高二数学必修五等比数列专项练习题

高中数学必修5等比数列精选题目（附答案）1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.①已知a 1，q ，n ，a n ，S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.②在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 一、等比数列的基本运算1.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 注：等比数列基本运算中的2种常用数学思想2．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 23．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．324．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.二、等比数列的判定与证明5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． 注：1．掌握等比数列的4种常用判定方法通项公式法若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列前n 项和公式法若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可． 6．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列．7．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．三、等比数列的性质(一) 等比数列项的性质8.(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－ 2 或 29.(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16(二) 等比数列前n 项和的性质11.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16注：应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．12．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )A.12 B ．－12C ．－29D ．－1913．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.巩固练习:1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2D.122．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±24．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )A ．22 018－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 018C ．22 019－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 0195．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．5126．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1B ．a 1<0，q >1C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >17．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．8．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 9．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.10．已知等比数列{a n }为递减数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·甘肃诊断)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．参考答案：1.[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.2.解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4. 3.解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.4.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14， 则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.5.[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． 6.证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6.由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n ，即a n＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n )＝2(a n ＋1－2a n )， 又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列． 7.解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得 b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．8.[解析]设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.9.解：由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A. 11.[解析] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.12.解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B. 13.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.练习：1.解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.2.解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3.解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.4.解析：选A 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4. 又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝12(1－22 019)1－2＝22 018－12，故选A.5.解析：选C 设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)1－2＝511.故选C.6.解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增等比数列，∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|， 则－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n ∈(0,1)，∴a 1<0,0<q <1.故选A.7.解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2， 所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.8.解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,489.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.10.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10， 得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， 得2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝12()q ＝2舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝12n .11.解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1， 而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12.解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128， 则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024， 可得a 5＋1＝32，即a 5＝31. (2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .。

2. 5《等比数列前n 项和》（第二课时）作业1、 在等比数列中，3,6432321-=++=++a a a a a a ，则=++++76543a a a a a（ ）A. 811B. 1619C. 89D. 43 2、在等比数列{}na 中，55,551==S a，则公比q 等于（ ）A. 4B. 2C. 2-D. 2-或4 3、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂地总产值为 （ ）A. a 41.1 B. a 51.1 C. ()a 11.1105- D. ()a 11.1115-4、若等比数列{}na 地前n 项和rS n n +=2，则=r（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1- 5、已知等比数列{}na 中，132-⨯=n na，则由此数列地偶数项所组成地新数列地前n 项和为 （ ） A. 13-n B. ()133-n C. ()1941-nD. ()1943-n6、等比数列前n 项和为54，前n 2项和为60，则前n 3项和为 （ ）A. 54B. 64C. 3266D. 3260 7、一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸地厚度和面积分别为 （ ）A. b a 81,8B. b a 641,64C. b a 1281,128D. b a 2561,256 8、已知公比为q ()1≠q 地等比数列{}na 地前n 项和为nS ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧na1地前n 项和为 （ ） A. nn S q B. nnq S C. 11-n nq S D. 121-n n q a S9、设等比数列{}na 地前n 项和为nS ，若9632S S S=+，求公比q 。

10、已知实数c b a ,,成等差数列，4,1,1+++c b a 成等比数列，且15=++c b a 。

求c b a ,,。

参考答案：1、 A2、 C3、 D4、 D5、 D6、 D7、 C8、 D9、解： 法一：若1=q ，9111632963S a a a S S≠=+=+1≠∴q()()()qq a q q a q q a --=--+--∴111111916131()1202363369=--∴=--q q q q q q≠q Θ ()()1210123336=+-∴=--∴q q q q213-=∴q 或13=q（舍） 243-=∴q法二：由9632S S S=+可得()()()()9876543216543212222a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=+++++()()9876542a a a a a a ++=++- ()()65436542a a a q a a a ++=++-∴213-=∴q 243-=∴q10、8,5,2===c b a 或1,5,11-===c b a。

