(专题)有理数与无理数的计算

专题01 有理数无理数的概念及运算典例精选1．（新罗区校级自主招生）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：①（a，b）＝（c，d），当且仅当a＝c，b＝d；②运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）＝（ac+bd，bc﹣ad）；③运算“θ”为：（a，b）θ（c，d）＝（a﹣c，b﹣d）．设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），则（1，2）θ（p，q）（ ）A．（﹣2，﹣2）B．（3，4）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）【点拨】先根据（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），列方程组求p、q的值，再由规定运算“θ”求（1，2）θ（p，q）的结果．【解析】解：由规定②，得（1，2）⊗（p，q）＝（p+2q，2p﹣q），∵（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），∴（p+2q，2p﹣q）＝（11，2），由规定①，得p+2q=112p―q=2，解得p=3q=4，由规定③，可知（1，2）θ（p，q）＝（1，2）θ（3，4）＝（1﹣3，2﹣4）＝（﹣2，﹣2）．故选：A．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算．关键是理解规定运算，依照规定运算的要求，依次计算．2．（瓯海区校级自主招生）设a=a是（ ）A．无理数B．正整数C．分数D．负整数【点拨】根据根号里面的形式，可将里面的式子配成立方公式，然后开立方后合并即可得出答案．【解析】解：―62―1＝3×22×3×2×2―1，令x＝2，y=3x2y﹣3xy2﹣1，又∵x3﹣y3＝8﹣7＝1，∴原式＝3x2y﹣3xy2﹣（x3﹣y3）＝y3﹣x3+3x2y﹣3xy2＝（y﹣x）32）3．∴a=―2―=―2．故选：D．【点睛】此题考查了有理数无理数的运算及立方公式的知识，技巧性较强，解答本题的关键是熟练立方公式的形式，将根号里面的式子配成立方公式，然后运算．3．（新编）若自然数n使得做竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，使称n为“连绵数”，例如12是“连绵数”，因12+13+14不产生进位现象；但13不是“连绵数”．则小于1000的“连绵数”共（ ）个．A．27B．47C．48D．60【点拨】首先根据题意求出个位数和十位数满足的条件，然后根据能构成“连绵数”的条件求出小于1000的“连绵数”的个数．【解析】解：根据题意个位数需要满足要求：∵n+（n+1）+（n+2）＜10，即n＜2.3，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：3n ＜10，∴n ＜103，∴十位可以取0，1，2，3四个数，∵百位数需要满足：3n ＜10，∴n ＜103，∴百位可以取0，1，2，3四个数，故小于1000的连绵数共有3×4×4＝48个．故选：C ．【点睛】本题主要考查整数的十进制表示法的知识点，解答本题需要从个位数和十位数需要满足的要求着手．4．（镇海区校级自主招生）有四个命题：①如果两个整数的和与积都相等，那么这两个整数都等于2；②每一个角都等于179°的多边形是不存在的；③只有一条边的长大于1的三角形的面积可以等于12；④若α，β是不相等的无理数，则αβ+α﹣β是无理数．其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【点拨】根据整数的运算，多边形的内角、三角形的面积及有理数与无理数的知识，分别判断各选项即可得出答案．【解析】解：①如果两个整数的和与积相等，那么这两个整数都等于0或2，故命题错误；②每一个角都等于179°的多边形是360边形，是存在的，故命题错误；③当三边长分别为1、1时，满足面积等于12，且只有一条边大于1，故命题正确；④只要令α＝1β＝﹣1+αβ+α﹣β为有理数，故命题错误．综上可得③正确，共1个．故选：A．【点睛】本题综合考查了有理数及无理数的运算，三角形的面积及多边形的内角与外角的知识，关键是熟练整数的四则运算，三角形的面积计算，多边形的内角和定理的理解和运用，有一点的难度．5．（南充自主招生）若a、b为非零实数，下列说法正确的是（ ）A．a2―ab+14b2是非负数B．|a+b|≥|a﹣b|C．若a＞b，则1a ＜1 bD．（a+1）x＞b的解集为x＞b a1【点拨】利用完全平方的非负性可得出A是正确的，对于B、C、D可用不等式的性质进行求解判定．【解析】解：A、a2―ab+14b2=（a―12b）2，为非负数，故本选项正确；B、若a、b同号，则|a+b|≥|a﹣b|，若a、b异号，则|a+b|≤|a﹣b|，故本选项错误；C、若a＞0，b＜0，此时1a ＞1b，故本选项错误；D、若a+1＜0，此时（a+1）x＞b的解集为：x＜ba1，故本选项错误；故选：A．【点睛】此题考查了有理数无理数的概念与运算，涉及了不等式的性质完全平方的性质，解答本题注意“赋值法”的运用，难度一般．6．（瓯海区校级自主招生）如果78＜qp＜89，p，q是正整数，则p的最小值是（ ）A．15B．17C．72D．144【点拨】根据不等式先写出q的取值范围，根据q为正整数，结合选项判断p的最小值．【解析】解：由题意得，78p＜q＜89p，如果p＝15，则此时13.325＜q＜13.33，q没有正整数值；如果p＝17，则此时14.875＜q＜15.111，q可取15；如果p＝72，则此时63＜q＜64，q没有正整数值；如果p＝144，则此时126＜q＜128，q可取127；综上可得p的最小值为17．故选：B．【点睛】此题考查了有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是将原不等式进行转换，因为是选择题，我们可以将选项代入判断．7．（鹿城区校级自主招生）设p是给定的奇质数，正整数k k＝ ．（结果用含p的代数式表示）【点拨】由条件可以知道k2﹣pk n，k2﹣pk﹣n2＝0，k而p2+4n2是平方数，设为m2，则（m﹣2n）（m+2n）＝p2，p是奇质数，p≥3，则m―2n=1m+2n=p2，可以得到m=p212n=p214代入就可以求出k值．n，k2﹣pk﹣n2＝0，k从而p2+4n2是平方数，设为m2，p2+4n2＝m2，则（m﹣2n）（m+2n）＝p2∵p是质数，p≥3，∴m―2n=1m+2n=p2，解得：m=p21 2n=p21 4∴k=p±m2=2p±(p21)4，∴k1k2=(p1)24（负值舍去）故答案为：(p1)24【点睛】本题考查了有理数和无理数的意义的运用，质数的性质，正整数的意义及对相关概念的理解．8．（梁子湖区校级自主招生）已知函数y=f(x)=1，则f（1）+f（2）+…+f（511）＝　7　．【点拨】把原函数关系中的无理式变形得到y=12，然后把分子分母都乘以―1，得到f（x）=―x＝1，2，…，511分别代入后求和可得到f（1）+f（2）+…+f（511）=+―+⋯+=―512与1的立方根，即可得到答案．【解析】解：∵y=f(x)=1=1231=∴f（1）=―f （2）=…f （511）=∴f （1）+f （2）+…+f （511）=+―+⋯+=8﹣1＝7．故答案为7．【点睛】本题考查了立方差公式：（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）＝a 3﹣b 3．也考查了无理式的变形能力．9．（鹿城区校级自主招生）在平面直角坐标系中，点P 的坐标是+m +n)，m 、n 都是有理数，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，已知△OPH 的面积为1，其中O 为坐标原点，则有序数对（m ，n ）为　（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）　（写出所有满足条件的有序数对（m ，n ））．【点拨】由△OPH ，根据三角形的面积公式可以得到：12×+m ）+n ）＝然后根据m ，n 是有理数就可以求出m ，n 的值，最后求出有序数对（m ，n ）．【解析】解：∵S △OPH 1，∴12×m ）+n∴2m +n ）+mnm +n ﹣1）+mn +2＝0m +n +1）+mn +2＝0，∵m ，n 都是有理数，∴m +n ―1=0mn +2=0或m +n +1=0mn +2=0，解得：m =―1n =2，m =2n =―1，m =―2n =1，m =1n =―2；∴有序数对（m ，n ）为：（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）．故答案为：（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）．【点睛】此题考查了有理数的概念，点的坐标以及三角形的面积问题．此题难度较大，解此题的关键是利用了m，n是有理数来得到关于m，n的方程．10．（瓯海区校级自主招生）如果一个数能表示成x2+2xy+2y2（x，y是整数），我们称这个数为“好数”．（1）判断29是否为“好数”？（2）写出1，2，3，…，20中的“好数”．（3）如果m，n都是“好数”，求证：mn是“好数”．【点拨】（1）根据x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2可以得到好数特征，根据“好数”定义判断29是否为“好数”．（2）根据好数的定义判断1，2，3，…，20中的“好数”．（3）设m＝x2+2xy+2y2，n＝p2+2pq+2q2，化简mn＝[（x+y）（p+q）+qy]2+[q（x+y）﹣y（p+q）]2，令u+v ＝（x+y）（p+q）+qy，v＝q（x+y）﹣y（p+q），于是可以判断出mn为“好数”．