十分位是几?百分 位呢?千分位呢?......借助计算器进行探索
小明根据他的探索过程整理出如下的表格
边长 a
1<a<2 1.4<a<1.5
面积s=a2
1<S<4 1.96<S<2.25
1.41<a<1.42
1.414<a<1.415 1.4142<a<1.4143



谢谢观赏
1.9881<S<2.0164
1.999396<S<2.002225 1.99996164<S<2.00024449
讨论

还可以继续计算下去么? a可能是有限小数么?

结论: a=1.41421356……,它是一个无限不循环小数

估计面积为5的正方形的边长b的值,（结果精 确到十分位）,并用计算器验证你的估计. 探索:b=? 精确到百分位