课时训练12 等比数列的性质一、等比数列性质的应用1.若{a n }是等比数列,那么( )A.数列{1a n}是等比数列B.数列{√a n }是等比数列C.数列{2a n }是等比数列D.数列{na n }是等比数列答案:A解析:由等比数列的定义判断即可.2.在等比数列{a n }中,a 2 013=8a 2 010,则公比q 的值为( ) A.2 B.3C.4D.8答案:A解析:∵a 2 013=8a 2 010,∴a 2 010q 3=8a 2 010.∴q 3=8.∴q=2.3.已知项数相同的等比数列{a n }和{b n },公比分别为q 1,q 2(q 1,q 2≠1),则数列①{3a n };②{2a n};③{3a n };④{2a n -3b n };⑤{2a n ·3b n }中等比数列的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:在①中,3a n+13a n=q 1,是等比数列;在②中,2a n+12a n =1q 1,是等比数列;在③中,令a n =2n-1,则数列{3a n }为3,32,34,…,因为323≠3432,故不是等比数列;在④中,数列的项可能为零,故不一定是等比数列;在⑤中,2a n+1·3b n+12a n ·3b n=q 1·q 2,是等比数列.4.(2015山东威海高二期中,5)已知各项均为正数的等比数列{a n },a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=( ) A.5√2 B.7 C.6 D.4√2答案:A解析:a 1a 2a 3=5⇒a 23=5;a 7a 8a 9=10⇒a 83=10. a 52=a 2a 8,∴a 56=a 23a 83=50, ∴a 4a 5a 6=a 53=5√2.故选A .5.(2015河南郑州高二期末,10)已知各项为正的等比数列{a n }中,a 4与a 14的等比中项为2√2,则2a 7+a 11的最小值为( ) A.16 B.8C.2√2D.4答案:B解析:∵各项为正的等比数列{a n }中,a 4与a 14的等比中项为2√2,∴a 4·a 14=(2√2)2=8, ∴a 7·a 11=8, ∵a 7>0,a 11>0,∴2a 7+a 11≥2√7·a 112√2×8=8.故选B . 二、等差、等比数列的综合问题6.等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n (n+1) B.n (n-1) C.n (n+1)2D.n (n -1)2答案:A解析:因为a 2,a 4,a 8成等比数列,所以a 42=a 2·a 8,所以(a 1+6)2=(a 1+2)·(a 1+14),解得a 1=2.所以S n =na 1+n (n -1)2d=n (n+1). 7.数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 答案:1解析:设等差数列的公差为d ,则a 3=a 1+2d ,a 5=a 1+4d ,所以(a 1+2d+3)2=(a 1+1)(a 1+4d+5),解得d=-1,故q=a 3+3a 1+1=a 1-2+3a 1+1=1. 8.已知1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1+a2b 2的值为 .答案:2.5解析:∵a 1+a 2=1+4=5,b 22=1×4=4,且b 2与1,4同号,∴b 2=2,∴a 1+a 2b 2=52=2.5.9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8 000.求此四个数. 解:设前三个数分别为a-d ,a ,a+d ,(a-d )+a+(a+d )=48,即a=16. 再设后三个数分别为b q,b ,bq , 则有bq·b ·bq=b 3=8 000,即b=20.∴四个数分别为m ,16,20,n.∴m=2×16-20=12,n=20216=25,即这四个数分别为12,16,20,25.10.已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d (d ≠1),且a 1=b 1,a 4=b 4,a 10=b 10. (1)求a 1和d 的值;(2)b 16是不是数列{a n }中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 解:(1)由题意得{a 1+3d =a 1d 3,a 1+9d =a 1d 9,所以{3d =a 1·(d 3-1),9d =a 1·(d 9-1).两式相除,得3=d 9-1d 3-1=d 6+d 3+1,解得d 3=-2或d 3=1(舍去). 所以d=-√23,代入得a 1=-d=√23. (2)b 16=a 1d 15=√23×(-√23)15=-32√23, a n =a 1+(n-1)d=√23+(n-1)×(-√23) =-√23n+2√23.