【解析】解：（1）x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2，特征：“好数”是“好数”就是两个整数的平方和，而29＝52+22，故29是“好数”，（2）1，2，3，…，20中的“好数”的有1、2、4、5、8、9，10，13，16，17，18，20，（3）m＝x2+2xy+2y2，n＝p2+2pq+2q2．则mn＝（x2+2xy+2y2）（p2+2pq+2q2）＝[（x+y）2+y2][（p+q）2+q2]＝[（x+y）（p+q）+qy]2+[q（x+y）﹣y（p+q）]2，令u+v＝（x+y）（p+q）+qy，v＝q（x+y）﹣y（p+q）．那么mn＝（u+v）2+v2＝u2+2uv+2v2，因为x，y，p，q均为整数，所以（x+y）（p+q）+qy，q（x+y）﹣y（p+q）也为整数，所以u+v，v为整数，所以u，v为整数．因此mn为“好数”．【点睛】本题主要考查有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是掌握“好数”的定义和完全平方式的知识，难度不大．精准预测1．定义新运算*为a*b＝a+b―a×b4，那么20*20*2005*5*5＝（ ）A．0B．25C．15625D．2005【点拨】根据新定义求出20*20＝﹣60，然后再求出﹣60*2005*5*5的值即可．【解析】解：∵a*b＝a+b―a×b 4，∴20*20＝40﹣100＝﹣60，∴﹣60*2005＝1945+30075＝32020，∴32020*5＝﹣8000，∴﹣8000*5＝﹣7995+10000＝2005．故选：D．【点睛】本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是理解新运算，此题难度一般．2．已知|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4且|x﹣2y+z|＝9，则x2y2011z3的值是（ ）A．432B．576C．﹣432D．﹣576【点拨】由|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4，可得﹣3≤x≤3，﹣1≤y≤1，﹣4≤z≤4，又由|x﹣2y+z|＝9，即可得①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4，继而求得x2y2011z3的值．【解析】解：∵|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4，∴﹣3≤x≤3，﹣1≤y≤1，﹣4≤z≤4，∵|x﹣2y+z|＝9，∴①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4，∴x2y2011z3的值都是负的，∴x2y2011z3＝﹣9×1×64＝﹣576．故选：D．【点睛】此题属于有理数无理数的概念与运算的知识．此题难度适中，注意根据题意得到①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4是解此题的关键．3．如果a++b b是有理数，那么（ ）A．a是整数B．a是有理数C．a是无理数D．a可能是有理数，也可能是无理数【点拨】先把等式变形为a+b1﹣ab），再根据等式一边出现无理数则a，b中必有一个数为无理数即可进行解答．【解析】解：∵a++b=∴a+b=1﹣ab）等式一边出现无理数，若a，b均为有理数，则等式恒不成立，又∵b为有理数，∴a必为无理数．故选：C．【点睛】本题考查的是有理数及无理数的概念及运算，能把原式化为a+b=1﹣ab）的形式是解答此题的关键．4．设A为n位正整数，n≥2，B为k位正整数，k≥1，则可有n﹣1种办法把B整个地插入A的相邻两位数字之间，得到n+k位正整数C．例如A＝1991，B＝35，则有三种插法：C为135991或193591或199351．如果对每一个能被B整除的A，把B任意插入A得到的C能被B整除，就称B为协调数．则1、2、3、4、5、6、7、9、10、11、12、15、66、90这14个数中，共有（ ）个是协调数．A．6B．8C．10D．11【点拨】根据协调数所满足的条件，给每一个数赋一个A值，然后插入后得出C的值，进而可判断出这个数B是否为协调数，综合起来即可得出协调数的个数．【解析】解：（1）令A＝22，此时B＝1，C＝212，C能被B整除，故正确．（2）令A＝12，B＝2，C＝122，C能被B整除，故正确；（3）令A＝12，B＝3，C＝132，C不能被B整除，故错误；（4）令A＝12，B＝4，C＝124，C能被B整除，故正确；（5）令A＝25，B＝5，C＝255，C能被B整除，故正确；（6）令A＝18，B＝6，C＝168，C不能被B整除，故错误；（7）令A＝14，B＝7，C＝174，C不能被B整除，故错误；（8）令A＝18，B＝9，C＝198，C能被B整除，故正确；（9）令A＝20，B＝10，C＝2100，C能被B整除，故正确；（10）令A＝22，B＝11，C＝2112，C能被B整除，故正确；（11）令A＝24，B＝12，C＝2124，C能被B整除，故正确；（12）令A＝30，B＝15，C＝3150，C能被B整除，故正确；（13）令A＝132，B＝66，C＝13662，C能被B整除，故正确；（14）令A＝180，B＝90，C＝18900，C能被B整除，故正确．综上可得共有11个协调数．故选：D．【点睛】本题涉及了协调数这个新概念，比较新颖，难度一般，关键是理解协调数所满足的条件，另外在进行每一个数的判断时要细心，数比较多，很容易出错．5．设a＝1996，b＝9619，c＝1996，d＝6199，则此四个数的大小关系为（ ）A．a＞b＞c＞d B．d＞a＞b＞c C．c＜d＜a＜b D．b＞c＞d＞a【点拨】由a＝1996＝36148，可判断出a和b的大小关系，将d变成2162161993，可判断出c和d的大小，进而结合选项利用排除法即可得出答案．【解析】解：a＝1996＝36148，b＝9619，∴a＞b，又∵c＝1996，d=216199 3，∴d＞c，结合选项可得只有B符合．故选：B．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念及计算，关键是将幂指数转化为底数使底数改变，从而达到比较大小的目的，有一定的技巧，难度较大．6．在分数1567，2567，3567，…，567567中把所有的最简分数相加，和为（ ）A．284B．283C．163D．162【点拨】567＝3×3×3×3×7，从而可得只要分子中是3或7的倍数就不是最简分数，求和时去掉这些数，然后利用分组法求解即可得出答案．【解析】解：∵567＝3×3×3×3×7，∴只要分子中是3或7的倍数就不是最简分数，故简分数分子的和为：（1+2+3+...+567）﹣（3+6+9+...+567）﹣（7+14+21+...+567）+（21+42+ (567)＝（1+567）×5672―3（1+2+...+189）﹣7（1+2+...+81）+21（1+2+ (27)＝284×567﹣3（1+189）×189/2﹣7（1+81）×81/2+21（1+27）×27/2＝284×567﹣95×567﹣41×567+14×567＝162×567．所以，所有的最简分数相加，和为162．故选：D．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是根据567的约数找出所有的最简分数，难点在于将剩余的分数利用分组法求和．7．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，ba，b，的形式，则a1992+b1993＝　2　．【点拨】根据三个有理数互不相等，又可以用两种方法表示，也就是这两组数分别对应相等，利用互斥原理，即可推理出a、b的值．【解析】解：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，ba，b的形式，也就是说这两个三数组分别对应相等，于是可以断定，a+b与a中有一个为0，ba与b中有一个为1，但若a＝0，会使ba没意义，所以a≠0，只能是a+b＝0，即a＝﹣b，又a≠0，则ba=―1，由于0，ba，b为两两不相等的有理数，在ba=―1的情况下，只能是b＝1．于是a＝﹣1．所以，a1992+b1993＝（﹣1）1992+（1）1993＝1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了有理数与无理数的概念与运算，利用互斥原理，逐步进行推理得出正确结果是解题的关键．8．设S=999999)(12110)(13110)⋯(17110)，则S的整数部分为　1　．【点拨】将原式化为乘法，再约分计算即可解答．【解析】解：S=499599999(12110)(13110)⋯(17110)=103×104×105×106×107×10899×99×99×99×99×99×110×110×110×110×110×110 103×104×105×106×107×108=10696=（109）6＝1.8816…．故答案为1．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则及约分的方法是解答本题的关键．9．计算：(244444 (111111．【点拨】观察(244444(111111，发现规律：均包含有x4+14的形式，因而对其进行因式分解得（x2﹣x+12）（x2+x+12）．将此规律运用到原式中，通过对分子、分母约分化简，最后求出原式的值．【解析】解：x4+14=[（x2）2+x2+14]﹣x2＝（x2+12）2﹣x2＝（x2+12+x）（x2+12―x），原式=52×132×252×412×592×852×1132×1452×1812×2212 12×52×132×252×412×592×852×1132×1452×1812=221212=221．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算，发现规律：均包含有x4+14的形式，因而对其进行因式分解得（x2﹣x+12）（x2+x+12）是解题关键．10．计算：1+2+22+23+ (21999)【点拨】根据后项比前项都等于2，每项都乘以2，可得新代数式的和，根据两式相减，可得所求和的相反数，根据等式的性质，可得答案．。