令a n =-32√23,得-√23n+2√23=-32√23,解得n=34∈N *,故b 16是数列{a n }中的第34项.(建议用时:30分钟)1.在等比数列{a n }中,a 3a 4a 5=3,a 6a 7a 8=24,则a 9a 10a 11的值为( )A.48B.72C.144D.192答案:D解析:∵a 6a 7a8a 3a 4a 5=q 9=8(q 为公比),∴a 9a 10a 11=a 6a 7a 8q 9=24×8=192.2.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=( ) A.1 B.2 C.4 D.8答案:A解析:∵a 3a 11=a 72=16,且a n >0,∴a 7=4.又a 7=a 5·q 2=4a 5,∴a 5=1.3.已知等比数列{a n }满足a 1=3,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列,则a 3+a 4+a 5等于( ) A.33 B.84C.72D.189答案:B解析:由条件得,4a 1+(a 1q 2)=2×(2a 1q ),即(q-2)2=0,∴q=2.∴a 3+a 4+a 5=3×(22+23+24)=84.4.等比数列{a n }中,已知a 9=-2,则此数列的前17项之积为( ) A .216 B .-216C .217D .-217答案:D解析:∵数列{a n }为等比数列,∴a 1a 2a 3…a 17=a 917.又∵a9=-2,∴a1a2a3…a17=(-2)17=-217.5.已知1<a<b<c,且a,b,c成等比数列,且n≥2,n∈N*,则log a n,log b n,log c n的关系为()A.成等差数列B.成等比数列C.各项倒数成等差数列D.以上都不对答案:C解析:由已知b2=ac.∴log n b2=log n ac.∴2log n b=log n a+log n c.∴2log b n =1log a n+1log c n,即1log a n ,1log b n,1log c n成等差数列.6.已知数列{a n}是等比数列,公比q>1,且a1+a6=8,a3a4=12,则a116=.答案:3解析:由已知a3a4=12得a1a6=12,又∵a1+a6=8.当q>1时,解得a1=2,a6=6.又∵a1a11=a62,∴a116=a61=3.7.在等比数列{a n}中,若a n>0,a1·a100=100,则lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100=.答案:100解析:由等比数列性质知:a1·a100=a2·a99=…=a50·a51=100.∴lg a1+lg a2+lg a3+…+lga100=lg(a1·a2·a3·…·a100)=lg(a1·a100)50=lg 10050=lg 10100=100.8.公差不为零的等差数列{a n}中,2a3-a72+2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=.答案:16解析:∵2a3-a72+2a11=2(a3+a11)-a72=4a7-a72=0,∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8=b72=16.9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可以成等比数列,这三个数的和为12,求这三个数.解:设这三个数为a-d,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d)=12,所以a=4.所以这三个数可以表示为4-d,4,4+d.①若4-d为等比中项,则有(4-d)2=4×(4+d),解得d=12,或d=0(舍去).此时,这三个数是-8,4,16.②若4+d为等比中项,则有(4+d)2=4×(4-d),解得d=-12,或d=0(舍去).此时,这三个数是16,4,-8.③若4为等比中项,则有42=(4-d)×(4+d),解得d=0(舍去),综上所述,这三个数是-8,4,16或16,4,-8.10.已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}唯一,求a的值.解:(1)设{a n}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+√2,q2=2-√2.∴{a n}的通项公式为a n=(2+√2)n-1或a n=(2-√2)n-1.(2)设{a n}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*).由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根.由{a n}唯一,知方程(*)必有一根为0,.代入(*)得a=13。