人教版七年级数学上册有理数与无理数有关的计算专题练习人教版七年级数学上册有理数与无理数有关的计算专题练一、填空题1. $(-3) - (+4) = \underline{\hspace{1cm}}$ 。

2. $-7.6 + (-1.5) = \underline{\hspace{1cm}}$ 。

3. $5 \times (-\frac{3}{4}) = \underline{\hspace{1cm}}$ 。

4. $-\frac{1}{2} \div \left(-\frac{1}{3}\right) =\underline{\hspace{1cm}}$ 。

5. $24 \div (-6) = \underline{\hspace{1cm}}$ 。

二、计算题1. $\sqrt{7} + \sqrt{18} = \underline{\hspace{1cm}}$ 。

2. $\sqrt{21 \times 3} = \underline{\hspace{1cm}}$ 。

3. $-\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \underline{\hspace{1cm}}$ 。

4. $\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{125} = \underline{\hspace{1cm}}$ 。

5. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 +\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \underline{\hspace{1cm}}$ 。

三、解题1. 小明从海平面以下1280米的地方出发，下潜62米后停下来，后来继续下潜43米。

请问，小明现在离海平面有多远？答：小明现在离海平面以下 $\underline{\hspace{1.5cm}}$ 米。

2. 一辆汽车先向南开了300米，然后向东开了200米，再向北开了150米。

请问，汽车现在距起点还有多远？汽车的最终位置离起点的位移是多少？答：汽车现在距起点还有 $\underline{\hspace{1.5cm}}$ 米，位移是 $\underline{\hspace{1.5cm}}$ 米。

专题01 有理数与无理数正数与负数1．（2022秋•溧阳市期中）四个数﹣2，0，1，3，其中负数是（ ）A．﹣2B．0C．1D．3【分析】在正数前面加负号“﹣”，叫做负数．正数是大于0的数，负数是小于0的数，据此判定出四个数﹣2，0，1，3中，负数是哪个即可．【解答】解：∵﹣2＜0，1＞0，3＞0，∴四个数﹣2，0，1，3中，负数是：﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查了负数的定义，解题时注意：0既不是正数也不是负数，正数是大于0的数，负数是小于0的数．2．（2021秋•中站区期中）在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】先化简原题中的各数，然后即可判断哪些数是负数，本题得以解决．【解答】解：∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，∴在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是2个，故选：C．【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确负数的定义，可以对题目中的数进行化简．3．（2022秋•镇海区校级期中）下列各数﹣1，2，﹣3，0，π中，负数的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据负数的定义进行解答即可．【解答】解：﹣1，﹣3是负数，共有2个，故B正确．故答案为：B．【点评】本题考查了负数的定义，掌握负数的定义是关键．4．（2023春•南岗区期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）根据记录可知前四天共生产 辆；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；（3）该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据有理数的减法，可得答案；（3）根据有理数的乘法，可得工资与奖金，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：（1）100×4+（5﹣2﹣4+13）＝412（辆）；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产16+10＝26；故答案为：412，26；（3）根据图表信息，本周生产的车辆共计：100×7+（5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9）＝709．709×60+（5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9）×15＝42675（元）．答：该厂工人这一周的工资总额是42675元．【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．正、负数表示具有相反意义的量1．（2022秋•锡山区期中）如果规定收入为正，支出为负，收入3元记作3元，那么支出8元记作（ ）A．5元B．﹣11元C．11元D．﹣8元【分析】审清题意，根据“正”和“负”所表示的意义直接求解即可．【解答】解：∵收入为正，支出为负，收入3元记作3元，∴支出8元记作﹣8元，故选：D．【点评】本题主要考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2．（2022秋•黔西南州期中）人体的正常体温大约为36.5℃，如果体温高于36.5℃，那么高出的部分记为正；如果体温低于36.5℃，那么低于的部分记为负．那么37.3℃应记为（ ）A．﹣0.8℃B．+0.8℃C．﹣37.3℃D．+37.3℃【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：由题意得：37.3℃高于36.5℃，高于部分为：37.3﹣36.5＝0.8（℃），∴37.2℃应记为+0.8℃．故选：B．【点评】本题考查正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．3．（2022秋•建湖县期中）中国古代数学著作《九章数学》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入100元记作+100元，那么﹣75元表示（ ）A．支出﹣75元B．收入75元C．支出75元D．收入25元【分析】应用正负数表示两种具有相反意义的量进行判定即可得出答案．【解答】解：如果收入100元记作+100元，那么﹣75元表示支出75元．故选：C．【点评】本题主要考查了正数和负数，熟练掌握用正负数表示两种具有相反意义的量进行求解是解决本题的关键．4．（2020秋•河池期中）某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位：元）：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计﹣27.8﹣70.3200138.1﹣8188458表中星期六的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏？盈亏是多少？【分析】设星期六为x元，根据题意可得等量关系：七天的盈亏数之和＝458，根据等量关系列出方程，再解方程即可．【解答】解一：458﹣（﹣27.8﹣70.3+200+138.1﹣8+188），＝458+27.8+70.3﹣200﹣138.1+8﹣188，＝38，因为38为正数，故星期六是盈利，盈利38元，答：星期六是盈利38元．解二：设星期六为x元，则：﹣27.8﹣70.3+200+138.1﹣8+x+188＝458，x＝458+27.8+70.3﹣200﹣138.1+8﹣188，x＝38，因为38为正数，故星期六是盈利，盈利38元，答：星期六是盈利38元．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．正确理解正负数的意义．5．（2022秋•达川区期中）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）．星期一二三四五六日+4﹣3﹣5+7﹣8+21﹣6与计划量的差值（1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？（2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？（3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元/箱，那么该果农本周总共收入多少元？【分析】（1）将前五天的销售量相加即得结论；（2）将表格中记录的数据相加得出结果，结果的符号表示达到或不足，结果的绝对值表示达到或不足的数量；（3）利用本周的总收入减去总运费即得结论．【解答】解：（1）10×5+4﹣3﹣5+7﹣8＝45 （箱），答：根据记录的数据可知前五天共卖出45箱；（2）4﹣3﹣5+7﹣8+21﹣6＝10＞0，答：本周实际销售总量达到了计划数量；（3）（10×7+10）×80﹣（10×7+10）×7＝5840（元），答：该果农本周总共收入5840元．【点评】此题考查正数和负数的问题，此题的关键是读懂题意，列式计算．用正、负数表示误差范围1．（2022秋•句容市校级）某种食品保存的温度为﹣16±2℃，以下几个温度中，适合这种食品储存的是（ ）A．﹣12℃B．﹣13℃C．﹣15℃D．﹣19℃【分析】根据正负数的意义，用﹣16+2，﹣16﹣2得到食品保存的温度的范围即可求解．【解答】解：依题意，﹣16+2＝﹣14，﹣16﹣2＝﹣18所以食品保存的温度范围为﹣18℃到﹣14℃：故选：C．【点评】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算，有理数的大小比较，求得食品保存的温度范围为﹣18℃到﹣14℃是解题的关键．2．（宽城区期中）某种品牌的洗面奶，外包装标明净含量为500±10g，表明了这种洗面奶的净含量x 的范围是（ ）A．490＜x＜510B．490≤x≤510C．490＜x≤510D．490≤x＜510【分析】根据洗面奶上外包装标明的净含量，确定出x的范围即可．【解答】解：根据题意得：500﹣10≤x≤500+10，即490≤x≤510，故选：B．【点评】此题考查了正数与负数，弄清题意是解本题的关键．3．（锡山区期中）某种零件，标明要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 （填“合格”或“不合格”）．【分析】φ20±0.02mm，知零件直径最大是20+0.02＝20.02，最小是20﹣0.02＝19.98，合格范围在19.98和20.02之间．【解答】解：零件合格范围在19.98和20.02之间．19.9＜19.98，所以不合格．故答案为：不合格．【点评】本题考查数学在实际生活中的应用．4．（溧水县期中）一种商品的标准价格是a元，但是随着季节的变化，商品价格可浮动±10%．（1）请用文字说明：“商品价格可浮动±10%”的含义；（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格；（3）求当a＝120元时，该商品价格的浮动范围．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．（1）根据题意可知可以上涨，也可能下调，据此解答即可．（2）根据给出的条件列式计算即可解答．（3）将120代入即可解答．【解答】解：“正”和“负”相对．（1）±10%表示商品的价格可以上涨10%记作+10%，也可能下调10%，记作﹣10%；（2）最高价格是a元+a元×10%＝1.1a元；最低价格是a元﹣a元×10%＝0.9a元；（3）最高价格是120元+120元×10%＝132元；最低价格是120元﹣120元×10%＝108元．该商品的价格的浮动范围是108元～132元．【点评】本题主要考查正数与负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．5．（南昌期中）质监部门抽查粮油店里的A、B两种品牌标准重量为10kg的定量包装大米，检测的实际重量结果如下：A9.959.739.259.879.80B9.889.919.899.529.90（1）国家规定合格定量包装大米的标准重量与实际重量误差是±1%，问标准重量是10kg的包装大米重量在什么范围是合格的？以上10袋大米中有多少袋是合格的？（2）若A、B两种品牌的定量包装大米分别是：5.6元/kg，6.8元/kg，该粮店全部按标准重量售出这10袋定量包装大米，将因短斤少两盈利多少元？【分析】（1）先求出允许误差的值，再根据正数和负数的定义求解即可得取值范围，然后根据范围判断合格的大米袋数；（2）先根据表格数据求出A、B品牌的大米不足的质量的总和，再根据各自的单价列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）∵10×1%＝0.1（kg），∴大米的质量在9.9～10.1kg范围内合格，共有9.95，9.91，9.90三袋合格；（2）5袋A品牌的大米相对标准质量分别是：﹣0.05、﹣0.27、﹣0.75、﹣0.13、﹣0.2，∵﹣0.05﹣0.27﹣0.75﹣0.13﹣0.2＝﹣1.4kg，∴5袋A品牌点的大米相对标准质量总计不足1.4kg，5袋B品牌的大米相对标准质量分别是：﹣0.12、﹣0.09、﹣0.11、﹣0.48、﹣0.1，∵﹣0.12﹣0.09﹣0.11﹣0.48﹣0.1＝﹣0.9kg，∴5袋B品牌点的大米相对标准质量总计不足0.9kg∴1.4×5.6+0.9×6.8＝7.84+6.12＝13.96元．答：将因短斤少两盈利13.96元．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．有理数1．（2022秋•魏县期中）与相等的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据有理数的加减法则进行计算即可．【解答】解：A、﹣33，符合题意；B、32，不符合题意；C、﹣32，不符合题意；D、33，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是有理数，熟知有理数的加减法则是解题的关键．2．（2023春•闵行区期中）在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，，314%．这八个有理数中非负数有（ ）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】根据有理数的分类得到在所给数中非负数为5，0，7.6，2，314%．【解答】解：在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，，314%．这八个数中，非负数为5，0，7.6，2，314%，有5个．故选：B．【点评】本题考查了有理数：整数与分数统称有理数．3．（2022春•肇源县期中）在下列数中：﹣|﹣3|，0.23，（﹣2）2，0，（﹣3）3，﹣（﹣20062），，，该正整数的个数为m，非负数的个数为n，则m﹣n的值为 ．【分析】根据正整数的概念知所给数中（﹣2）2，﹣（﹣20062），为正整数，得到m＝3；根据非负数的概念知所给数中0.23，（﹣2）2，0，﹣（﹣20062），为非负数，得到n＝5，代入求值即可．【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣3，0.23，（﹣2）2＝4，0，（﹣3）3＝﹣27，﹣（﹣20062）＝20062，，，∴正整数有：（﹣2）2，﹣（﹣20062），，即m＝3，非负数有：0.23，（﹣2）2，0，﹣（﹣20062），，即n＝5，∴m﹣n＝3﹣5＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查有理数的分类，掌握有理数概念及分类是解决问题的关键．