2022-2022年高二必修五2.3等比数列练习数学带参考答案和解析（苏教版）填空题设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为．【答案】－2【解析】试题分析：Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，所以填空题若一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于后面两项之和，则其公比是__________．【答案】【解析】由题意得，，解得，故答案为.填空题已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________．【答案】8【解析】在等比数列中，，故答案为解答题在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．【答案】【解析】试题分析：等比数列的公比为,由已知可得，,解方程可求,然后代入等比数列的求和公式可求.试题解析：设该数列的公比为q，则由2a2为3a1和a3的等差中项，可得4a1q＝3a1＋a1q2，即q2－4q＋3＝0，解得q＝3或1.又a2－a1＝2，所以q≠1，公比q＝3，首项a1＝1.所以，数列{an}的前n项和Sn＝.填空题在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝－8，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________．【答案】? -2? 2n－1【解析】是等比数列，，综上所述，答案为.填空题设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2.若a4＝ka1，则k＝________．【答案】8【解析】因成等比数列，其公比为，所以，又已知则，故答案为.填空题若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于__________．【答案】【解析】试题分析：因为，所以等比数列只能是（或），故有，即，又，因此不能是等差数列的中间项，不妨设等差数列是，则，由，且，解得，所以，．填空题已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项和，某同学经计算得S2＝24，S3＝38，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是________，该数列的公比是________．【答案】? S2?【解析】与中必有一个算错了，，算错了，故答案为解答题设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1－3Sn＝1.(1) 求证：数列{an}为等比数列；(2) 数列{an}是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*，r≥2)项的和？请说明理由．【答案】(1) 见解析. (2) 见解析.【解析】试题分析：(1)由可得，两式相减化简可得数列{an}为等比数列；(2)假设数列中存在一项恰好可以表示为该数列中连续项的和，利用等比数列求和化简后，导出矛盾即可得结论.试题解析：(1)∵Sn＋1－3Sn＝1，∴n≥2时Sn－3Sn－1＝1，两式相减得an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an(n≥2)．又a1＝1，S2－3S1＝1，∴a2＝3，∴n＝1时an＋1＝3an也成立．∴n∈N*时＝3，数列{an}为等比数列．(2) 解：由(1)知an＝3n－1，若数列{an}中存在一项ak，使得ak ＝am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1(m∈N*)．(2)∵an＝3n－1，∴{an}为递增数列．∴ak＞am＋r－1，即3k－1＞3m＋r－2，k＞m＋r－1，k≥m＋r.又am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1＝＜≤＜3k－1＝ak与ak＝am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1相矛盾．∴数列{an}不存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*，r≥2)项的和．填空题设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为__________．【答案】20【解析】设等比数列的公比，则，当，即取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查等比数列求和公式及基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.填空题已知等比数列{an}，对任意正整数n都有an＜an＋1，2(an＋an＋2)＝5an＋1，且a＝a10，则数列{an}的通项公式是an＝________．【答案】2n【解析】由可得，又，由可得，得，故答案为.填空题在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝2，a3＋a4＋a5＝8，则a5＋a6＋a7＝________．【答案】32【解析】设等比数列的公比为，由，则，即，故答案为.解答题已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1) 求{an}的通项公式；(2) 求证：＋＋…＋＜1对任意正整数m都成立．【答案】(1) an＝5×(－1)n－2或an＝5×3n－2，n∈N*.(2) 见解析.【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求,进而可求通项公式；（2）结合（1）可知是等比数列,结合等比数列的求和公式可求,利用放缩法可得结果.试题解析：(1) 由a1a2a3＝125，得a＝125，即a2＝5.又|a2－a3|＝10，即a2|q－1|＝10得q＝－1或3.所以an＝5×(－1)n－2或an＝5×3n－2，n∈N*.(2) 证明：若q＝－1，则＋＋…＋＝－或0，所以＋＋…＋＜1对任意正整数m都成立；若q＝3，则＋＋…＋＝＜＜1，所以＋＋…＋＜1对任意正整数m也都成立．综上，＋＋…＋＜1对任意正整数m都成立．。