4．（2022秋•阜宁县期中）把下列各数分别填入相应的集合里：−2.5，3，0，π，2022．正有理数集合：{ …}；负分数集合：{ …}；整数集合：{ …}；自然数集合：{ …}．【分析】由有理数的有关概念，即可分类．【解答】解：−2.5，3，0，π，2022正有理数集合：{3，2022，…}；负分数集合：{−2.5，…}；整数集合：{0，2022，…}；自然数集合：{0，2022，…}．故答案为：3，2022；−2.5；0，2022；0，2022．【点评】本题考查有理数的有关概念，关键是准确掌握有理数的分类．无理数1．（2023春•海安市期中）在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答．【解答】解：在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数1.010010001…，π，共2个．故选：B．【点评】本题考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键．2．（2022秋•建邺区期中）在实数0，，，3.1415926，1.，1.01001000100001……（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．【解答】解：无理数有，1.01001000100001……（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），共2个，故选：B．【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无限不循环小数叫无理数．3．（2022春•牧野区校级期中）写出一个满足﹣2＜x＜﹣1的无理数x：　（答案不唯一）　．（写出一个即可）【分析】根据无理数的定义解答即可．【解答】解：写出一个无理数x，使得﹣2＜x＜﹣1，则x可以是：．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义、估算无理数的大小是解题的关键．4．（2022春•东莞市校级期中）在，2π，﹣1，0.181181118…四个数中，无理数有　2　个．【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：，是分数，属于有理数；无理数有2π，0.181181118…，共2个．故答案为：2．【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．一．选择题1．在﹣2，+2.4，，0，﹣1.8中，是负数的个数为a，是分数的个数为b，是正整数的个数为c，则a﹣2b+c的值为（ ）A．﹣6B．﹣4C．﹣2D．0【分析】根据有理数的分类，确定a，b，c的值，将a，b，c的值代入代数式，进行计算即可．【解答】解：中，是负数，是分数，没有正整数，∴a＝4，b＝5，c＝0；∴a﹣2b+c＝4﹣2×5+0＝﹣6；故选：A．【点评】本题考查有理数的分类，代数式求值．熟练掌握有理数的分类是解题的关键．2．体育课上全班女生进行百米测验，达标成绩为18秒，第一小组8名女生的成绩如下：﹣3，0.5，0，﹣0.1，﹣1，﹣2.6，+1.6，﹣0.3．其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，则这个小组的达标率是（ ）A．75%B．25%C．37.5%D．62.5%【分析】根据正负数的意义可得达标的有6人，然后计算即可．【解答】解：由题意得﹣3，0.5，0，﹣0.1，﹣1，﹣2.6，+1.6，﹣0.3中，小于等于0的有6个，即达标的有6人，则这个小组的达标率是．故选：A．【点评】本题考查了正负数的意义，有理数的除法，根据正负数的意义得出达标的人数是解题的关键．3．某市质量监督局从某公司生产的婴幼儿奶粉中，随意抽取了20袋进行检查，超过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，抽查的结果如下表，则这批样品每袋的平均质量比标准质量（ ）与标准质量的偏差（单位：克）﹣10﹣50+5+10+15袋数147521 A．多15克B．多30克C．多1.5克D．多0.75克【分析】算出平均质量，如果为正数则比标准质量多，如果为负数则比标准质量少．【解答】解：[﹣10×1+（﹣5）×4+0×7+（+5）×5+10×2+15×1]÷20＝[﹣10+（﹣20）+0+25+20+15]÷20＝30÷20＝1.5（克），所以这批样品每袋的平均质量比标准质量多1.5克．故选：C．【点评】本题考查有理数的混合运算，正数与负数的实际应用，弄清楚标准质量和实际质量是本题的关键．4．浐河发源于蓝田县汤峪，是潮浐水系的最大支流，若浐河中的水位上升0.4米记为+0.4米，则﹣0.1米表示（ ）A．水位下降0.1米B．水位上升0.1米C．水位上升0.6米D．水位下降﹣0.1米【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，水位升高记为正，可得水位下降的表示方法．【解答】解：水位升高0.4米记为+0.4米，那么﹣0.1米表示水位下降0.1米．故选：A．【点评】本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．5．七年级某班的学生共有49人，军训时排列成7×7的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令．同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（ ）A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个B．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个【分析】假设站立记为“+1”，则蹲下为“﹣1”．原来49个“+1”，根据mn的奇偶性判断求解．【解答】解：假设站立记为“+1”，则蹲下为“﹣1”．原来49个“+1”，乘积为“+1”，若n为偶数，无论m为何数，mn为偶数，最后还是“+1”，即站立的人数为奇数个，所以蹲下的人数为偶数个，若n为奇数，m为奇数，mn为奇数，最后还是“﹣1”，即站立的人数为偶数个，所以蹲下的人数为奇数个，若n为奇数，m为偶数，mn为偶数，最后还是“+1”，即站立的人数为奇数个，所以蹲下的人数为偶数个，选项B，C，D都不符合题意，故选：A．【点评】本题考查了有理数，有理数乘法中积的符号的判断是解决本题的关键．二．填空题6．如果水位升高3m记作+3m，那么水位下降5m记作 m．【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．【解答】解：上升为“+”，则下降为“﹣”，故水位下降5m记作：﹣5m．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．7．今年元月份姜老师到银行开户，存入6000元钱，以后的每月根据收入情况存入一笔钱，下表为姜老师从2月份到7月份的存款情况：（超出上月记为正）月份234567与上一月比较（元）﹣200+450+400﹣300﹣100﹣600根据记录，从2月份至7月份中 月份存入的钱最多．【分析】根据有理数的加法，可得每月的存款，根据有理数的大小比较，可得答案．【解答】解：二月份存款6000+（﹣200）＝5800元；三月份存款5800+450＝6250元；四月份存款6250+400＝6650元；五月份存款6650+（﹣300）＝6350元；六月份存款6350+（﹣100）＝6250元；七月份存款6250+（﹣600）＝5650；6650＞6350＞6250＞6000＞5800＞5650，四月份存款最多，故答案为：4．【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的加法得出每月的存款是解题关键．8．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1、a+b、a的形式，又可分别表示为的形式，则（b﹣a）3的值为　．【分析】根据三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为4，，b的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a+b与a中有一个是4，与b中有一个是1，再分情况讨论判断出a、b的值即可代入求解．【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为的形式，∴这两个数组的数分别对应相等．∴a+b与a中有一个是4，与b中有一个是1，若1，a＝b，则a+b＝4，则a＝b＝2，则（b﹣a）3＝（2﹣2）3＝0；若b＝1，a＝4或a+b＝4，则a＝4时，a+b＝4+1＝5，4（不合题意舍去）；a+b＝4时，a＝4﹣1＝3，3（不合题意舍去）；则（b﹣a）3＝（1﹣3）3＝﹣8．故（b﹣a）3的值为0或﹣8．故答案为：0或﹣8．【点评】本题考查的是有理数的概念，能根据题意得出“a+b与a中有一个是4，与b中有一个是1”是解答此题的关键．9．黑板上有10个互不相同的有理数，小明说：“其中有6个整数”，小红说：“其中有6个正数”，小华说：“其中正分数与负分数的个数相等”，小林说：“负数的个数不超过3个”，请你根据四位同学的描述，判断这10个有理数中共有 个负整数．【分析】根据正数、负数，以及正整数和负整数的定义可以解答本题．【解答】解：因为10个有理数中有6个正数，所以非正数共10﹣6＝4个，因为负数的个数不超过3个，所以负数的个数少于或等于3个，其中负分数（10﹣6）÷2＝4÷2＝2 个，负整数3﹣2＝1 个．故答案为：1．【点评】本题考查有理数的定义，正确区分正数，分数和以及熟记负整数的定义是解题的关键．三．解答题10．某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：km）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6（1）收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？（2）若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据单位耗油量乘以行车路程，可得答案．【解答】解；（1）15+（﹣2）+5+（﹣1）+（10）+（﹣3）+（﹣2）+12+4+（﹣5）+6＝39（km）．答：该小组在A地的东边，距A东面39km；（2）（15+|﹣2|+5+|﹣1|+|﹣10|+|﹣3|+|﹣2|+12+4+|﹣5|+6）×3＝65×3＝195（升）．小组从出发到收工耗油195升，∵180升＜195升，∴收工前需要中途加油，∴应加：195﹣180＝15（升），答：收工前需要中途加油，应加15升．【点评】本题考查了正数和负数，解决本题的关键是进行有理数的加法运算．11．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？（2）该厂一周实际生产自行车多少辆？（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【分析】（1）根据最大数减最小数，可得答案；（2）把该厂一周内每天生产的自行车辆数相加即可；（3）根据实际生产的量乘单价，可得工资，根据超出的部分或不足的部分乘以每辆的奖金，可得奖金，根据工资加奖金，可得答案．【解答】解：（1）16﹣（﹣10）＝26（辆）．答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆；（2）1400+（5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9）＝1400+9＝1409（辆）．答：该厂一周实际生产自行车1409辆；（3）∵5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9＝9（辆），∴1400×50+9×（20+50）＝70630（元）．答：该厂工人这一周的工资总额是70630元．【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加减法运算是解题关键．12．阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，……，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，10﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，10}就是一个黄金集合．回答问题：（1）集合{1} 黄金集合，集合{﹣1，10} 黄金集合；（两空均填“是”或“不是”）（2）请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）；（3）写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合．【分析】本题应根据黄金集合的定义，准确理解后才能解决问题．【解答】解：（1）根据黄金集合的定义，10﹣1＝9，而集合{1}中没有9，故集合{1}不是黄金集合，对于集合{﹣1，10}，因为10﹣10＝0，而集合{﹣1，10}中没有0，故集合{﹣1，10}不是黄金集合，（2）因为10﹣1＝9，10﹣9＝1，集合{1，9}是黄金集合，因为10﹣2＝8，10﹣4＝6，10﹣6＝4，10﹣8＝2，故{2，4，6，8}是黄金集合．（3）因为10﹣5＝5，故{5}是元素个数最少的集合．【点评】本题要求学生必须认真阅读题目，并能准确理解黄金集合的定义才能做出正确的判断．。

无理数与有理数的运算法则
无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，例如π和√2；有
理数是指可以表示为两个整数的比值的数，例如1/2和-3/4。

无理数与有理数的运算法则如下：
1.无理数与有理数相加减：无理数与有理数相加减的结果是无理数。

例如：π + 2 = π + 2，√2 - 3/4 = √2 - 0.75。

2.无理数与无理数相加减：无理数之间相加减的结果仍为无理数。

例如：π + √2 = π + √2，π - √2 = π - √2。

3.无理数与有理数相乘：无理数与有理数相乘的结果是无理数。

例如：π× 2 = 2π，√2 × 3/4 = (3/4)√2。

4.无理数与无理数相乘：无理数之间相乘的结果仍为无理数。

例如：π×√2 = π√2，√2 ×√3 = √6。

5.无理数与有理数相除：无理数与有理数相除的结果是无理数。

例如：π÷ 2 = π/2，√2 ÷ 3/4 = (4/3)√2。

6.无理数与无理数相除：无理数之间相除的结果可能是有理数或无理数。

例如：π÷√2 = π/√2 = √2π，√2 ÷√3 = √(2/3)。

总之，无理数与有理数的运算结果仍为无理数，无理数之间的运算结果可能是有理数或无理数。

- 1 -。

有理数和无理数的本质区别在于：有理数与两个整数之比等价，而无理数则与一个无限不循环小数等价。

一、常见的有理数类型常见的有理数类型有如下几种。

1.整数：所有的整数都是有理数。

2.小数：小数分类里的有限小数、无限循环小数都是有理数。

3.分数：因为所有的分数不是与一个有限小数等价，就是与一个无限循环小数等价。

即，分数化成小数的结果不是一个有限小数，就是一个无限循环小数。

而这两种类型的小数都是有理数，所以，所有的分数都是有理数。

【注】本文中的“分数”指的是分子、分母（分母不为0）都为整数的分数。

值得注意的是，在所有根式中，如果根式开方后的结果能化为上面几种常见有理数的形式中的一种的话，那么这个根式代表的实数也是有理数。

如：因为8的立方根等于2，-64的立方根等于-4，所以8和-64的立方根都是有理数。

二、常见的无理数类型常见的无理数类型有如下几种。

1.无限不循环小数：如圆周率π、自然对数的底数e等。

2.根式中开方开不尽的数：如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。

【注】两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍是有理数。

两个无理数的和、差、积、商可以是有理数，也可以是无理数。

（1）无理数的和、差、积、商为有理数：如e+(1-e)、e-e、“根号2”的平方、e/e等。

（2）无理数的和差积商为无理数：π+e、π-e、πxe，π/e。

三、“数学前沿”课外补充实数可以分为有理数和无理数，对任意一个实数来说，不是有理数就是无理数，二者必居其一。

有理数和无理数是对全体实数的两个分类。

虽然在实数范围内有理数和无理数都有无穷多个，两者似乎是“同样多”的。

但从高等数学里的“测度论”的角度来理解的话，无理数的测度要大于有理数的测度，所以无理数要比有理数“多一些”。

如：根据测度论，在闭区间[0,1]内，有理数的测度为0，而无理数的测度为1。

所以，在闭区间[0,1]内，无理数的个数要“远多于”有理数的个数。

有理数和无理数
有理数和无理数分别指的是：
1、有理数：
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。

整数也可看做是分母为一的分数。

不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

2、无理数：
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。

有理数和无理是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

有理数的加法运算：
1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两数相加得0。

4、一个数同0相加仍得这个数。

5、互为相反数的两个数，可以先相加。

6、符号相同的数可以先相加。

7、分母相同的数可以先相加。

8、几个数相加能得整数的可以先相加。

专题2.4 有理数与无理数（拓展提高）一、单选题1．下列各数中，无理数是（）A．πB．0 C．19-D．3.14【答案】A【分析】根据无限不循环小数为无理数即可求解．【详解】A选项：π为无理数，故A选项正确；B选项：0为有理数，故B选项错误；C选项：19-为有理数，故C选项错误；b选项：3.14为有理数，故D选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2．下列各数中最小非负数是（）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】C【分析】根据非负数的意义和有理数的大小比较求解．【详解】解：∵-2、-1是负数，0、1是非负数，且0<1，∴题中最小非负数是0，故选C．【点睛】本题考查非负数的应用和有理数的大小比较，熟练掌握非负数的意义是解题关键．3．在下列各数：2.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0，0.333，3π，0.101101101中，无理的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：无理数有：3π， 2.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）共有2个． 故选：B.【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解题的关键．4．下列各数中，既是分数又是负数的是（ ） A ．31-. B ．4-C ．0D ．2.8【答案】A【分析】根据小于零的分数是负分数，可得答案．【详解】解：A 、-3.1既是分数又是负数，故本选项符合题意； B 、-4是负整数，故本选项不合题意；C 、0不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；D 、2.8是正分数，故本选项不合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查了有理数，利用小于零的分数是负分数判断是解题的关键． 5．小强在笔记上整理了以下结论，其中错误的是（ ） A ．有理数可分为正数、零、负数三类 B ．一个有理数不是整数就是分数 C ．正有理数分为正整数和正分数 D ．负整数、负分数统称为负有理数【答案】A【分析】根据有理数的分类逐一分析即可．【详解】解：A ．有理数可分为正有理数、零和负有理数，故该项结论错误； B ．整数和分数统称为有理数，所以一个有理数不是整数就是分数，故该项结论正确； C ．正有理数分为正整数和正分数，故该项结论正确； D ．负整数、负分数统称为负有理数，故该项结论正确； 故选：A ．【点睛】本题考查有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．6．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④2π-不仅是有理数，而且是分数；⑤237是无限循环小数，所以不是有理数；⑥绝对值等于本身的数是正数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B【分析】根据有理数的定义、分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：①没有最小的整数；错误； ②有理数包括正有理数数、0和负有理数；错误； ③非负数就是正数和0；错误； ④2π-是无理数；错误；⑤237是无限循环小数，所以是有理数；错误；⑥绝对值等于本身的数有正数和0；错误；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 故选：B ．【点睛】本题考查有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．二、填空题7．在有理数3-，7，2，123，43-，0，0.01-，10.1%-中，属于非负数的有________个． 【答案】4【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案． 【详解】解：7，2，123，0，是非负数，共4个， 故答案为：4．【点睛】本题考查了非负数，大于或等于零的数是非负数． 8．有六个数：5，0，132，0.3-，14-，π-，其中分数有a 个，非负整数有b 个，有理数有c 个，则a b c +-=______．【答案】0【分析】根据分数、非负整数和有理数的定义得到a ，b ，c 的值，即可求解． 【详解】解：分数有132，0.3-，14-，∴3a =，非负整数有0，5，∴2b =， 有理数有5，0，132，0.3-，14-，∴5c =， ∴3250a b c +-=+-=， 故答案为：0．【点睛】本题考查有理数的定义，掌握分数、非负整数和有理数的定义是解题的关键． 9．若三个互不相等的有理数，既可以表示为3，a b +，b 的形式，也可以表示为0，3ab，a 的形式，则4a b -的值________． 【答案】15【分析】根据分母不等于0，可得b≠0，进而推得a+b=0，再求出3ab=-3，解得b=-3.a=3，然后代入4a b -进行计算即可．【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为3、a b +、b 的形式，也可以表示为0、3ab、a 的形式 ∴0b ≠， ∴a b +＝0， ∴3a3b=-， ∴b ＝3-，a ＝3， ∴4a b -＝123+＝15． 故答案为15．【点睛】题考查了代数式求值及其有理数的相关概念，根据题意推得b≠0、 a+b=0、3ab=-3是解答本题的关键．10．（1）、字母a 没有“-”号，所以a 是正数．（_______） （2）、任何一个有理数都可以在数轴上表示出来．（_______） （3）一个数的绝对值必是正数．（_______） （4）符号不同的两个数互为相反数．（_______） （5）有理数就是自然数和负数的统称．（_______）【答案】（1）错，（2）对，（3）错，（4）错，（5）错．【分析】（1）根据0既不是正数，也不是负数，可得凡是前面没有“-”号的数不一定都是正数，据此判断即可；（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案；（3）根据绝对值的定义进行判断即可；（4）符号不同、且绝对值相等的两个数互为相反数；（5）根据有理数的定义、分类进行判断求解．【详解】解：（1）错误，比如：a=0，或a=-3时；（2）任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点，所以说法正确；（3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，可得绝对值是非负数≥0，故错误；（4）只有符合不同的两个数互为相反数，故原题错误；（5）有理数就是正有理数、负有理数和零的统称，故原题错误．【点睛】本题考查有理数分类、相反数，绝对值的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．11．把下列各数填在相应的大括号内：－5，34-，－12，0，0.12．．，－3.14，＋1.99，＋6，227．（1）正数集合：{ …}；（2）负数集合：{ …}；（3）分数集合：{ …}；（4）非负整数集合：{ …}．【答案】（1）0.12．．，＋1.99，＋6，227；（2）－5，34-，－12，－3.14；（3）34-，0.12．．，－3.14，＋1.99，227；（4）0，＋6【分析】利用正数，负数，非负整数，以及分数的定义判断即可．【详解】解：（1）正数集合：{ 0.12．．，＋1.99，＋6，227…}；（2）负数集合：{ －5，34－，－12，－3.14 …}；（3）分数集合：{34－，0.12．．，－3.14，＋1.99，227…}；（4）非负整数集合：{ 0，＋6 …}.【点睛】此题考查了正数，负数，非负整数，以及分数的定义，弄清各自的定义是解本题的关键．12．将下列各数填入相应的括号内： ﹣2.5，152，0，8，﹣2，2π，﹣1.121121112…… 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 整数集合：{ }； 无理数集合：{ }； 【答案】正数集合：{152，8，2π}；负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……}；整数集合：{0，8，﹣2}；无理数集合：{2π，﹣1.121121112……}； 【分析】直接利用正数、负数、整数、无理数的定义分别分析得出答案． 【详解】﹣2.5，152，0，8，﹣2，2π，﹣1.121121112…… 正数集合：{152，8，2π}； 负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……}； 整数集合：{0，8，﹣2}；无理数集合：{2π，﹣1.121121112……}． 故答案为：152，8，2π；﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……；0，8，﹣2；2π，﹣1.121121112……．【点睛】本题考查了实数的分类，正确掌握相关定义是解题的关键．13．观察下面一列数：—1，2，—3，4，—5，6，—7，…，将这列数排成下列形式.按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是______；数—201是第______行从左边数第______个数【答案】90， 15， 5．【分析】根据数的排列，每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方，并且奇数都是负数，偶数都是正数，求出第9行的最后一个数的绝对值，然后加上9即为第10行从左边数第9个数；求出与201最接近平方数为196，即可得解．【详解】∵第9行的最后一个数的绝对值为92=81，∴第10行从左边数第9个数的绝对值是81+9=90，∵90是偶数，∴第10行从左边数第9个数是正数，为90，∵142=196，201-196=5，∴数-201是第15行从左边数起第5个数．故答案为90，15，5．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方是解题的关键．14．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6…如图所示有序排列，4所在位置为峰1，﹣9所在位置为峰2…．（1）处在峰5位置的有理数是_____；（2）2022应排在A，B，C，D，E中_____的位置上．【答案】24 A【分析】根据图示信息找出A，B，C，D，E各个位置数据的表达式，代入即可【详解】解：（1）观察发现：峰n中，A位置的绝对值可以表示为：5n﹣3；B位置的绝对值可以表示为：5n﹣2；C位置（峰顶）的绝对值可以表示为：5n﹣1；D位置的绝对值可以表示为：5n；E位置的绝对值可以表示为：5n+1；∴处在峰5位置的有理数是5×5﹣1＝24；（2）根据规律，∵2022＝5×405﹣3，∴2022应排在A的位置．故答案为：（1）24；（2）A．【点睛】此题属于找规律题，考查提取信息和总结的能力．三、解答题15．下列各数填入它所在的数集中：18-，227，3.1416，0，2001，35，0.142-，95%，π． 正数集：{ …}； 整数集：{ …}； 自然数集：{ …}； 分数集：{ …}． 【答案】见解析【分析】根据有理数的分类即可求出答案． 【详解】解：正数集：{227，3.1416，2001，95%，π} 整数集：{-18，0，2001 } 分数集：{227，3.1416，35，-0.142，95% } 非负整数集：{0，2001}【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练运用有理数的分类，本题属于基础题型，注意：π不是有理数．16．将下列各数填入它所属于的集合的圈内：20，-0.08，-213，4.5，3.14，-1，+43，+5．【答案】见解析【分析】分别判断题干中的8个数字是否符合四个圆圈的内容，相应填入数字即可 【详解】负整数，即既是负数，也是整数； 正整数，即既是正数，也是整数； 负分数，即既是负数，也是分数； 正分数，即既是正数，也是分数； 故负整数集合为：－1； 正整数集合：20、+5；负分数集合为：－0.08、1 23 -正分数集合为：4.5、3.14、﹢4 3【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是细心，切勿遗漏或重复填写数字17．把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）6，-3，2.4，34-，0，-3.14，29，＋2，－312，－1.414，－17，23．正数：{ …}非负整数：{ …}整数：{ …}负分数：{ …}【答案】6，2.4，29，+2，23；6，0，+2；6，-3，0，+2，-17；-34，-3.14，-312，-1.414．【分析】根据大于零的数是正数，可得正数集合；根据大或等于零的整数是非负整数，可的非负整数集合；根据分母为1的数是整数，可得整数集合；根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合．【详解】正数：{6，2.4，29，+2，23…}非负整数：{6，0，+2 …}整数：{6，-3，0，+2，-17 …}负分数：{-34，-3.14，-312，-1.414 …}【点睛】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．18．把下列各数填入相应的数集中：+125、-5％、200、-3、6.8、0、－215、0.12003407、1、-43.555、77％、-334（1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________ （3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________【答案】（1）+125、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；（2）-5％、-3、－215、-43.555、-334；（3）200、1；（4）-5％、－215、-43.555、-334.【分析】根据有理数的分类，可得答案【详解】解：（1）非负数集合：+125、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；（2）负有理数集合：-5％、-3、－215、-43.555、-334；（3）正整数集合：200、1；（4）负分数集合：-5％、－215、-43.555、-334.【点睛】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键．19．把下列各数填在相应的横线处：115 , 0.81 -3 25% -3.1 -4 , 171 , 0 , 3.142，，，，，正数集合：_____；负数集合：_____；整数集合：_____；负分数集合：_____；有理数集合：_____．【答案】见解析【分析】根据有理数的分类进行填空即可．【详解】解：正数集合：115 0.81 25% 171 , 3.142，，，，；负数集合：-3，-3.1，-4；整数集合：15，-3，-4，171，0；负分数集合：-3.1；有理数集合：1115 0.81 -3 -3.1 -4 171 , 0 3.1424，，，，，，，，．【点睛】本题考查了有理数的分类．掌握有理数的分类是解题的关键．20．任何一个有理数都能写成分数的形式(整数可以看作是分母为1的分数)．我们知道：0.12可以写成123,0.12310025=可以写成1231000，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数2.615454542.6154••=为例，进行探索： 设 2.6154x ••=，①两边同乘以100得： 100261.54x ••=，②②-①得：99261.54 2.61258.93x =-= 25893287799001100x ∴== 因此，••261.54是有理数．（1）直接用分数表示循环小数1.5•=（2）试说明3.1415••是一个有理数，即能用一个分数表示．【答案】（1）149；（2）见解析 【分析】（1）设 1.5x •=，两边乘10，仿照例题可解；（2）设 3.1415x ••=，两边乘100，仿照例题可化简求解．【详解】解：（1）设 1.5x •=，①两边乘10得：1015.5x •=，②②-①得：914x =， ∴149x =， ∴141.59•=； （2）设 3.1415x ••=，①两边同乘以100得：••100314.15x =，②②-①得：314.15 3.1499311.1105x ••••=-= 311011036799003300x ∴==，因此3.1415••是有理数【点睛】本题需理解题中的例子，将一个循环小数化为分数的方法，需要学生有很好的分析理解能力．。

专题2.4 有理数与无理数（专项练习）一、选择题1．下列说法正确的是( )A．0不是正数，不是负数，也不是整数B．正整数与负整数包括所有的整数C．–0.6是分数，负数，也是有理数D．没有最小的有理数，也没有最小的自然数2．下列说法中，不正确的是（）A．零是整数B．零没有倒数C．零是最小的数D．－1是最大的负整数3．在22, 3.5,0,,0.7,113-+--中．负分数有（）A．l个B．2个C．3个D．4个4．下列说法中正确的是（）A．不存在最小的正数，也不存在最大的正数B．如果a与b的差是正数，那么a一定是正数C．a-一定小于aD．任何有理数都有倒数5．下列说法中，正确的有（）①0既不是正数也不是负数；②绝对值等于它本身的数一定是0；③0除以任何数都得0；④任何负数都小于0A．1个B．2个C．3个D．4个6．在﹣3，12-，0，2四个数中，是负整数的是（）A．﹣3B．12-C．0D．27．在+1，27，0，−5，−0.3 这几个数中，整数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题8．把下列各数的序号填在相应的数集内：1 , －35, +3.2, 0, －6.5, +108, －4, －6,（1）正数集合{ …} （2）整数集合{ …}（3）负分数集合{ …}（4）非负整数集合{ …}9．在有理数中，是整数而不是正数的是_______________ ，是负数而不是分数的是______ . 10．整数和分数统称为________．11．在23-，3.14，0.161616⋯，π2中，分数有______个．12．如图，这两个圈分别表示正数集合和整数集合，则它们的重叠部分表示的是_____集合.13．把下列各数填在相应的集合内：23-，6，0．3，0，－2019，12%，2-．负整数集合{}；正分数集合{}；非负数集合{}；自然数集合{}．14．有下列数：+6，-3.1，17%，0，-|-3|，23，-（+1），|-2|，-（144-），其中整数有____个．三、解答题15．把下列各数填入它所属于的集合的圈内．15，19-，–5，215，138-，0.1，–5.32，–80，123，2.333．参考答案1．C解：A，0不是正数也不是复数，0是正数，故A错误；B，正整数和负整数不包括0，故B错误；C，-0.6是分数，负数，有理数，故C正确；D，0是最小的自然数，故D错误．2．C【解析】A. 整数分为正整数、0与负整数，零是整数正确；B.0作除数无意义，因而零没有倒数正确；C. 负数小于0，零是最小的数错误；D. 观察数轴可得，−1是最大的负整数正确．故选C.3．B解：在22, 3.5,0,,0.7,113-+--中，负分数有2,0.73--，共两个，故选：B．【点睛】本题考查负分数的定义，掌握负分数的定义是解题的关键．4．A【详解】不存在最小的正数，也不存在最大的正数，故A正确；如果a与b的差是正数，那么a不一定是正数，故B错误；a-不一定小于a，故C错误；0没有倒数，故D错误；故答案选A．5．B【详解】0既不是正数，也不是负数，所以①正确；绝对值等于它本身一定是0或正数，所以②错误；0除以任何非0的数都得0，所以③错误；任何负数都小于0，所以④正确；故正确的有①④．故选B．6．A解：-3是负整数，12-为负分数，0为整数，2为正整数故选：A．7．C【详解】解：因为+1、0、-5是整数，27、−0.3是分数．所以整数共3个．故选：C．8．（1）正数集合{1，+3.2，+108 ，…}；（2）整数集合{1，0，+108，-4，-6，…}；（3）负分数集合{35-，-6.5，…}；（4）非负整数集合{1，0，+108，…}【详解】（1）正数集合{1，+3.2，+108 ，…}；（2）整数集合{1，0，+108，-4，-6 ，…}；（3）负分数集合{35-，-6.5，…}；（4）非负整数集合{1，0，+108，…}9．负整数和0 负整数【解析】试题解析：在有理数中，是整数而不是正数的是：负整数和0.是负数而不是分数的是:负整数.故答案为负整数和0. 负整数.10．有理数解：整数和分数统称为：有理数．故答案为：有理数11．3解：23-，3.14，0.161616⋯是分数，共3个故答案为：3．12．正整数解：依据题意可知重叠部分表示的是正整数.13．－2019，－2；0.3，12%；6，0.3、0，12%；6，0，见解析解：负整数集合{－2019、－2 ：……}；正分数集合{ 0.3、12%：……}；非负数集合{ 6、0.3、0、12% ：…… }；自然数集合{6、0 ：……}14．5解：+6是正整数，是整数，-3.1是负分数，不是整数，17%是正分数，不是整数，0是整数，-|-3|=-3，是负整数，是整数，23是正分数，不是整数，-（+1）=-1，是负整数，是整数，|-2|=2，是正整数，是整数，-（144）=144，是正分数，不是整数，：是整数有+6，0，-|-3|，-（+1），|-2|，共5个，故答案为：515．【详解】。